广东省湛江市雷州市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

2023—2024学年度第一学期高二第一次月考

数学科试卷

总分：150分 考试时间：120分钟

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，集合，则＝（    ）

A． B． C． D．

2．＝（    ）

A． B． C． D．

3．空间直角坐标中，，，，则直线AB与CD的位置关系是（    ）

A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定

4．已知，，三个向量是两两垂直的单位向量，，，则与的数量积等于（    ）

A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

5．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，

则（    ）

A．  B．

C．  D．

6．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（    ）

A．－1 B．1 C． D．

7．已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（    ）

A． B． C． D．

8．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F分别为PD，PB的中点，，，若平面EFC，则λ＝（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ）

A．

B．复数的虚部为2

C．复数在复平面对应的点在第一象限

D．为纯虚数，则实数

10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（    ）

A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是

11．若指数函数经过点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（    ）

A．直线平面 B．

C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知函数，则＝______．

14．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为k：6：4．已知高一年级抽取200人，则k的取值是______．

15．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线AE的距离是______．

16．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则＝______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知，．

（1）若，求的值；

（2）若，求实数k的值．

18．（1）已知，，求值；

（2）若，求的值．

19．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．

（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；

（2）求点E到平面PBF的距离．

20．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．

（1）求B的大小．

（2）若，，求b．

21．如图，在棱长为a的正方体中，点P为线段上的一个动点，连接AP，DP，．

（1）求证：面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

22．长方形ABCD中，，M是CD中点（图1），将沿AM折起，使得（图2），在图2中

（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；

（2）在线段BD上是否存点E，使得平面ADM与AME的夹角为，请说明理由．

高二第一次月考数学科试卷答案

一、单选题

1．A    2．D    3．B    4．A

5．【答案】C【解析】，．

故选：C

6．【答案】A

7．【答案】D

建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，故，，设平面的法向量为

则即

令，则，

即平面的一个法向量为，

设直线CD与平面所成的角为

则，故选D

8．[答案]C【详解】以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，

∵，，，

设平面EFC的法向量，

则，令，解得：，，∴；

∵，又AG⊥平面EFC，

∴，∴，解得：．

故选：C．

二、多选题

9．【答案】AD

【详解】，为纯虚数，则，故A，D对．

复数的虚部为－2，，对应的点为，不在第一象限，故B，C错误．

故选：AD

10．【答案】AC

11．【答案】BD【详解】由题意，设，则，解得，即，易知在R上单调递减，

对于A、B，由，则，故A错误，B正确；

对于C，由，则，故C错误；

对于D，由，则，故D正确．

故选：BD．

12．【答案】ABD【详解】如图建立空间直角坐标系，

，，，，，，，．．

则，，，

设平面的法向量为，则，即，令，可得，

则，即，

又直线平面，所以直线平面，故A正确；

因为，即，所以，故B正确；

，故C错误；

设球心坐标为，则，

由可得，解得，

由可得，解得，

再由可得，解得，

所以，所以，故D正确．

故选：ABD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．【答案】－1【详解】函数，则，故答案为：－1

14．【答案】2【解析】由题设可得，故，

15．【答案】

【详解】如图示，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立坐标系，

则，，，

所以，，

所以在上的投影为，

所以点点到直线AE的距离是，故答案为：

16．【答案】－42

【详解】如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，显然平面MNG，平面，

因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，

在堑堵中，，则₁，即，又，则，而，于是得，所以，

因，，所以

故答案为：－42

四、解答题

17．【答案】（1）    （2）

【详解】（1）由已知可得，，

∴．

（2），，

∵，∴存在实数m使得，

∴，，，联立解得．

18．【答案】（1）；（2）．

【详解】解：（1）∵，，

∴

∴

（2）若，

则．

19．【答案】（1）；（2）．

【小问1详解因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，

，

所以直线DE和PF夹角的余弦值为．

【小问2详解】由（1）知，，，，设平面PBF的法向量，则，令，得，

所以点E到平面PBF的距离为．

20．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由，得，因为，所以，

又因为B为锐角，所以．

（2）由余弦定理，可得，解得．

21．【详解】（1）证明：连接AC，，可得，，

因为AC，平面，，平面，所以平面，平面，

因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面

（2）以为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则，，，，所以，，，

设平面的一个法向量分别为：，

则：，令，则，

设直线与平面所成的角的大小为θ，则：，

∴直线与平面所成的角的正弦值为．

22．【小问1详解】设，所以，，所以，由于，，AM，AD⊂平面ADM，

所以BM⊥平面ADM，

由于BM⊂平面ABCM，所以平面ADM⊥平面ABCM．

【小问2详解】由（1）得，平面ADM⊥平面ABCM，

以M为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

依题意可知平面ADM的法向量为．

，，，，

设，则，

设平面AEM的法向量为，

则，

故可设．

由于平面ADM与AME的夹角为，

所以，

解得或（舍去）．

所以在线段BD上存在E点，使得平面ADM与AME的夹角为，此时E是线段BD上，靠近D点的三等分点．