山东省聊城市东昌中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考试题

这是一份山东省聊城市东昌中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考试题，共25页。试卷主要包含了已知α为锐角，且sin等内容，欢迎下载使用。
山东省聊城市东昌中学2023~2024级全校联考
九上第一次月考试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　）
A．70° B．60° C．50° D．30°
3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（　　）
A．c＝asinA B．c＝ C．c＝acosA D．c＝
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．


6．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C′．以下说法中错误的是​（　　）

A．△ABC∽Δ A'B'C' B．点A、O、A′三点在同一直线上
C．AB∥A'B' D．BO：BB'＝1：2
7．将方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式为（　　）
A． B．
C．（x﹣3）2＝ D．
8．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．则sin∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
9．在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为xm，那么x满足的方程是（　　）

A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816
D．x（60+2x）+x（40+2x）＝2816

10．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）
（10题） （11题）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
11．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，∠AOB＝60°，点A1在射线OA上，且OA1＝1，过A1点作 A1B1⊥OA交射线OB于B1，在射线OA上截取A1A2，使A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥OA交射线OB于B2，在射线OA上截取A2A3，使A2A3＝A2B2．按照此规律，线段A2023B2023的长为（　　）
​

A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为　 　．
14．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣3＝0有实数根，则m的取值范围为 　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC以4cm/s的速度向点C移动．如果两点同时出发，那么经过 　 　s，△PBQ与△ABC相似．
（15题） （16题）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E点为BC边延长线一点，且CE＝3．连接AE交边CD于点F，过点D作DH⊥AE于点H，则DH＝　 　．
17．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 　 　米．


三．解答题（共8小题）
18．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　 　．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　 　．

19．用适当方法解下列方程：
（1）2x2+6＝16x； （2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．





20．计算：
（1）sin60°•tan30°+cos45°tan45°﹣sin30°+tan60°；




（2）（cos60°）﹣1+﹣3tan30°﹣||﹣cos30°．





21．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．




22．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝，
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．







23．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆度CD＝3m，标杆与杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆AB的高度．








24．某单位于“五一”劳动节期间组织职工到“太湖仙岛”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：
领队：组团去“太湖仙岛”旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团游览“太湖仙岛”结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到﹣太湖仙岛”观光旅游的共有多少人？



25．【温故知新】（1）九（I）班数学兴趣小组认真探究了课本P91第13题：如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF＝3DF，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．
①小华很快找出△ABE∽△DEF，他的思路为：设正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；
②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；
【拓展创新】
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE） 求证：△AEF∽△ECF；

2023.10.13 东昌九上第一次月考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
2．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　）
A．70° B．60° C．50° D．30°
【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选：A．
3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故A不正确，B正确，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故C、D不正确，
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（　　）
A．c＝asinA B．c＝ C．c＝acosA D．c＝
【解答】解：直角三角形中，sinA＝，cosA＝，
∴可以求得c＝，故B选项正确，
故选：B．
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
故选：D．
6．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C′．以下说法中错误的是​（　　）

A．△ABC∽Δ A'B'C'
B．点A、O、A′三点在同一直线上
C．AB∥A'B'
D．BO：BB'＝1：2
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C′，
∴△ABC∽Δ A'B'C'，点A、O、A′三点在同一直线上，AB∥A'B'，＝，
∴选项A、B、C说法正确，不符合题意；
∵AB∥A'B'，
∴△AOB∽Δ A'OB'，
∴＝＝，
∴BO：BB′＝1：3，故选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
7．将方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式为（　　）
A． B．
C．（x﹣3）2＝ D．
【解答】解：3x2﹣9x+2＝0，
x2﹣3x+＝0，
x2﹣3x＝﹣，
x2﹣3x+（）2＝﹣+（）2，
（x﹣）2＝，
故选：A．
8．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．则sin∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：延长AC至格点D，连接BD，如图，
由题意得：
AB2＝32+42＝25，AD2＝22+42＝20，BD2＝12+22＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠BAC＝．
故选：A．

9．在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为xm，那么x满足的方程是（　　）

A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816
D．x（60+2x）+x（40+2x）＝2816
【解答】解：根据题意得：（60+2x）（40+2x）﹣60×40＝2816，
即（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816，
故选：C．
10．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）

A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故选：C．
11．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，
∴tan∠DAE＝＝＝，
故选：D．
12．如图，∠AOB＝60°，点A1在射线OA上，且OA1＝1，过A1点作 A1B1⊥OA交射线OB于B1，在射线OA上截取A1A2，使A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥OA交射线OB于B2，在射线OA上截取A2A3，使A2A3＝A2B2．按照此规律，线段A2023B2023的长为（　　）
​

A． B．
C． D．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，且OA1＝1，A1B1⊥OA，
∴A1B1＝，
∴A1A2＝A1B1＝，
同理：OA2＝1+，
A2B2＝（1+），
OA3＝OA2+A2B2＝1++（1+）＝（1+）2，
同理：A3B3＝（1+）2，
OA4＝OA3+A3B3＝（1+）2+（1+）2＝（1+）3；
……，
线段A2023B2023的长为：（1+）2022，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
13．已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为　16：9　．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是8：6＝4：3，
∴它们的面积比是16：9，
故答案为：16：9．
14．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣3＝0有实数根，则m的取值范围为 　m≥且m≠1　．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，
所以m≥且m≠1．
故答案为m≥且m≠1．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC以4cm/s的速度向点C移动．如果两点同时出发，那么经过 　0.8或2　s，△PBQ与△ABC相似．

【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝（8﹣2x）cm，
①BP与BC边是对应边，则，
即，
解得x＝0.8，
②BP与AB边是对应边，则，
即，
解得x＝2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为：0.8或2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E点为BC边延长线一点，且CE＝3．连接AE交边CD于点F，过点D作DH⊥AE于点H，则DH＝　　．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，DC＝AB＝4．
∴∠EFC＝∠EAB，
∵∠E＝∠E，
∴△EFC∽△EAB．
∴，
∴，
∴FC＝1.5，
∴DF＝DC﹣FC＝2.5．
∴AF＝＝．
∵∠ADC＝90°，DH⊥AE，
∴S△＝AD•DF＝AF•DH．
∴AD•DF＝AF•DH，
∴5×2.5＝×DH．
∴DH＝．
故答案为：．
17．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 　　米．


【解答】解：如图，过点P作PQ⊥BE，交AF于点M，由于3FD＝2FA，可是AF＝x米，则DF＝x米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝．
解得x＝，
即AF＝米，
故答案为：．

三．解答题（共8小题）
18．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　（﹣5，﹣1）　．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　（2a，2b）　．

【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（﹣5，﹣1）；


故答案为：（﹣5，﹣1）；
（2）如图，△OA2B2为所作；
（3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．
19．用适当方法解下列方程：
（1）2x2+6＝16x；
（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
【解答】解：（1）2x2+6＝16x，
∴2x2﹣16x+6＝0，
∴△＝（﹣16）2﹣4×2×6＝256﹣48＝208，
∴x＝＝＝，
∴；
（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
∴（x﹣3）（5x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或5x﹣3＝0，
∴．
20．计算：
（1）sin60°•tan30°+cos45°tan45°﹣sin30°+tan60°；
（2）（cos60°）﹣1+﹣3tan30°﹣||﹣cos30°．
【解答】解：（1）原式＝×+×1﹣×+×
＝+3
＝3；
（2）原式＝2+2﹣3×﹣﹣
＝4﹣2．
21．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．

【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝∠BAC，
又∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴＝，
∴BA2＝BD•BC，
∵AB＝4，BC＝8，
∴BD＝2．
22．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝，
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．

【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，

在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝2x，
∴AC＝＝x，
∴x＝，解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2，
在Rt△BCE中，∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE+BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；

（2）∵CD为中线，
∴BD＝AB＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
∴tan∠CDE＝＝＝2，
即tan∠CDB的值为2．
23．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆度CD＝3m，标杆与杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆AB的高度．

【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△CGE∽△AHE，
∴，
即：，
∴，
∴AH＝11.9，
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m），
答：旗杆AB的高度为13.5m．

24．某单位于“五一”劳动节期间组织职工到“太湖仙岛”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：
领队：组团去“太湖仙岛”旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团游览“太湖仙岛”结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到﹣太湖仙岛”观光旅游的共有多少人？
【解答】解：设该单位这次到太湖仙岛旅游共有x人，
∵100×25＝2500＜2700，
∴员工人数一定超过25人．
列方程得：[100﹣2（x﹣25）]x＝2700，
解得x1＝45，x2＝30，
当x1＝45时，100﹣2（x﹣25）＝60＜70，故舍去x1；
当x2＝30时，100﹣2（x﹣25）＝90＞70，符合题意．
答：该单位这次到太湖仙岛旅游共有30人．
25．【温故知新】（1）九（I）班数学兴趣小组认真探究了课本P91第13题：如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF＝3DF，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．

①小华很快找出△ABE∽△DEF，他的思路为：设正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；
②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；
【拓展创新】
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）
①求证：△AEF∽△ECF；
②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）①证明：设正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEF；
②解：图中还有△ABE∽△EBF，△DEF∽△EBF，下面证明△ABE∽△EBF，
∵△ABE∽△DEF，
∴∠ABE＝∠DEF，＝，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEF∠+AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴∠A＝∠BEF，
∴△ABE∽△EBF；
（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠DEC+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴，
∵AE＝ED，
∴，即，
∵∠A＝∠CEF＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
②存在a值，使得△AEF与△BFC相似，理由如下：
由题意得：BC＝AD＝2，AB＝DC＝a，AE＝DE＝1，
由①知△AEF∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴AF＝，
∴BF＝a﹣，
若△AEF∽△BFC，则，
∴，
此时方程无解，这种情况不存在；
若△AEF∽△BCF，则，即，
解得a＝，
∴当a＝时，△AEF与△BFC相似．
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