江苏省苏州市吴江中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

吴江高级中学2023-2024学年度第一学期第一次阶段性测试

高二年级  数学学科  试卷

出卷人：陈国仙    审卷人：王芳

（考试时间：120分钟    试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．下列说法中正确的是（    ）

A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列

B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列

C．数列的第k项为

D．数列0，2，4，6，可记为

2．已知数列的前4项为：1，，，，则数列的通项公式可能为（    ）

A． B． C． D．

3．设为数列的前n项和，若，则（    ）

A．27 B．81 C．93 D．243

4．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

5．在正项等比数列中，，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（    ）

A．18 B．19 C．20 D．21

7．已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（    ）

A．65 B．80 C．90 D．105

8．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得资金1000元，则B，C所分得资金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配资金，且甲与丙共获得资金36200元，则“衰分比”与丁所获得的资金分别为（    ）

A．20%，14580元 B．10%，14580元 C．20%，10800元 D．10%，10800元

二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中。有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．数列是等比数列

C．  D．数列是公差为2的等差数列

10．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，若为整数，则正整数n的值可能为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．14

11．在数列中，，，下列结论正确的是（    ）

A．数列是等比数列  B．数列是等差数列

C．  D．数列是递增数列

12．设数列的前n项和为，，，数列的前n项和为，下列结论正确的是（    ）

A．是等差数列 B．是等比数列 C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等比数列是递增数列，是的前n项和．若，是方程的两个根，则______．

14．在数列中，，，，则______．

15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为______．

16．若等差数列的首项，，记，则______．

四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）已知数列的前n项和为，求下列数列的通项公式．

（1）；

（2）．

18．（本小题满分12分）已知数列满足，且，．

（1）求证：是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

19．（本小题满分12分）习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．

（1）设n年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；

（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．

（参考数据：，，）

20．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前n项和为，求证：．

21．（本小题满分12分）在数列中，，是1与的等差中项．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）令，记数列的前n项和为，求．

22．（本小题满分12分）若数列是公差为2的等差数列，数列满足，，且．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前n项和．

高二年级  数学月测（10.6）参考答案

一、单项选择题：

1．答案C 2．答案D 3．答案B

解析  根据，可得，

两式相减得，即．

当时，，解得，则．

4．答案：B

[解析]  因为，所以，

所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，所以．

5．答案D

解析  原式．

6．答案：C

[解析]  设等差数列的公差为d，由，，两式相减可得，

则．∵，∴，

故，

当取得最大值时有，即解得，又，∴．

7．答案：A

[解析]  设数列的前n项和为，由等比数列的性质得，，成等比数列．

∵，，∴45，，成等比数列，∴，解得．

8．答案：B

解析  设“衰分比”为q，甲获得的奖金为，则

解得故．

二、多项选择题：

9．答案：ABC

解析  ∵，且公比q为整数，

∴∴或（舍），故A正确；

，∴，故C正确；

∴，故数列是等比数列，故B正确；

，而，故数列是公差为的等差数列，故D错

10．答案：ACD

[解析]  由题得：，

则．

若为整数，则为15的正约数，又，则的可能取值为3，5，15，

因此，正整数n的可能取值为2，4，14．故选ACD．

11．答案：BC

[解析]由，整理得，

故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B选项正确，A选项错误，

由等差数列可得，所以，，

则C选项正确，数列是递减数列，D选项错误

12．答案：BCD

[解析]  因为，所以，所以，

又，则，故数列是等比数列，且首项为，公比为2，

所以，所以，所以B，C选项正确，A选项错误．

因为，

所以，

所以D选项正确．故选BCD．

三、填空题：

13．答案：63

解析  ∵，是方程的两根，且，∴，，

则公比，因此．

14．答案：

[解析]  因为，，，所以，

则，，则，，则，，则……

由此可得数列的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，，，所以．

15．答案135

解析  因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故，解得，数列共有135项．

16．答案

解析  ∵，，∴．

当时，

；

当时，

．

∴

四、解答题：

17．解：（1）当时，，

又满足，故．

（2）当时，；

当时，，故

18．（1）证明  由已知得．因为，所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列．

（2）解  由（1）知是以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以．

19．解  （1）2021年投入为1000万元，第n年投入为万元，

所以n年内的总投入为

，

21年收入为500万元，第2年收入为万元，第n年收入为万元

所以n年内的总收入为

．

（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，

即，化简得，

设，代入上式并整理得，

解此不等式，得或（舍去）．即，由此得．

故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入．

20．解：（1）由得，当时，，

两式作差得，所以，

所以，

又满足上式，所以数列的通项公式为．

（2）证明：因为，所以

，

得证．

21．解：（1）证明：由是1与的等差中项，可得，

可得，则，可得，

所以，又由，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列．

（2）由（1）可得，所以，所以对任意的，

，

因此，．

22．解  （1）∵数列满足，，且．∴，解得．

又∵数列是公差为2的等差数列，∴．

∴，，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，即．

（2）数列满足，

数列的前n项和，

∴，

两式相减得，∴