2022-2023学年江苏省盐城市七校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市七校联考高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知随机变量服从两点分布，且设，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4.某同学进行分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮次至少得到分的概率大于，那么的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.某校从高一、高二、高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.在三棱锥中，平面平面，，，是的中点，则二面角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.对于，若，则的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

10.下列命题中正确的是(    )

A. 已知一组数据，，，，，，则这组数据的分位数是
B. 随机变量，且，则
C. 若随机变量，则
D. 在回归方程中，与具有负线性相关关系

11.甲袋中装有个白球，个红球和个黑球，乙袋中装有个白球，个红球和个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是(    )

A. ，，两两互斥 B.
C.  D. 与是相互独立事件

12.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 向量与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量是
D. 点到平面的距离为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.对某手机的广告费用支出万元与销售额万元之间的关系进行调查，通过回归分析，求得与之间的关系式为，则当广告费用支出为万元时，销售余额的预测值为______万元．

14.已知，则 ______ ．

15.为了庆祝新年的到来，某校“皮影戏”社团的名男同学，名女同学计划组成人代表队代表本校参加市级“皮影戏”比赛，该代表队中有队长，副队长各一名，剩余两名为队员若现要求代表队中至少有一名女同学，一共有______ 种可能．

16.如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，．
求的值；
求其展开式中所有的有理项．

18.本小题分
袋中有个白球、个黑球，从中任意摸出个，求下列事件发生的概率：
摸出个或个白球；
至少摸出个白球；
至少摸出个黑球．

19.本小题分
某收费手机应用程序自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱该所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用单位：元及该月对应的用户数量单位：万人，得到如下数据表格：

已知与线性相关．
求关于的经验回归方程；
据此预测，当月租减免费用为元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

20.本小题分
“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：

请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；
若从这人中的不爱好运动的人中随机抽取人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列、数学期望．
附：

参考公式：，其中．

21.本小题分

如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且，点是线段上的一点不包括端点．
证明；
若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积．

22.本小题分
企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：

根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件一且小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品，，．
判断生产线是否正常工作，并说明理由；
用频率表示概率，若再随机从生产线上取件产品复检，正品检测费元件，次品检测费元件，记这件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：只有第项的二项式系数最大，
，
．
故选：．
当为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大．
本题考查二项式定理，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：随机变量服从两点分布，
当时，由解得，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合两点分布的定义，及开区间．
本题主要考查两点分布的应用，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：，
则点到平面的距离为．
故选：．
由点到平面距离的求法求解即可．
本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，求得，则，
则，
，，
，
故选：．
由题意利用次独立试验中恰好发生的概率计算公式，求得结果．
本题主要考查次独立试验中恰好发生的概率计算公式的应用，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：某校从高一、高二、高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，设事件为“人中抽出一名女同学”，事件为“人中抽出一名高三同学”，
则，，．
故选：．
设事件为“人中抽出一名女同学”，事件为“人中抽出一名高三同学”，分别求得，，代入条件概率公式即可求解．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：因为，
取代入可得：，
取代入可得：，
取代入可得：，
再除以可得：，所以，
再除以可得：，
所以．
故选：．
取代入等式可得，分别取，代入等式，组成方程组，联立即可得，，代入即可求得结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

7.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，在中，
，
所以，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设二面角的平面角为，
则．
故选：．
建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
本题考查利用空间向量求解二面角的余弦值，属于中档题．

8.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了对新定义的理解及条件概率，属中档题．
事件共有个基本事件，事件“局部等差”数列共有个基本事件，计算即可．

【解答】
解：由题意知，事件共有个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下个基本事件，
其中含，，的局部等差的分别为，，，和，，，和，，，共个，
含，，的局部等差数列的同理也有个，共个
含，，的和含，，的与上述相同，也有个
含，，的有，，，和，，，共 个，含，，的同理也有个，共个
含，，的有，，，和，，，和，，，和，，，共个，含，，的也有个，共个；
综上共个，．
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：，
或，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合组合数公式，即可求解．
本题主要考查组合数公式，考查转化能力，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A，，第个和第个数的平均数为，故选项A正确；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，，则，故选项C错误；
对于选项D，，可得与具有负线性相关关系，可知选项D正确．
故选：．
根据百分位数的定义判断；根据正态分布曲线的对称性判断；根据二项分布的期望公式判断；根据线性回归方程的性质判断．
本题主要考查了百分位数的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及二项分布的期望公式，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：对于，由题意知，，不能同时发生，，，两两互斥，故A正确，
对于，由题意知，，
，故B正确，
对于，，，，，
，C错误，
对于，，与不是相互独立事件，D错误．
故选：．
由互斥事件的定义判断，由条件概率的定义判断，由全概率公式的定义判断，由独立事件的定义判断．
本题考查互斥事件、条件概率、独立事件，是中档题．

12.【答案】 

【解析】解：对于：在棱长为的正方体中，则，，，故A错误；
对于：在棱长为的正方体中，则，，，
，，则向量夹角余弦值为，，故B正确；
对于：在棱长为的正方体中，则，，，
，，
，，
故是平面的一个法向量，故C正确；
对于：由题意得，平面的一个法向量，
则点到平面的距离为，故D正确，
故选：．
根据棱柱的结构特征，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和空间向量的应用，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

13.【答案】 

【解析】解：代入回归方程，得：
，
余额为万元．
故答案为：．
将代入回归方程即可求出结果．
本题考查回归方程的性质、应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14.【答案】 

【解析】解：由，
可得．
故答案为：．
直接根据均值性质结合已知条件，解方程即可得出所求的答案．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．

15.【答案】 

【解析】解：若代表队中有名女同学，此时共有种可能；
若有名女同学，则共有种可能，
所以一共有种可能．
故答案为：．
先分类：代表队中有名女同学和有名女同学，再选出队长，副队长各一名即可得到结果．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理和分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是中档题．

16.【答案】   

【解析】解：，点在平面上，
如图，分别取，，的中点，，，
连接，，，，，，，
因为，为中点，故，
又由正方体可得，，
故D，，故四边形为平行四边形，故AD，
故，故，，，四点共面，同理可证，，，四点共面，
故，，，，五点共面，同理可证，，，四点共面，
故，，，，，六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形．
故点的轨迹是正六边形，
因为正方体的棱长为，所以正六边形的边长为，
所以点的轨迹围成图形的面积是，
如图，
，
的最大值为，
故答案为：，．
分别取，，的中点，，，连接，，，，，，，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值．
本题主要考查立体几何中的轨迹问题，空间向量数量积的计算，立体几何中的最值与范围问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．

17.【答案】解：因为，，所以，
当为奇数时，此方程无解，
当为偶数时，方程可化为，解得；
由通项公式，
当为整数时，是有理项，则，，，
所以有理项为． 

【解析】先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；
利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．

18.【答案】解：根据题意，设从中摸出白球的个数为，则服从超几何分布，
所以，
即摸出个或个白球的概率为；
由得，即至少摸出个白球的概率为；
至少摸出个黑球的概率为：
，
故至少摸出个黑球的概率为． 

【解析】利用超几何分布概率公式求解；
利用对立事件概率计算公式能求出至少摸出个白球的概率；
利用对立事件概率计算公式求解．
本题考查超几何分布、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】解：，，
，，
则，
．
关于的经验回归方程为；
在中，取，得．
预测当月租减免费用为元时，该月用户数量为万人． 

【解析】由已知求得与的值，可得关于的经验回归方程；
在中求得的经验回归方程中，取求解值即可．
本题考查经验回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．

20.【答案】解：列联表为：

零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关，
由已知数据可求得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关．
的取值可能为，，．
，
，
，
所以的分布列为：

的数学期望为． 

【解析】完成列联表，求出，从而得到爱好运动与性别无关．
的取值可能为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
本题考查独立检验、离散型随机变量分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.【答案】证明：连接，因为四边形为正方形，，，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
又平面，，
，，，
又，，平面，
平面，
又平面，，
又，，，平面，
平面，又平面，
；
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，设，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，解得，，
所以，
又直线与平面所成角的大小为，
所以，
解得，
所以，所以，
所以． 

【解析】由面面垂直得平面，从而得再由已知，得，从而可得平面，得证，再由线面垂直的判定定理证明平面，即可证得；
建立如图所示的空间直角坐标系，设，由线面角的空间向量法求得值，然后由棱锥体积公式计算可得．
本题主要考查了直线与平面垂直的判断定理，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，以及三棱锥的体积公式，属于中档题．

22.【答案】解：依题意，有，，
所以正常产品尺寸范围为，
生产线正常工作，次品不能多于件，
而实际上，超出正常范围以外的零件数为，故生产线没有正常工作；
依题意尺寸在以外的就是次品，
故次品率为，
记这件产品中次品件数为，则服从二项分布，，
则，，
所以的数学期望是元，
方差是． 

【解析】由题意可知，，，所以正常产品尺寸范围为，再结合题目条件判断即可；
记这件产品中次品件数为，则服从二项分布，再利用二项分布的期望和方差公式求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了二项分布的期望和方差公式，属于中档题．