2023-2024学年吉林省四校联考高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省四校联考高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年吉林省四校联考高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.焦点在轴上，短轴长为，离心率为的椭圆的标准方程是(    )A.  B.  C.  D. 2.若直线与的交点在第一象限，则实数的取值范围是
(    )A.  B.  C.  D. 或3.若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数(    )A.  B. 或 C.  D. 或4.当点到直线的距离取得最大值时，(    )A.  B.  C.  D. 5.已知三棱柱的侧棱长为，底面是边长为的正三角形，，若和相交于点则(    )A.  B.  C.  D. 6.已知实数，满足，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 7.直线与圆相交于、两点．若，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆离心率的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知空间向量，，下列说法正确的是(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与夹角为锐角，则10.已知点，，且点在直线：上，则(    )A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 的最小值为 D. 的最大值为11.设直线：与圆：，则下列结论正确的为(    )A. 可能将的周长平分
B. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则的取值范围为
C. 若直线与圆交于，两点，则面积的最大值为
D. 若直线与圆交于，两点，则中点的轨迹方程为12.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于，两点，为坐标原点，下列说法正确的是(    )A. 椭圆的蒙日圆方程为
B. 记点到直线的距离为，则的最小值为
C. 一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D. 椭圆的蒙日圆方程为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是______ ．14.已知，为圆：上的两点，，为的中点，则到直线距离的最小值为______ ．15.已知点，是椭圆内的两个点，是椭圆上的动点，则的最大值为______．16.已知椭圆：的离心率为，是左焦点，过且倾斜角为的直线交于点，设，分别是和的中点，为坐标原点，若，则的面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
已知，．
若，求，的值；
若，求实数的值．18.本小题分
椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为．
求椭圆的标准方程；
过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长．19.本小题分
已知圆过，两点，且圆心在上．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ设是直线上的动点，，是圆的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值．20.本小题分
已知点，圆：，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
求动点的轨迹的方程；
直线与曲线交于、两点，且中点为，求直线的方程．21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点．
证明：平面平面．
若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．

 22.本小题分

已知椭圆：的离心率为，记的右顶点和上顶点分别为，，的面积为为坐标原点．
求的方程；
已知，过点的直线与椭圆交于点，点在第一象限，过点垂直于轴的直线分别交，于，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于，
可得：，，即解得，
所求的椭圆方程为：．
故选：．
利用已知条件求出，，然后求解椭圆方程．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，是基本知识的考查．2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，属于基础题．
直接求出交点坐标，交点的横纵坐标都大于，解不等式组即可．
【解答】
解：由，得，
由，得，
．
故实数的取值范围是．
故选C．3.【答案】 【解析】解：平面内两条平行线：，：，
，或，
当时，两条平行直线即：，：，
它们之间的距离为，满足条件．
当时，两条平行直线即：，：，即，
它们之间的距离为，不满足条件，
故实数．
故选：．
由题意利用两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．4.【答案】 【解析】解：由，得，
联立，解得，直线经过定点，
当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，
此时，解得．
故选：．
化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解．
本题考查点到直线距离公式的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】 【解析】解：依题意可得：
，
又是的中点，
所以
，
所以

．
故选：．
选取，，作为一组基底，将用基底表示，利用数量积进行运算即可求得．
本题考查空间向量数量积运算，属基础题．6.【答案】 【解析】解：根据题意，方程，即，表示以为圆心，半径为的圆，
设，其几何意义为圆上任意一点，与点之间的距离，
故，变形可得，
故选：．
根据题意，分析可得原方程表示以为圆心，半径为的圆，设，分析的几何意义，由点与圆的位置关系可得的最大值，变形可得答案．
本题考查圆的一般方程，涉及两点间距离公式，属于基础题．7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，难度中档．
由已知可得圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，可得答案．
【解答】
解：若，
则圆心到直线的距离，
即，
解得：，
故选：．8.【答案】 【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及余弦定理和均值不等式的性质，属于中档题．
由椭圆的性质可得四边形为平行四边形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围．【解答】解：连接，与左右焦点，的连线，由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，

在三角形中，，
所以，即，
即，当且仅当时等号成立，可得，
又存在，所以椭圆的离心率，
故选：．9.【答案】 【解析】解：对于，，
，即，解得，故A正确；
对于，，
，
，解得，故B正确，
对于，在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，无解，故C错误；
对于，与夹角为锐角，
，解得，且与不共线，即，，解得，
所以与夹角为锐角时，解得，故D正确．
故选：．
对于：结合向量垂直的性质即可求解；
对于：结合向量的四则运算即可求解；
对于：利用投影的几何意义即可求解；
对于：根据向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积公式，考查转化能力，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：对于，由的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，而该圆心到直线：的距离，故A错误；
对于，设，则满足的动点的方程为，化简得，则圆心到直线的距离，故B正确；
对于，因为关于的对称点为，
所以有，解得，，即，
所以，故C正确；
对于当且仅当，，三点共线时，等号成立，故D正确．
故选：．
根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、点关于线对称的性质逐一判断即可．
本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：对于，若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，A错误；
对于，若圆上存在两个点到直线的距离为，则到直线的距离满足，
所以，解得或，B正确；
对于，，
当时，的面积有最大值，C正确；
对于，易知直线经过定点，所以，
所以点的轨迹以为直径的圆，
其方程为，又因为点在圆内，由，解得，
所以点的轨迹方程为，D错误．
故选：．
根据圆心在直线上判断，根据直线与圆的位置关系判断，根据三角形面积公式判断，根据几何法求出点的轨迹方程即可判断．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】 【解析】解：选项A和，当直线，一条斜率为，另一条斜率不存在时，点；
当直线，斜率均存在时，
设，
则切线方程为：，
联立得，
由，即，
可得，
，
，
即，
化简得，
所以点轨迹为．
又满足，
所以蒙日圆的方程为，A正确，D错误；
选项B，为椭圆上的点，
由椭圆的定义可得，
，
的最小值为点到直线的距离，
因为，
所以，，错误；
选项C，因为矩形的四条边均与相切，
所以该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，
则，
又，
则当且仅当时取等号，
所以此矩形面积最大值为，
C正确．
故选：．
分直线，一条斜率为，另一条斜率不存在和直线，斜率均存在两种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用判别式为列方程消参，可得点轨迹，判断出选项A和；利用椭圆的定义判断选项B；利用基本不等式判断选项C．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的定义与性质，属于中档题．13.【答案】 【解析】解：的周长．
故答案为：．
利用椭圆的定义即可得出．
本题考查了椭圆的定义，属于基础题．14.【答案】 【解析】解：由垂径定理可知，，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
到的距离，
到直线距离的最小值为．
故答案为：．
根据垂径定理求出长度，从而求出的轨迹，根据圆的几何性质即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属基础题．15.【答案】 【解析】解：为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，
则由椭圆定义，
于是．
当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，
于是，
而当在直线与椭圆交点上时，
在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有．
显然当在直线与椭圆第一象限交点时，有最小值，其最小值为
；
当在直线与椭圆第三象限交点时，有最大值，其最大值为
．
故答案为：．
由椭圆的定义可知，当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时有，在第三象限交点时有显然当在直线与椭圆第一象限交点时，有最小值，当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，由两点间的距离公式能够求出的最值．
本题考查椭圆的定义及最值的求法，注意转化思想，以及三点共线求最值的方法，解题时要熟练掌握定义法的运用，属中档题．16.【答案】 【解析】解：
设右焦点为，连接，，
为的中点，为中点，
，同理，
，，
，，，，椭圆方程可化为，
设直线：，，，
由，得，
，，
，
，，
，
原点到直线：的距离为，
所以．
故答案为：．
设右焦点为，连接，，由中位线知，再由及弦的长可以求出值，再由长及原点到的距离求出的面积．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的性质与椭圆的标准方程，属于中档题．17.【答案】解：已知，，
若，
则，．
，
求得实数． 【解析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．
本题主要考查两个向量夹角的求法、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属基础题．18.【答案】解：由题意设椭圆的方程为，
因为椭圆经过点且短轴长为，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
由已知得直线的方程为，
设，，
将直线代入，
得，易得，
所以，，
所以． 【解析】根据椭圆的几何性质即可求解，
由弦长公式即可求解．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：设圆的方程为：，
根据题意得，解得：，，
故所求圆的方程为：；
由题知，四边形的面积为．
又，，所以，
而，
即．
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点，使得的值最小，
所以，所以四边形面积的最小值为． 【解析】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
设出圆的标准方程，利用圆过两点、且圆心在直线上，建立方程组，即可求圆的方程；
四边形的面积为，因此要求的最小值，只需求的最小值即可，在直线上找一点，使得的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．20.【答案】解：由题可知，，
则，
由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆，
，，，
的轨迹方程为：．
设，，， 都在椭圆上，
，相减可得，
又中点为，，，
，即直线的斜率为，
直线的方程为，即，
因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件，
故直线方程为． 【解析】由，根据椭圆的定义求解即可；
由点差法得直线斜率后利用点斜式求解即可．
考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．21.【答案】证明：连接，
在四棱锥中，底面为菱形，
，，为线段的中点，
为等边三角形，
，，，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
解：平面，平面，，
又，，
，，，
，，平面，
平面，
以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

设，，
则，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
二面角的余弦值为，
，解得，
，，，
平面的法向量，
设与平面所成角的平面角为，
则与平面所成角的正弦值：． 【解析】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．
推导出，，从而平面，由此能求出平面平面．
推导出，，从而平面，以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值．22.【答案】解：由题意可得，，且，则，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
当直线与轴平行时，此时直线方程
为，不合题意，则设直线的方程为，
设点、，易知点、，
则直线的方程为，直线的方程为，联立，
可得，故点，
联立直线与椭圆的方程得，
可得，，
由韦达定理可得，，
因为点在直线上，则，则，
则，，
，解得，
则直线的方程为，令，
则，

，
则，而
即，则，
因为，则，
又因为点，，的纵坐标相同，所以为的中点，所以． 【解析】由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
设直线的方程为，设点、，求出点、的坐标，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据，然后化简最后得到即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．