2023-2024学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知：，则的充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知正实数，满足，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知函数的值域为，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

4.已知函数，对，，，满足，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知定义在上的函数满足，，且当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，在边长为的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象．若函数在上没有零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.设函数，则下列结论正确的是(    )

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 的最大值为

10.下列说法中错误的为(    )

A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则在方向上的正射影的数量为
D. 三个不共线的向量，，，满足，则是的内心

11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(    )

A. 函数为周期函数，且最小正周期为
B. 函数为奇函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的导函数的最大值为

12.设函数，已知在有且仅有个零点，下述结论正确的是(    )

A. 在有且仅有个极大值点 B. 在有且仅有个极小值点
C. 在单调递增 D. 的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，，，都有若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是______．

14.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的面积为，则边的值为          ．

15.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______ ．

16.若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知函数在处的切线为．
求实数，的值；
求的单调区间．

18.本小题分
已知函数的最小正周期为．
Ⅰ求函数的单调递减区间；
Ⅱ若，求取值的集合．

19.本小题分
如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路长度均超过千米，在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．

求线段的长度；
若，求两条观光线路与之和的最大值．

20.本小题分
已知函数有两个极值点，．
求的取值范围；
证明：．

21.本小题分
设函数．
当，时，恒成立，求的范围；
若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围．

22.本小题分
已知函数，．
求证：在上单调递增；
当时，恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
：，
选项中只有选项C是的真子集，
故选：．
先求出的范围，再找真子集即可．
本题考查了充分必要条件，考查解对数不等式问题，是一道基础题．

2.【答案】 

【解析】解：正实数，满足，
，
即，当且仅当时，即，时取等号，
，
，
，
故的最小值是，
故选：．
先根据基本不等式的性质得到，再由题意得到，即可求出的最小值．
本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】【分析】
因为函数值域为，讨论二次项系数为时的情况，及系数不为时，让系数大于且根的判别式大于等于求出的范围即可．
考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．
【解答】
解：当时，得，，
时，，符合题意；
时，，不符合题意；
当时，
解得，
综上得，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：由题意得是上的增函数，
则，解得．
故选：．
先判断是上的增函数，列关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围．
本题主要考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：，
关于点对称，
，
关于直线对称，
的最小正周期为，
．
故选：．
根据函数即关于中心对称，又关于轴对称，可求得函数的周期为，再结合已知范围的解析式即可得出答案．
本题主要考查利用函数性质求函数值，考查推理能力及计算能力，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：在边长为的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，
则，，，
则，
故选：．
利用平面向量的线性运算表示出，结合题意，即可得出答案．
本题考查平面向量的线性运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】解：由已知，得到方程在上有解．
设，
求导得：，
，
令，解得或，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
在有唯一的极值点，
，，，且，
故方程在上有解等价于．
从而的取值范围为．
故选：．
由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的范围即可．
本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程在上有解．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
根据三角函数的图象变换关系求出函数的解析式，结合三角函数的性质建立不等式组进行求解即可．
【解答】
解：将函数的图象先向右平移个单位长度，
得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象．
即，
若函数在上没有零点，
则，即，即，则，
，则，
故
解得，
，故令，得，
令，得，
故的取值范围是
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：，
选项A，最小正周期，即A正确；
选项B，令，，则，，即B正确；
选项C，令，，则，，当时，，即C正确；
选项D，的最大值为，即D错误．
故选：．
利用辅助角公式化简可得，再分别根据正弦函数的周期性，对称性，零点问题和值域问题，得解．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A，，，与的夹角为锐角，
且此时与的夹角为，
即实数的取值范围是，
故选项A错误；
对于选项B，向量，
即与共线，
故与不能作为平面内所有向量的一组基底，
即选项B正确；
对于选项C，若，
则在方向上的正射影的数量为，
故选项C错误；
对于选项D三个不共线的向量，，，满足，
则与在的外角平分线上垂直，
所以在的平分线上，
同理，在的平分线上，在的平分线上，
故为的内心，
故选项D正确．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量共线及垂直的运算，属中档题．

11.【答案】 

【解析】解：正弦型函数，
对于，正弦型函数，，，，，是周期函数，其最小正周期为，所以函数为周期函数，其最小正周期为，A错误；
对于，根据正弦函数是定义域上的奇函数知，是奇函数，所以B正确；
对于，函数，其中，，，，；在时取得最值，所以的图象关于直线对称，C正确；
对于，函数的导函数，所以的最大值为，D正确．
故选：．
根据正弦型函数的图象与性质，对题目中的命题分析、判断正误即可．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．

12.【答案】 

【解析】解：当时，，
因为在有且仅有个零点，

故在上有且仅有个极大值点，而极小值点有个或个，
故A对，错，
，
所以，D正确，
当时，，
若在单调递增，则，即，
因为，故C正确，
故选：．
根据在有且仅有个零点，可得，解出，然后判断是否正确即可得到答案．
本题考查了三角函数的图象与性质，关键是数形结合的应用，属中档题．

13.【答案】 

【解析】解：在区间上是凸函数，且在中，，，，，
，
．
故答案为：．
依题意，在区间上是凸函数，则，从而可得答案．
本题考查函数恒成立问题，理解新定义凸函数是难点，考查理解与转化的能力，属于中档题．

14.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由题意利用正弦定理可得，由余弦定理可求得，再结合正弦定理得，利用面积公式可求得，进而得到．

【解答】
解：因为，所以，
即，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，因为，所以，
由正弦定理，则，即，整理可得，
又，所以，则，
所以，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：，
又，
，
，
又因为，，三点共线，
则，
即，
，
，
，
，
，
，即的最小值为．
故答案为：．
首先利用，，三点共线求得值，再通过结合不等式即可求解其最小值．
此题考查了向量之间的转化，数量积，向量的模，不等式等，综合性较强，属于中档题．

16.【答案】 

【解析】解：因为经过点和，
所以，，可得，
故，
因为，所以，所以，
当时，，可得，
所以，要使恒成立，
只要，即，又，从而；
当时，；
当时，，所以，
所以，要使恒成立，
只要，解得，又，从而．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
先根据将，转化为来表示，由此化简的解析式，对进行分类讨论，根据恒成立列不等式来求得的取值范围．
本题主要考查了不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，体现了转化思想的应用，属于中档题．

17.【答案】依题意可得：，即，
，
，
又函数在处的切线为，，
，
解得：．
由可得：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
的单调减区间为，的单调增区间为． 

【解析】首先对求导，求出点处的切线方程与相等即可；
结合然后利用导数求解函数的单调区间即可．
题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的求法，以及计算能力

18.【答案】解：Ⅰ
，
因为周期为，所以，故．
由，得，
故函数的单调递减区间为．
Ⅱ，即，
由正弦函数得性质得，
解得，所以，
则取值的集合为． 

【解析】Ⅰ利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的周期性求得的值，从而确定的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间．
Ⅱ利用正弦函数的图象和性质，求出的解集．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

19.【答案】解：在中，由余弦定理得，

，
所以千米．
设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
．
因为，
所以，，
因此

，
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值．
答：两条观光线路距离之和的最大值为千米． 

【解析】本题考查解三角形的实际应用，关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形．
在中，利用余弦定理得到；
设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值．

20.【答案】解：，
有两个极值点，，则在上有两个实数根，，
所以在上有两个实数根，，
则，解得，
故的取值范围为；
证明：由知，且，


，
令，，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，
故，
因此在单调递减，
故，
故，得证． 

【解析】求导，将问题转化为在上有两个实数根，，根据二次方程根的分布即可求解，
结合，代入化简式子，将问题转化为，利用导数即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．

21.【答案】解：由，
当时，得．
当时，，，且当时，，，此时．
所以，即在上单调递増，
所以，
由恒成立，得，所以．
由得，且．
由题意得，所以．
又在切线上．
所以所以．
所以．
即方程有两解，可得，所以．
令，则，
当时，，所以在上是减函数．
当时，，所以在上是减函数．
所以．
又当时，；且有．
数形结合易知：． 

【解析】化简函数的解析式，求出函数的导数，判断导函数的符号，判断函数的单调性求出最小值即可得到结果．
求出，通过利用，求出在切线上．求出得到方程有两解，得到构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值然后求解即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及单调性的求解与判断，考查转化思想以及计算能力．

22.【答案】证明：，，
当时，，，，所以，
 当时，，，，所以，
所以当时，，
故在上单调递增．
解：化简得，
当时，，显然恒成立；
当时，，显然恒成立；
当时，，则恒成立，
设，，则，
设，，则恒成立，在上单调递增，
又由，
所以当时，即，在上单调递减，
当时，即，在上单调递增，
所以的最大值为，
故的取值范围为． 

【解析】先求函数的导数，分，两种情况讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可得出结论；
由题意得恒成立，当，时，显然恒成立；当时，得，构造函数，
结合函数的单调性及最值即可得出结果．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数不等式恒成立问题，属于较难题．