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江苏省无锡市江阴市徐霞客中学2023-2024学年九年级上学期第一次阶段性测试数学试卷(月考)
展开初三数学第一次阶段性测试
(满分150分,考试时间为120分钟) 2023.10
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分).
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.2x+y=3 B.2x3-x=1 C.y+=5 D.3x-x2=6
2. 若,则的值等于( )
A. B. C. D.
3.如图,已知 1 2 ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是( )
A. B D B.C AED C. D.
4. 下列一元二次方程两根之和为2的方程为( )
A.x2﹣2x+3=0 B.2x2+4x﹣1=0 C. x2﹣2x﹣2=0 D.x2﹣3x+2=0
5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围 ( )
A. B. C. D.
6. 如图,已知 AD 为△ABC 的角平分线,DE∥AB 交AC于E,如果 ,那么等于( )
A. B. C. D.
7. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法.以方程 x2+2x-35=0 即 x(x+2)=35 为例说明,记载的方法是:构造如图,大正方形的面积是(x+x+2)2.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即 4×35+22,因此 x=5.则在下面四个构图中, 能正确说明方程 x2-5x-6=0 解法的构图是( )
8. 如图,长方形花圃ABCD 面积为4 m2,它的一边AD利用已有的围墙(围墙足够长), 另外三边所围的栅栏的总长度是 5 m.EF 处开一门,宽度为1 m.设AB的长度是 x m, 根据题意,下面所列方程正确的是( )
A. x(5-2x)=4 B. x(5+1-2x)=4 C. x(5-2x-1)=4 D. x(2.5-x)=4
9. 若关于 x 的方程ax2+bx+c=0 中,a≠0,且 a、b、c 满足 a+b+c=0 和 4a-2b+c=0,则方程的根是( )
A. 1,-2 B.-1,0 C. 1,0 D.无法确定
10. 如图,△ABO中∠AOB=90°,∠B=30°,点A在第一象限,点B在第四象限,若点A(x0,y0)的坐标满足y0=,则点B(x,y)的坐标x,y所满足的关系式为 ( )
A. y=- B. y=- C. y= D. y=
二、填空题(本大题共8小题,每题3分,其中第18题第1空1分,第2空2分,共24分).
11. 若方程x2-kx+3=0的一个根为1,则 k= .
12. 若两个相似三角形的相似比是4:9,则周长比是 .
13. 在比例尺为 1∶2 000 的地图上,测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米,则其实际距离为 米.
14. 关于x的一元二次方程 x2+mx﹣1=0,当 m=1 时,该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形,希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计;我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.则黄金分割数为 .
15. 如图,在△ABC中,DE∥AB,=,CE=3cm,则BE的长为 .
16. 如图,△ABC 中,AB=BC,AC=8,点 F是△ABC 的重心,BF=6,则 DF=_________.
17. 已知x=m是一元二次方程x2+2x+n﹣3=0的一个根,则m+n的最大值为 .
18. 在正方形ABCD中,AB=2,E是直线CD上的动点,连接AE、BE,F是AE上一点,连接BF,使
∠AFB=∠ABE,则AF•AE的值为 ,在E运动的过程中BF的最小值为 .
三、解答题(本大题共10小题,共96分)
19.(本题满分16分)解方程:
(1) (x-2)2=4; (2)x2-4x-1=0(配方法).
(3)2x2 +3x-1=0. (4)
20.(本题满分4+4=8分)
如图,在□ABCD中,点E在BC上,∠CDE=∠DAE.
(1)求证:△ADE∽△DEC;
(2)若AD=6,DE=4,求CE的长.
21.(本题满分4+4=8分)
已知:□ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 的两个实数根.
(1)当m为何值时,平行四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若AB的长为2,那么□ABCD的周长是多少?
22.(本题满分3+3=6分)
如图,格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度,△ABC的顶点都在格点上.
(1)画格点三角形△A’B’C’, 使得△A’B’C’ ∽△ABC且面积比为2:1;
(2)利用格点在边AB上求作M、N两点,使得CM、CN将△ABC面积三等分.
23.(本题满分4+4=8分)
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°, E为AB中点.
(1)求证:AC=AB•AD;
(2)若AD=4,AB=6,求的值.
24.(本题满分5+5=10分)
某商场今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品.当商品售价为 40 元时,三月份销售 128 件,假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下,五月份的销量达到 200 件.
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率;
(2)从六月起,如果售价不变,预计销售量和五月份持平,商场采用降价促销方式回馈顾客,经调查
发现,该商品每降1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场六月可获利 2250 元?
25.(本题满分4+6=10分)
在△ABC中AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上,连接DE,设BD=x(0<x<6),CE=y(0<y<8).
(1)当x=2,y=5时,求证:△AED∽△ABC;
(2)若△ADE和△ABC相似,求y与x的函数表达式.
26.(本题满分4+4=8分)
阅读下面的例题:分解因式:x2+2x﹣1.
解:令x2+2x﹣1=0得到一个关于x的一元二次方程.
∵a=1, b=2, c=—1,
∴ = = —1±. 解得x1=﹣1+,x2=﹣1﹣;
∴ x2+2x﹣1=(x﹣x1)(x﹣x2)=[x﹣(﹣1+][ x﹣(﹣1﹣]= (x+1﹣ (x+1+.
这种因式分解的方法叫求根法,请你利用这种方法完成下面问题:
(1)已知代数式x2﹣2x﹣k对应的方程解为﹣3和5,则代数式x2﹣2x﹣k分解后为 ,
k的值为 ;
(2)将代数式x2﹣3x+1分解因式.
27.(本题满分6+4=10分)
△ABC中,AB=6,AC=4,BC=5.
(1)如图1,若AD是∠BAC的平分线,DE∥AB,求CE的长与的比值;
(2)如图2,将边AC折叠,使得AC在AB边上,折痕为AM,再将边MB折叠,使得MB'与MC'重合,折痕为MN,求AN的长.
28.(本题满分2+4+6=12分)
如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=60 cm,BC=80 cm.点 P 从点 A 出发,以 5 cm/s 的速度沿 AC 向终点 C 匀速移动.过点 P 作 PQ⊥AB,垂足为点 Q,以 PQ 为边作正方形 PQMN,点 M 在 AB 边上, 连接 CN.设点 P 移动的时间为 t(s).
(1)PQ= ;(用含 t 的代数式表示)
(2)当点 C,N,M 在同一条直线上时,求出相应的 t 的值;
(3)当△PCN 为等腰三角形时,求 t 的值.
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