四川省成都市天府新区2022-2023学年九年级上学期期末考试（一模）数学试题(解析版)

这是一份四川省成都市天府新区2022-2023学年九年级上学期期末考试（一模）数学试题(解析版)，共30页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上期九年级期末考试数学
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2. 下列方程中，关于的一元二次方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】A、，是一元二次方程，正确；
B、，不是整式方程，不是一元二次方程，错误；
C、，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，错误；
D、，含有二个未知数，不是一元二次方程，错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3. 若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：∵3x＝2y（y≠0），
A、由得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
B、由得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
C、由得，xy＝6，故本选项比例式不成立；
D、由得，3x＝2y，故本选项比例式成立．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
4. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）

A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD=AB D. ∠BAD＝∠ADC
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据矩形的判定进行解答.
【详解】根据题意，四边形ABCD是平行四边形，
A. 有一个是直角的平行四边形是矩形，不符合题意，该选项错误；
B. 对角线相等的平行四边是矩形，不符合题意，该选项错误；
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意，该选项正确；
D. 平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90，是矩形，不符合题意，该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形判定的简单应用，解题的关键是掌握矩形的判定定理，明确矩形和平行四边形、菱形、正方形之间区别.
6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）

A 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　）
A. （x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B. （x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C. x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D. （x﹣2）2+x2＝（x+4）2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，对角线长为x尺，根据勾股定理可得的方程．
【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，
故选：B．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8. 对于反比例函数，下列说法不正确的是　　
A. 图象分布在第二、四象限
B. 当时，随的增大而增大
C. 图象经过点（1,-2）
D. 若点，都在图象上，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；
D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2 故选:D.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题代上）
9. 已知关于x的方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_______．
【答案】##2.5
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即9-4m=0，解得m=．
故答案为．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
10. 如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______．

【答案】##
【解析】
【分析】根据位似可知，，位似比为，可知，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握位似比，相似比，面积比之间的数量关系是解题的关键．
11. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）

【答案】5-5
【解析】
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为：5﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于x轴的对称点B在双曲线，则的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】由点在双曲线上，可得，由点与点关于轴的对称，可得到点的坐标，进而表示出n，然后得出答案．
【详解】解：点在双曲线上，
∴，
∵又点与点关于轴的对称，

点在双曲线上，
∴，
∴，
故答案为：0．
【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
13. 如图，在正方形中，，E是的中点，并按以下步骤作图：分别以A和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，H；作直线交于点F，则的长为_______．

【答案】##0.75
【解析】
【分析】先由作法得出且平分，从而得到，中，设，则，由勾股定理，得，求解即可．
【详解】解：连接，

由作图可知，且平分，
，
∵正方形，
∴，，
∵E是的中点，
，
在中，设，则，
由勾股定理，得，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质、勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，计算负整数指数幂，化简绝对值，计算零次幂，再合并即可；
（2）先提取公因式，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：（1）

；
（2）
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查是的实数的混合运算，二次根式的加减运算，零次幂与负整数指数幂的含义，一元二次方程的解法，掌握以上基础运算是解本题的关键．
15. 在一次数学节活动中，学校开展了数学科普讲座、数学游园会、纪念数学家、数学园地刊物展四项活动（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同学进行了“你最喜欢哪一项数学活动”的问卷调查，要求必选且只选一种．并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：

（1）请补全条形统计图．
（2）估计全体1800名学生中最喜欢数学游园会的人数约为_______人．
（3）现从喜好数学游园会的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法求恰好甲和丙被选到的概率．
【答案】（1）见解析 （2）810
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出喜欢纪念数学家的人数和喜欢数学游园会的人数，再据此补全条形统计图即可；
（2）用全体意人数乘以喜欢数学游园会在样体中点的百分比即可求解；
（3）画树状图分析得出所有可能结果共有12种，恰好甲和丙被选到的2种，然后由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：喜欢纪念数学家的人数为：(名)，
喜欢数学游园会的人数为：(名)，
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：(名)，
【小问3详解】
解：画树状图为：

由图可知，所有可能结果共有12种，恰好甲和丙被选到的2种，所以恰好甲和丙被选到的概率为，
答：恰好甲和丙被选到的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，能从统计图中获取有用信息和掌握用树状图或列表法求概率是解题关键．
16. 坐落于天府新区兴隆湖的湖畔书店被喻为成都最美水下书店，像一本从天上掉下的书，书店由水下和水上两个部分组成．阳阳想要测出水上部分的高度，则在书房水上部分的底端B的同水平面C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处的E处时，看到书房顶端A在镜子中的像与标记C重合．已知B，C，E在同一直线上，阳阳的眼睛离地面的高度，求书房水上部分的高度．

【答案】书房水上部分的高度为．
【解析】
【分析】由实际应用可得，再根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
∴书房水上部分的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
17. 如图，在中，，E，D分别是的中点，延长到点C，使得，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，，，，再证明，可得结论；
（2）先求解，由，可得，，再求解，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵中，，
∴，，
∵E，D分别是的中点，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，而，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵，菱形，，
∴，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的面积的计算，熟练的掌握菱形的判定方法是解本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，B两点，是y轴上的一个定点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）H是线段上的一点，当的面积被线段分成面积比为2∶3的两部分时，求点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，请在x轴上找点M，平面内找点N，使得四边形为矩形，求M，N两点的坐标．（直接写出答案）
【答案】（1）反比例函数为：，．
（2）的坐标为或．
（3），；或， ．
【解析】
【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式，再联立两个解析式解方程组可得B的坐标；
（2）如图，在上取点，，满足，且，则，可得，，则，，设，再利用勾股定理列方程解答即可；
（3）如图，当时，四边形为矩形，，连接，设，当时，如图，设，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴反比例函数为：，
∴，
解得：或，
∴．
【小问2详解】
如图，在上取点，，满足，且，则，
∴，，
∴，，

设，
∵，，
∴，，
∴，
解得：（负根舍去），
∴，
同理可得：，此时即为的另一个位置，
∴的坐标为或．
【小问3详解】
如图，当时，四边形为矩形，
∴，

连接，设，
∴，，
，
∴由勾股定理得：，
解得：，则，
由平移的性质可得：，即．
当时，如图，设，

∴，，
，
∴由勾股定理得：，
解得：，则，
由平移的性质可得：，即．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，求解函数的交点坐标，坐标与图形面积，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，矩形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知是方程的一个根，则另一个根为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴；
∴方程的另一个根为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
20. 如图，在中，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为_______．

【答案】
【解析】
【分析】证明，求得，证明，求得，从而求得，然后由针尖落在黑色区域内的概率为求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴针尖落在黑色区域内的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，相似三角形的判定与性质，熟练掌握几何概率公式，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于两点，若的面积是，则的值为________．

【答案】
【解析】
【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数几何意义即可求出的值．
【详解】解：如图所示：连接、，

∵轴，
∴，
∴，
又∵的面积是，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，定义：直线的伴随点为．例如直线的伴随点为．特别的，直线的伴随点为．如图，平面上的三条直线两两相交且不交于同一点．三个交点分别为A，B，C，且各自的伴随点分别为，若与相似，则k的值为________．

【答案】或
【解析】
【分析】先分别求解A，B，C，，，的坐标，再证明，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵的伴随点为，
的伴随点为，
的伴随点为，
而与的交点，
与的交点，
与的交点，
如图，，此时，
，，
∴，
∴，

∵与相似，
∴当时，此时两个三角形全等，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，解得，经检验舍去，
∴，
当时，
∴，而，，
∴，
整理得：，
解得：，，
经检验；不符合题意，
∴，
综上：的值为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，正比例函数的性质，交点坐标的含义，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，理解新定义，清晰的分类讨论是解本题的关键．
23. 如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P；先通过判定、得到、；设,则，得到，即；说明点G在直线上且，的最小值为点A到直线的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答．
【详解】解：如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P

∵四边形为矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴,
∴
又∵分别是和对应边上的高
∴
∴
设,则
∴，即
∵
∴
∴
∴，即
∴，即
∵
∴点G在直线上且
∴的最小值为点A到直线的垂线段长度
∴
∵
∴
∴当时，有最小值，则的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形的判定与性质得到点G在直线上且成为解答本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？
【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
（2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元..
【解析】
【分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润；
（2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可.
【小问1详解】
解：依题意得：
降价4元后每件利润：（元），
降价4元后销量：（个），
降价4元后每天获利：（元），
答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
小问2详解】
解：设每个模型降价x元，
则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，
依题意得：
即：，
解得，，
因为每个模型盈利不少于元，
所以
即，
故，
答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键.
25. 在平面直角坐标系中，直线过定点，与双曲线交于第一象限的A，B两点．

（1）如图1，当直线解析式为时，求A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是的中点，求直线的解析式；
（3）在（1）的条件下，如图2，过原点的直线l与线段交于点Q，与双曲线分别交于点M，N．记的面积为，的面积为，当时，求点Q的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）联立两函数解析式，求解即可；
（2）设，，联立两函数解析式，得，则，由根与系数关系可得，再根据中点坐标公式可得，则，再把代入，得，两方程组成方程组求得k、b值即可；
（3）过点M作于C，过点N作于D，于E，过点Q作于F，由，得，则，可得，再由反比例函数图像的对称性可得M、N关于点O对称，则，，然后证，得，设，，所以有，解得：，代入即可求得点Q坐标．
【小问1详解】
解：联立两函数解析式，得
，解得：，，
∴，；
【小问2详解】
解：设，，
联立两函数解析式，得
，
则，
∵直线与双曲线交于第一象限的A，B两点．
∴，
∵点P是的中点，
∴
∴，
∴，
把代入，得
∴，
解得：，
∴，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：过点M作于C，过点N作于D，于E，过点Q作于F，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵过原点的直线l与线段交于点Q，与双曲线分别交于点M，N．
∴M、N关于点O对称，
∴，，
∵，，
∴，
∴
∴，
设，，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，函数与方程（组）的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质，函数与方程(组)的关系，一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．
26. 如图1，在中，．点P是线段上的一动点，将沿着折叠，点A落在处．

（1）求点A到直线的距离；
（2）如图2，点Q是线段上的一动点，将沿着折叠，使得边折叠后与重合．若，求证：；
（3）如图3，连接，过作的平行线，与直线交于点M．当时，求的长．
【答案】（1）点A到直线的距离为；
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图，过作交的延长线于，证明，从而可得结论；
（2）由对折可得：，，，，证明，再证明是等边三角形，可得，，证明，再利用相似三角形的性质可得答案；
（3）如图，过作于，先求解，，再求解，，证明，可得，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过作交的延长线于，

∵，，
∴，，，
∴，
即点A到直线的距离为；
【小问2详解】
由对折可得：，，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图，过作于，

由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴由等面积法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形与相似三角形是解本题的关键．