四川省成都市武侯区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

这是一份四川省成都市武侯区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(解析版)，共31页。试卷主要包含了考生使用答题卡作答，22B等内容，欢迎下载使用。
2022~2023学年度上期期末考试试题
九年级数学
注意事项：
1.全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟.
2.考生使用答题卡作答.
3.在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回.
4.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
5.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
6.保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等.
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是(    )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B．方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．
C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；
D．方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程是一元二次方程．
2. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左边看得到图形是左视图，即可得到答案．
【详解】解：从左边看是两个长方形，上面的长方形靠左，下面的长方形靠右，
故选C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形就是左视图．
3. 下列函数中，当时，的值随值的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质依次判断即可．
【详解】解：A、因为，图象位于二、四象限，则当时，y随x的增大而增大，故该选项符合题意；
B、因为，则y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、因为，则y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、因为，图象位于一、三象限，则当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，解题关键是牢记它们的图象与性质．其中对于反比例函数，当时，图象位于一、三象限，当时，图象位于二、四象限；对于一次函数，当时，图象必经过一、三象限，当时，图象必经过二、四象限．
4. 已知，若，，则的度数是（ ）
A. 35° B. 65° C. 80° D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
5. 下列说法不正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B. 菱形的对角线互相垂直
C. 矩形的对角线相等
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，进行判断即可得．
【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握这些性质．
6. 如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　）

A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7. 随机抛掷一枚瓶盖次，经过统计得到“正面朝上”的次数为次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为（ ）
A. 0.22 B. 0.42 C. 0.50 D. 0.58
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机抛掷一枚瓶盖次， “正面朝上”的次数为次可得“反面朝上”的次数，即可得．
【详解】解：∵随机抛掷一枚瓶盖次， “正面朝上”的次数为次，
∴“反面朝上”的次数为（次），
∴这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，求出随机抛掷一枚瓶盖次“反面朝上”的次数．
8. 如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点，点是位于直线下方的上的一动点（点不与重合），连接，．过点作，过点作，与相交于点．若，设，．则关于的函数关系用图像可以大致表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据得到，再根据直线是线段的中垂线，点是位于直线下方的上的一动点，得到，因为，得到，从而得到关于的函数关系式，最后再根据的取值范围即可得到答案．
【详解】解：，
，
直线是线段的中垂线，点是位于直线下方的上的一动点，
，
，
，
，即，
，
点不与重合，点是位于直线下方，
，，即，
故中的取值范围为：，故A、D错误，不符合题意，
为反比例函数，故C错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求函数关系式，三角形相似，解题的关键是掌握动点运动的轨迹，根据相似从而得到函数关系式，再根据轨迹确定的取值范围，从而得到答案．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：菱形的对角线，，
菱形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形面积的计算，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
10. 如图，，它们依次交直线，于点和点，若，，则的值是______．

【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
11. 若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再将计算得，代入即可得到答案．
【详解】解：是方程的两个实数根，
，，





，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程两根，则，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12. 如图，在矩形中，对角线相交于点，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据矩形性质得出AC=2OC，BD=2OB，AC=BD，推出OC =OB，得出等边△AOB，求出∠OCB =30°，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OB，AC=BD，
∴OC =OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠OCB =30°，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=2AB=6，
∴BC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质的应用，三角形的外角性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
13. 如图，点在反比例函数图像上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，连接，．若，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】令与轴的交点为，由轴得，从而可得，即可求得的值．
【详解】解：令与轴的交点为，如图所示，

轴，
轴，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于的一半，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 解方程
（1）；
（2）.
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）提公因式法因式分解解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：
，
，
，
或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程——因式分解法以及一元二次方程——配方法，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及配方法．
15. 为了测试成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）.其中，，三点在同一条直线上.已知小军的眼睛距离地面的高度的长约为，和的长分别为和，求建筑物的高度.（说明：由物理知识，可知）

【答案】
【解析】
【分析】先求出，得到，代入数值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴,
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵和的长分别为40m和1m，的长约为1.75m，
∴，
∴（m），
答：建筑物的高度约为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
16. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至2022年10月22日在北京胜利召开.为了增进全校学生对二十大有关知识的了解，某校团委举行了关于二十大知识的竞赛活动，最终A，B，C，D这四名同学在本次活动中获得了一等奖，其中A，B，C是女生，D是男生.
（1）若校团委决定从获得一等奖的这四名同学中随机选取一名同学在总结大会上发言，则选取的这名同学是女生的概率为______；
（2）若校团委决定从获得一等奖的这四名同学中随机选取两名同学在总结大会上发言，请用列表或画树状图的方法求选取的两名同学是一名女生和一名男生的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）一共有4名同学，其中女生有1人，再运用概率公式求解即可；
（2）用列表法列举出所有可能出现的结果情况数和一名女生和一名男生的结果数，再运用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有4名同学，其中女生有1人
∴选取的这名同学是女生的概率为．
故答案为．
【小问2详解】
解：设A为女生，B、C、D为男生

则所有可能出现的结果情况数为12，有1名女生的结果数为6
所以选取的两名同学是一名女生和一名男生的概率．
答：选取的两名同学是一名女生和一名男生的概率是．
【点睛】本题主要考查列表法或树状图法求随机事件的概率、概率公式等知识点，列举出所有可能出现的结果情况是解答本题的关键．
17. 如图，已知是等边三角形，点在边的延长线上，连接，以为边在直线的右侧作等边，延长交直线于点．

（1）求证：；
（2）过A作于点，若，，分别求及的长．
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，则，再根据角的转化得到，即可证明；
（2）根据和等边三角形的性质可得，，再根据勾股定理可得，进而即可得到，最后根据相似三角形的性质即可得到解答．
【小问1详解】
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等边三角形的性质和含直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于两点，点分别在轴和轴的正半轴上，点的纵坐标为3，点的横坐标为1．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，，与相交于点．
ⅰ）求证：；
ⅱ）连接，当是直角三角形时，求此时的长．
【答案】（1）反比例函数解析式为
（2）ⅰ）见解析；ⅱ）的长为或
【解析】
【分析】（1）根据四边形是矩形，点的纵坐标为3，点的横坐标为1，得出点的坐标，再由点在反比例函数图象上，代入即可求得反比例函数解析式；
（2）ⅰ）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点的坐标，再根据中点坐标公式即可得出点为的中点，从而证明出；ⅱ）设点的坐标为，则点的坐标为，由ⅰ）得，点的坐标为：，从而可以表示出的长度，再分和分类讨论，分别求出的值，从而可得出的长．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
轴，
点的纵坐标为3，点的横坐标为1，
点坐标为，
点在反比例函数的图像上，
，解得，
反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
ⅰ）证明：设点的坐标为，则点的坐标为，
令直线的解析式为：，
点在直线上，
，解得，
直线的解析式为：，
令直线的解析式为：，
点在直线上，
，解得，
直线的解析式为：，
由得，，
点的坐标为：，
，
为的中点，
；
ⅱ）设点的坐标为，则点的坐标为，
由ⅰ）可知点的坐标为：，

，
，
，
是直角三角形，
当时，则，
即，
解得：或，
当时，此时与重合，不符合题意，舍去，
当时，此时，，
当时，则，
即，
解得：或或或，
，
或
当时，此时与重合，不符合题意，舍去，
当时，此时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了了矩形的性质，求反比例函数的解析式，勾股定理，中点坐标公式，设出点的坐标，从而表示出点的坐标是解题的关键，注意运用分类讨论的思想解题．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知（其中），则的值为______.
【答案】##
【解析】
分析】由题意可得，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式

；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20. 如图，在中，，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则______.

【答案】
【解析】
【分析】分别求出和后即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是利用勾股定理求出，再利用线段之间的关系求出所需线段的长．
21. 已知关于的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，则取得的，的值能使该一元二次方程有实数根的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】用列举法依次确定满足方程有实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：，
当和和和时，这四种情况均有，
由于m和n的取值一共有六种情况（m在前，n在后），
∴取得的 m ， n 的值能使该一元二次方程有实数根的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式，理解当时，方程才有实数根．
22. 如图，直线与双曲线相交于，两点（点在的左侧），点是位于点左侧的双曲线上任意一点，直线，分别交轴于，两点，则______．

【答案】
【解析】
【分析】过作轴于，过作轴于，过作于，过作轴于，可证得四边形是矩形，故，利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例的性质，可得出，，将其代入，即可得出答案．
【详解】过作轴于，过作轴于，过作于，过作轴于，

∴,，
∴四边形是矩形，,
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵直线与双曲线相交于，两点，
∴关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质与相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例的性质，掌握相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
23. 如图，在边长为4的正方形中，点是边上的动点（点不与，重合），连接，过点作于点，点是点关于直线的对称点，连接，，.则当取得最小值时，的面积是______.

【答案】
【解析】
【分析】先确定F点的位置，再求出G点到的距离，最后求出G点到的距离后即可求解．
【详解】解：∵点是点关于直线的对称点，
∴，
∵，
∴，
∴F点在以为直径的圆上，如图所示，连接，
当C点、F点、O点三点共线时，最小，
∴与的交点即为当取得最小值时F点的位置，
连接与的延长线交于点N，
由题意得，
∴，
∴，
∵正方形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
过F点作于P，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是点关于直线的对称点，
∴，
∴，
设G点到的距离为a，则到的距离为，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是，
故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称、辅助圆等知识，解题关键是能利用辅助圆确定动点的轨迹，能构造相似三角形，利用相似三角形的性质求线段的长．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 在平面直角坐标系中，已知点，点，分别是轴正半轴，轴正半轴上的动点，且满足，连接，，.
（1）如图，当轴时，求的面积；

（2）如图，当的面积为2，且点A在点的左侧时，求此时点A的坐标.

【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用三角形的面积公式求解即可；
（2）利用割补法求面积，再利用三角形面积为2建立方程，解方程即可．
【小问1详解】
∵轴，，
∴；
∴的面积为；
【小问2详解】
如图，过点P作轴于点C，
∵，
∴，，
设，
∴


∴，
解得：，
∴此时点A的坐标为．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的三角形面积问题，用到了一元二次方程的知识，解题关键是能列出一元二次方程，并掌握三角形面积的求法，除了它的面积公式以外，还有“割补法”求三角形面积．
25. 如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.

（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求及的长；
（3）若，求的值.
【答案】（1）等边三角形，理由见解析
（2），
（3）的值为或
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可；
（2）先构造直角三角形求出，再证明，利用相似三角形的性质计算即可；
（3）先设，，利用得到或，再利用平行线分线段成比例的推论进行计算即可．
【小问1详解】
在菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形．
【小问2详解】
过B点作，垂足P，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将射线绕点逆时针旋转60°，得到线段，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【小问3详解】
设，，
如图，过E点作交于H，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴的值为或．

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等内容，解题关键是能通过构造直角三角形与相似三角形，表示出各线段之间的关系，再来计算，本题较综合，考查了学生分析问题的能力．
26. 【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点（其中，），点为平面内一点，现给出如下定义：将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，点关于直线的对称点为、那么我们称点为点关于点的“平对点”．
【迁移运用】
在平面直角坐标系中，已知点（其中，），点为平面内一点，点为点关于点的“平对点”，完成下列各题：
（1）当，时，
ⅰ）如图，若点的坐标为，请在图中画出点；

ⅱ）如图，若点的坐标为，连接，求的长；

（2）当点在直线左侧时，连接，，若直线与直线相交所形成的锐角为，求线段的长的最小值（用含，的代数式表示）．
【答案】（1）ⅰ）作图见详解；ⅱ）的长为；
（2）．
【解析】
【分析】（1）ⅰ）根据“平对点”的概念，先确定，再确定，点关于的对称，即可求出点的位置；ⅱ）由ⅰ）可知点的坐标，若点的坐标为，由此即可求解；
（2）如图，过M作x轴的平行线，交过且平行y轴的线于B，交过Q且平行y轴的线于C，连接，与交于A，设，则，设直线解析式为，求出：，得，由题意可知，求出从而得到，当的长的有最小值时，
，证得到求出即可．
【小问1详解】
解：ⅰ）∵，，
∴．
将点向右移动个单位长度为，再向上移动个单位长度为，
∴，
∴点关于的对称点，如图所示；


ⅱ）将点向右移动个单位长度为，再向上移动个单位长度为，
∴．
如图，连接，．

设直线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∴．
∵点和点关于的对称，
∴，平分，
设与交于点，过点作轴于点G，于点，如图所示，

则，
∴，
设的坐标为，
则，
解得：，
∴
∴
∴，．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，设与交于点，过作x轴的平行线，交过且平行y轴的线于B，交过Q且平行y轴的线于C，连接，与交于A，
设，则，
设直线解析式为
则
解得：，

由题意可知：
，，，


当时，
,




当的长的有最小值时


在与中


，



故的长的最小值为

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的变换规律，掌握直角坐标系中点坐标的平移性质，对称性质是解题的关键．