北师大版七年级上册3.5 探索与表达规律练习题

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3.5探索与表达规律【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
1整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
2代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
 ①已知条件不化简，所给代数式化简；
 ②已知条件化简，所给代数式不化简；
 ③已知条件和所给代数式都要化简．
3整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
4规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若是不为2的有理数，则我们把称为的“哈利数””，如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”， 是的“哈利数”， 是的“哈利数” ，以此类推，则等于　　
A．3 B． C． D．
2．如图所示，是用黑色棋子摆成的有规律图形，若第个图形时，黑色棋子有2024枚，则　　

A．504 B．505 C．674 D．675
3．将字母“”“ ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是　　

A． B． C． D．
4．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要7枚棋子，摆第2个图案要19枚棋子，摆第3个图案要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第7个图案要棋子　　

A．221枚 B．363枚 C．169枚 D．251枚
5．“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”——罗丹，美在数学中也不曾少有．如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．试求图中斐波那契螺旋线的长　　取

A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68
6．将全体正奇数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第25行第20个数是　　
A．639 B．637 C．635 D．633
7．如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图⑨中共有爱心的个数为　　

A．15 B．17 C．19 D．21
8．如图，内部有若干个点，用这些点以及的顶点，，（其中每三个点不共线）把原分割成一些互相不重叠的小三角形．若当内部有个点时，恰好把原分割成2023个互相不重叠的小三角形，则的值为　　

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
9．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是　　

A．8092 B．8093 C．4046 D．4047
10．如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△按此规律，则第9个图形中△的个数为　　


A．108 B．128 C．144 D．162
二．填空题（共8小题）
11．观察下列单项式：，，，，，，按此规律，第10个单项式是　 　．
12．如图是若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边有盆花，每个图案花盆的总数是，按此规律，则与的关系　 　．

13．已知：．请计算：　　．（用含的代数式表示）
14．一列数，按一定规律排列成，，，，，，那么这一组数据的第个式子是 　　（用含有的式子表示）．
15．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令①，②，
①②：有，解得：．类比以上做法，若为正整数，，则　　．
16．在由一些小正方形组成的网格中，研究如图中的一条线段所穿过的小正方形个数．请你观察下面图形，按此规律猜想在的网格中，这条线段所穿过的小正方形个数是 　　个．

17．观察下列单项式：，，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 　　．
18．一个跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点　　个单位长度．
三．解答题（共8小题）
19．观察下列算式：，，，．
（1）可猜想；　　；
（2）若用正整数表示（1）中等号左边的两位数中的十位数字，则可用含的等式表示（1）的运算规律：　　；
（3）请用所学知识说明（2）所写等式的正确性．
20．观察下列式子：①，②，③，
（1）请写出第5个等式：　　；
（2）根据你发现的规律，请写出第个等式：　　．
（3）试用所学知识说明你所写出的等式的正确性；
21．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
22．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
23．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；

根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并验证其正确性．
24．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边长作第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边长作第3个正方形，如此进行下去，
①记正方形的边长为，依上述方法
②所作的正方形的边长依次记为、、，则　　，　　，　　；
③据上述规律写出第个正方形的边长的表达式，　　．

25．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示），并证明．
26．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：
（1）图10中小正方形的数量是 　　个：图2023的周长是 　　个单位长度；
（2）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，则　　个（用含的代数式表示）．


3.5探索与表达规律【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
1整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
2代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
 ①已知条件不化简，所给代数式化简；
 ②已知条件化简，所给代数式不化简；
 ③已知条件和所给代数式都要化简．
3整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
4规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．若是不为2的有理数，则我们把称为的“哈利数””，如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”， 是的“哈利数”， 是的“哈利数” ，以此类推，则等于　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
该数列每4个数为1周期循环，
，
．
故选：．
2．如图所示，是用黑色棋子摆成的有规律图形，若第个图形时，黑色棋子有2024枚，则　　

A．504 B．505 C．674 D．675
【答案】
【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为：5，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，，据此可求得第个图形菱形的个数，从而可求解．
【解答】解：第1个图形中黑色棋子的个数为：5，
第2个图形中黑色棋子的个数为：，
第3个图形中黑色棋子的个数为：，
，
第个图形中黑色棋子的个数为：，
当有黑色棋子2024枚时，，
解得：．
故选：．
3．将字母“”“ ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】列举每个图形中“”的个数，找到规律即可得出答案．
【解答】解：第①个图中“”的个数为，
第②个图中“”的个数为，
第③个图中“”的个数为，
第④个图中“”的个数为，
第⑤个图中“”的个数为，

则第个图形中字母“”的个数是，
故选：．
4．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要7枚棋子，摆第2个图案要19枚棋子，摆第3个图案要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第7个图案要棋子　　

A．221枚 B．363枚 C．169枚 D．251枚
【分析】依次解出，2，3，，图案需要的棋子枚数．再根据规律依此类推，可得出第个图案需要的棋子枚数，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：时，总数是；
时，总数为；
时，总数为枚；
；
时，有枚．
时，总数为枚．
故选：．
5．“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”——罗丹，美在数学中也不曾少有．如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．试求图中斐波那契螺旋线的长　　取

A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68
【答案】
【分析】分别计算6段圆弧的长，然后求和即可．
【解答】解：若半径为，则四分之一圆弧长为，
6段圆弧的长分别为：，，，，，
图中斐波那契螺旋线的长为6段弧长之和，即．
故选：．
6．将全体正奇数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第25行第20个数是　　
A．639 B．637 C．635 D．633
【答案】
【分析】分析出每行个数与行数关系，再分析出每行最大数与行数的关系，代入计算即可．
【解答】解：由题得，每行个数与行数相等，
故第25行有25个数，
且都为奇数，
由数列1，5，11，19，．
得每行最大数与行数的关系为：，
故第25行最大数为：，
第25行第20个数是639，
故选：．
7．如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图⑨中共有爱心的个数为　　

A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】
【分析】不难看出，图①中爱心的个数为：5，图②中爱心的个数为：，图③中爱心的个数为：，图④中爱心的个数为：，从而可求得图中爱心的个数，从而可求图⑨中爱心的个数．
【解答】解：图①中爱心的个数为：5，
图②中爱心的个数为：，
图③中爱心的个数为：，
图④中爱心的个数为：，
，
图中爱心的个数为：，
图⑨中爱心的个数为：．
故选：．
8．如图，内部有若干个点，用这些点以及的顶点，，（其中每三个点不共线）把原分割成一些互相不重叠的小三角形．若当内部有个点时，恰好把原分割成2023个互相不重叠的小三角形，则的值为　　

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】
【分析】先根据三角形内部的点的个数和小三角形的个数，找出关系，再计算求解．
【解答】解：当时，有个小三角形；
当时，有个小三角形；
当时，有个小三角形；
；
当有个点时，有，
解得：，
故选：．
9．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是　　

A．8092 B．8093 C．4046 D．4047
【答案】
【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数．
【解答】解：第一个图案有5个：，
第二个图案有9个：，
第三个图案有13个：，
，
则第个图形有：个，
故第2023个图案中有（个．
故选：．
10．如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△按此规律，则第9个图形中△的个数为　　


A．108 B．128 C．144 D．162
【答案】
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【解答】解：第①个图形一共有（个△，
第②个图形一共有：（个△，
第③个图形一共有（个△，

第9个图形一共有：（个△，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．观察下列单项式：，，，，，，按此规律，第10个单项式是　　．
【分析】分析题中每个单项式，系数为，含未知数的部分为：，则第项应为：．
【解答】解：由分析得到的规律可知第十项为：．
12．如图是若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边有盆花，每个图案花盆的总数是，按此规律，则与的关系　　．

【分析】观察图形，可发现规律：若每一条边上有盆花，则三条边上共有盆画，但在三角形的三个顶点处多算了一次，故为．
【解答】解：由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么；
第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么；
第二图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么；

由此可知以，为未知数的二元一次方程为．
故答案为：．
13．已知：．请计算：　　．（用含的代数式表示）
【答案】．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出、、，据此得出循环规律，再进一步求解可得．
【解答】解：，
，
，
．
这列式子的结果以，为周期，每3个数一循环．
，
．
故答案为：．
14．一列数，按一定规律排列成，，，，，，那么这一组数据的第个式子是 　　（用含有的式子表示）．
【答案】．
【分析】这列数的分子均为一列奇数，各个数的符号是正负交替，分母则是一个数的平方加1，据此即可作答．
【解答】解：第1个数：，
第2个数：，
第3个数：，
第4个数：，
第5个数：，
，
第个数：．
故答案为：．
15．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令①，②，
①②：有，解得：．类比以上做法，若为正整数，，则　19　．
【答案】19．
【分析】根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设①，
则②，
①②得，，
整理得，，
即，
解得，（舍去）．
故答案为：19．
16．在由一些小正方形组成的网格中，研究如图中的一条线段所穿过的小正方形个数．请你观察下面图形，按此规律猜想在的网格中，这条线段所穿过的小正方形个数是 　2022　个．

【答案】2022．
【分析】由图知，第个图形中由个小正方形，且线段穿过个小正方形，根据此规律计算即可．
【解答】解：由图知，第个图形中由个小正方形，且线段穿过个小正方形，
，
解得，
，
故答案为：2022．
17．观察下列单项式：，，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 　　．
【答案】．
【分析】系数的规律：第个对应的系数是．
指数的规律：第个对应的指数是．
【解答】解：根据分析的规律可得：第个单项式为，
故答案为：．
18．一个跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点　50　个单位长度．
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【解答】解：，所以落点处离0的距离是50个单位．
故答案为50．
三．解答题（共8小题）
19．观察下列算式：，，，．
（1）可猜想；　5625　；
（2）若用正整数表示（1）中等号左边的两位数中的十位数字，则可用含的等式表示（1）的运算规律：　　；
（3）请用所学知识说明（2）所写等式的正确性．
【答案】（1）5625；（2）；（3）见解析．
【分析】（1）分析等号左边的两位数字中的十位数字与等号右边百位（千位百位）数字的关系，即可求解；
（2）根据（1）中分析即可得出结论；
（3）分别计算等号左边、右边的代数式，证明左边等于右边即可．
【解答】解：（1）由题意知：，
，
，
，

因此猜想，
故答案为：5625；
（2）若用正整数表示（1）中等号左边的两位数中的十位数字，则可用含的等式表示（1）的运算规律：，
故答案为：；
（3）证明：

，
，
故．
20．观察下列式子：①，②，③，
（1）请写出第5个等式：　　；
（2）根据你发现的规律，请写出第个等式：　　．
（3）试用所学知识说明你所写出的等式的正确性；
【答案】（1）；
（2）；
（3）见解答过程．
【分析】（1）由所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，再总结即可；
（3）对（2）的等式的左边与右边的式子进行整理，从而可求证．
【解答】解：（1）第5个等式为：；
故答案为：；
（2）①，
②，
③，
，
第个等式为：，
故答案为：；
（3）左边，
右边，
．
21．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）；
（2），证明见解析过程．
【分析】（1）根据题目的规律可得第5个等式；
（2）根据题目的规律猜想得到等式，再利用因式分解证明左边等于右边即可．
【解答】（1）解：由题意可得，，
故答案为：；
（2），
证明：左边右边；
猜想成立．
22．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．
（2）猜想的第个等式为：．利用分式运算进行证明即可．
【解答】解：（1）第6个等式：；
（2）猜想的第个等式为：，
证明如下：
左边，
右边，
左边右边，
．
23．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；

根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并验证其正确性．
【答案】（1）；
（2）见解答．
【分析】（1）根据等式左、右两边的变化规律写出第5个等式即可；
（2）等式左边都可以表示成：的形式，等式右边都可以表示成：，由此可写出第个等式，再验证即可．
【解答】解：（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：，
故答案为：；
（2）第个等式：，
证明：右边左边，
．
24．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边长作第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边长作第3个正方形，如此进行下去，
①记正方形的边长为，依上述方法
②所作的正方形的边长依次记为、、，则　　，　　，　　；
③据上述规律写出第个正方形的边长的表达式，　　．

【答案】②，2，；
③．
【分析】②找到正方形对角线为正方形边长的倍的关系，根据即可求，进而可以求，；
③由②发现的规律可求与的关系．
【解答】解：②为边长为的正方形的对角线，
为边长为的正方形的对角线，
又因为正方形中对角线长为边长的倍，
所以，
，
；
故答案为：，2，；
③根据、、、的大小可以推断与的关系，
．
故答案为：．
25．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数．
【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）．
证明：左边




．
右边．
故答案为：．
26．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：
（1）图10中小正方形的数量是 　2023　个：图2023的周长是 　　个单位长度；
（2）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，则　　个（用含的代数式表示）．

【答案】（1）2023，8100；
（2）．
【分析】（1）不难看出第个图中小正方形的个数为：，周长为：，从而可求解；
（2）结合（1）进行求解即可．
【解答】解：（1）图1中小正方形的个数为：，周长为：；
图2中小正方形的个数为：，周长为：；
图3中小正方形的个数为：，周长为：；
，
图中小正方形的个数为：，周长为：，
图1010中小正方形的数量是：；
图 2023的周长是：，
故答案为：2023，8100；
（2）


．
故答案为：．