第4章 一次函数小结与复习 北师大版八年级数学上册教案

第4章一次函数小结与复习

一、教学目标

(一)知识与技能：1.了解一次函数的概念，掌握一次函数的图象和性质；2.能正确画出一次函数的图象，并能根据图象探索函数的性质；3.会用待定系数法求一次函数的解析式；4.会用一次函数解决简单的实际问题.

(二)过程与方法：理解数形结合的数学思想，强化数学的建模意识，提高利用演绎和归纳进行复习的能力.

(三)情感态度与价值观：通过对零散知识点的系统整理，让学生认识到事物是有规律可循的，同时帮助他们提高复习的效果，增进数学学习的兴趣.

二、教学重点、难点

重点：根据不同条件求一次函数的解析式.

难点：根据函数图象探索其性质.

三、教学过程

知识梳理

一、函数

1.常量与变量
数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量.

2.函数定义
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线

5.函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法

二、一次函数

1.一次函数与正比例函数的概念
一般地，如果y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数.

2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.

3.一次函数的图象与性质

4.用待定系数法求一次函数的解析式
求一次函数解析式的一般步骤：
(1)先设出函数解析式；
(2)根据条件列关于待定系数的方程(组)；
(3)解方程(组)求出解析式中未知的系数；
(4)把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.
这种求解析式的方法叫待定系数法.

5.一次函数与方程、不等式
(1)一次函数与一元一次方程    (2)一次函数与一元一次不等式

(3)一次函数与二元一次方程组
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.

方程组的解       对应两条直线交点的坐标.

考点讲练

考点一  函数的有关概念及图象

例1 王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中.下面图形表示王大爷离家距离y(米)与离家时间x(分)之间的关系是(    )

针对训练

1.下列变量间的关系不是函数关系的是(    )
  A.长方形的宽一定，其面积与长      B.正方形的面积与周长
  C.等腰三角形的面积与底边长        D.圆的周长与半径

2.函数中，自变量x的取值范围是(    )

A.x＞3    B.x＜3    C.x≤3    D.x≥－3

3.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中折线表示小强离开家的路程y(千米)和所用的时间x(分)之间的函数关系.下列说法错误的是(    )
  A.小强从家到公共汽车站步行了2千米
  B.小强在公共汽车站等小明用了10分钟
  C.公交车的平均速度是34千米/时
  D.小强乘公交车用了30分钟

考点二  一次函数的图象与性质

例2 已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3；
(1)若该函数是正比例函数，求m的值；
(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(4)若这个函数图象过点(1，4)，求这个函数的解析式.

解：(1)∵ 函数是正比例函数  ∴ m-3=0，且2m+1≠0，解得 m=3

(2)∵ 函数的图象平行于直线y=3x-3  ∴ 2m+1=3，解得 m=1

(3)∵ y随着x的增大而减小  ∴ 2m+1＜0，解得 m＜

(4)∵ 该函数图象过点(1，4)

∴ 代入得 2m+1+m-3=4，解得 m=2

∴ 该函数的解析式为 y=5x-1

方法总结

一次函数的图象与y轴交点的纵坐标就是y=kx+b中b的值；两条直线平行，其函数解析式中的自变量系数k相等；当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.

针对训练

4.一次函数y＝－5x＋2的图象不经过第______象限.
5.点(－1，y1)，(2，y2)是直线y＝2x＋1上两点，则y1___y2.
6.有下列函数：①y＝x－5，②y＝2x，③y＝x＋4，④y＝－4x＋3.其中函数图象过原点的是______；函数y随x的增大而增大的是________；函数y随x的增大而减小的是________；图象在第一、二、三象限的是______.

考点三  一次函数与方程、不等式

例3 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则

一元一次不等式－kx＋b＞0的解集为(    )
 

A.x＞－2   B.x＜－2
 

  C.x＞2     D.x＜2

例4 在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是提高学习效率的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，对照图形，把相关知识归纳整理如下：
一次函数与方程(组)的关系：
(1)一次函数的解析式就是一个二元一次方程；
(2)点B的横坐标是方程kx＋b＝0的解；
(3)点C的坐标(x，y)中x，y的值是方程组①的解．一次函数与不等式的关系：
(1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集；
(2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式②的解集.

(一)请你根据以上归纳整理的内容在下面的数字序号后写出相应的结论：

①__________；②__________；
(二)如果点B坐标为(2，0)，C坐标为(1，3).
①直接写出kx＋b≥k1x＋b1的解集；
②求直线BC的函数解析式.

解：(二)①kx+b≥k1x+b1的解集是：x≤1；
②∵ 直线BC：y=kx+b过点B(2，0)、C(1，3)

∴ ，解得

∴ 直线BC的函数解析式为y=-3x+6

针对训练

7.方程x＋2＝0的解就是函数y＝x＋2的图象与(    )
  A.x轴交点的横坐标   B.y轴交点的横坐标   C.y轴交点的纵坐标   D.以上都不对
8.如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点

P(2，3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是(    )
  A.x＞3    B.x＞0
  C.x＞2    D.x＜2
9.两个函数y＝－x＋5和y＝－2x＋8的图象的交点坐标是_______.

考点四  一次函数的应用

例5 某公司向市场投放A，B型商品共250件进行试销，A型商品成本160元/件，B型商品成本150元/件，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出.设投放A型商品x件，该公司销售这批商品的利润y元.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？
(3)该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，当该公司售完这250件商品并捐献资金后获得的最大收益为18000元时，求a的值.

解：(1) y=(240-160)x+(220-150)(250-x)，整理得：y=10x+17500 (80≤x≤125)

(2)由(1)得：y=10x+17500 (80≤x≤125)，再结合一次函数的性质可知，y随x的增大而增大.
∴ 当x=125时，y最大=1250+17500=18750
即应投放125件A型商品，最大利润为18750元.

(3)一共捐出ax元.
∴ y=10x+17500-ax=(10-a)x+17500
∴ 当10-a≤0时，y=(10-a)x+17500最大值小于18000
   当10-a＞0时，x=125时，y有最大值
∴ 125(10-a)=18000-17500，解得 a=6

针对训练

10.小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒.试写出这段时间里他的跑步路程s(单位：米)随跑步时间x(单位：秒)变化的函数关系式，并画出函数图象.

解：依题意得整理得：

11.某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600       元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标；

(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.

解：(1)银卡：y=10x+150；普通票：y=20x

(2)把x=0代入y=10x+150，得y=150

由解得

把y=600代入y=10x+150，得x=45

∴ A(0，150)，B(15，300)，C(45，600)

(3)当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算；当x=15时，选择购买银卡、普通票的总费用

相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算；当x=45时，选择购买金卡、

银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，选择购买金卡更合算.

能力提升

如图，直线与x轴交于点A(－3，0)，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线相交于点D.

(1)求点D的坐标；(2)求四边形AOCD的面积；(3)若点P为x轴上一动点，当PC＋PD的值最小时，求点P的坐标.

解：(1)把(-3，0)代入y=x+m，得m=

解方程组得：

∴ 点D的坐标为(-1，3)

(2)∵ 直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点
∴ B(2，0)、C(0、2)
∴ S四边形AOCD=S△ABD-S△BOC=×5×3-×2×2=

(3)作D关于x轴的对称点E，连接CE，交x轴于点P，连接PD，此时PC+PD的值最小.
∵ D(-1，3)，∴ E(-1，-3)
设直线CE的解析式为y=kx+b把C(0，2)、E(-1，-3)代入y=kx+b

得，解得

∴ 直线CE的解析式为y=5x+2
∴ 当y=0时，x=-
即点P坐标为(-，0)