新高考数学二轮培优精讲精练专题06 一网打尽外接球与内切球问题（含解析）

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专题06 一网打尽外接球与内切球问题
【命题规律】
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：正方体、长方体外接球
核心考点二：正四面体外接球
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
核心考点四：直棱柱外接球
核心考点五：直棱锥外接球
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
核心考点八：共斜边拼接模型
核心考点九：垂面模型
核心考点十：二面角模型
核心考点十一：坐标法
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
核心考点十三：锥体内切球
核心考点十四：棱切球
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，

当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，

(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
2．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵球的体积为，所以球的半径,

[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
5．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A

6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】

设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.

【方法技巧与总结】
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1 图2 图3 图4
【核心考点】
核心考点一：正方体、长方体外接球
【规律方法】
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（    ）
A． B．4 C． D．.
【答案】B
【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，
则，解得，所以正方体的体对角线等于；
故选：B
例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积
故选：C.
例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．

【答案】
【解析】

设正方体的中心为，为棱的中点，连接，
则为矩形的对角线的交点，
则，
同理，到其余各棱的中点的距离也为，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，
故答案为：
核心考点二：正四面体外接球
【规律方法】
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．

【典型例题】
例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体外接球表面积为，则该正四面体棱长为______；若为平面内一动点，且 ，则最小值为______．
【答案】     6    
【解析】设该正四面体棱长为，

过点作面，
则点为的重心，
则，，
又正四面体外接球表面积为，
则 ，
则，
即，
又，
则，
解得：；
又为平面内一动点，且，
则，
即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又，
则由点与圆的位置关系可得最小值为：，
故答案为：；．
例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
【答案】
【解析】设外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，

则，所以，
两球相交形成形成的图形为圆，
如图，在中，，，
在中，，
所以交线所在圆的半径为，
所以交线长度为.
故答案为：
例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为的正四面体的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正四面体的棱长为，则根据题意可得：，解得；
该正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球的半径相等，
又正方体的外接球半径为，故该正四面体外接球的表面积.
故选：B.
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
【规律方法】
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

【典型例题】
例7．（2022·全国·高三专题练习）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长､宽､高分别为，，，

则解得
所以，即，
从而其外接球的半径为，其外接球的表面积为.
故答案为：．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为，，，
设长方体的长、宽、高分为
所以
长方体的对角线长为，
球的半径为，
此球的表面积为．
故选：C．
例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥中，若，，，其外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱锥中，∵，，，
显然这六条棱长恰为长方体的六个面的面对角线的长，设此长方体的长、宽、高依次为
、、，其对角线的长恰为外接球的直径，如图所示．
则有，则，易知长方体的体对角线长为．则．

故选:D
核心考点四：直棱柱外接球
【规律方法】
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【典型例题】
例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正三棱柱外接球的体积为，所以，
设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱锥可得，底面外接圆半径，
所以由勾股定理得，
设，当直线与曲线相切时，最大，
联立方程组得，
由，得或（舍去），此时，，
所以正三棱柱的体积，
故选：B

例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（  ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为三棱柱为直三棱柱，
所以，平面
所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大，
因为，
令
因为，所以，
在中，，
所以，，
所以，，
所以，当，即时，取得最大值，
所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，
所以，，
所以，
所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即，
所以，直三棱柱外接球的半径，即，
所以，直三棱柱外接球的体积为.
故选：C
例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正六边形的边长为，则底面面积为，
设，则正六棱柱的体积为，
解得，即，
又由该六棱柱的外接球的直径为，
所以该六棱柱的外接球的表面积为：，
令，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值为.
故选：C.

核心考点五：直棱锥外接球
【规律方法】
如图，平面，求外接球半径．

解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
【典型例题】
例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于三棱锥中，平面ABC，，，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：

则体对角线即为外接球的直径，
所以，
故三棱锥的外接球表面积为．
故选：D
例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，
为的中点，为底面外接圆的半径，
由余弦定理得
由正弦定理得，由，得，
所以球的表面积为．
故选：C

例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面ABC，平面ABC，
故，
而，，，则，所以,
又，平面PAB,故平面PAB,平面PAB,
所以,
所以都是以PC为斜边的直角三角形，
故取PC中点O，连接OA,OB,则,
即O为三棱锥外接球的球心，

,故三棱锥外接球的半径为，
故三棱锥外接球的表面积为，
故选：A
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
【规律方法】
1、正棱锥外接球半径： ．

2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
【典型例题】
例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】，正三棱锥中，所以，
侧面是正三角形，则正三棱锥为正四面体．
将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为，
则其外接球的半径，所以该正三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．

例17．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥，其外接球球的半径为，则该正三棱锥的体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】如图，设正三棱锥的高，则由射影定理可得，，，
，
当，即时，
.

例18．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的棱长为，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】如图，∵正三棱锥中，顶点在底面的射影为，该正三棱锥外接球的球心设为，

因为底面边长为6，所以，
∴高．
由球心O到四个顶点的距离相等，
在直角三角形中，，，
由，得，，
∴外接球的表面积为：．
故答案为：．
例19．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图：

于是得四边形为平行四边形，而，是菱形，
在中，，由余弦定理有，即，
则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心，
因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，，
同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上，
又，则，解得，
设球O的半径为R，则，，中，，即，解得，
则球O的表面积为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】

在中，，，
所以，所以，
在中，，，
所以，所以.
又，，平面，
所以平面，
在中，，
所以的外接圆半径为，
不妨设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为
连接，由于，故在线段的垂直平分线上，
即
故三棱锥的外接球半径，
外接球的表面积为.
故答案为：
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
【规律方法】
找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
【典型例题】
例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥 的体积为_____.
【答案】
【解析】

如图，设球的半径为，由已知得，解得，则，
又由，所以，取中点，为所在外接圆的圆心，
故平面，又因为，所以，平面，得到，
在中，
由，，得到，
所以，，所以，
故答案为：
例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥的外接球的表面积为，AD是该球的直径，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为______．
【答案】
【解析】设三棱锥的外接球的球心为O,半径为R，则，解得，
设的外接圆圆心为，半径为，则，
连接，
∵，即，
则点D到平面ABC的距离为2，
∴三棱锥的体积.
故答案为：.

例23．（2021·全国·高三专题练习（文））已知三棱锥P﹣ABC中，，AC=2，PA为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为，则外接球的表面积为___________．
【答案】
【解析】

由题意可得为等腰直角三角形，，同时为其外接球的一条直径，则都是直角，设球心为，取的中点为，则平面，因为，则平面，则，故，由勾股定理得，则外接球的半径为2，表面积为
故答案为：
核心考点八：共斜边拼接模型
【规律方法】
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．

【典型例题】
例24．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．

∴外接球的半径．故．选C．
例25．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
【答案】1
【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
例26．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平行四边形中，
，
，
，
沿折成直二面角，
平面平面
三棱锥的外接球的直径为，

外接球的半径为1，
故表面积是．
故选：．

核心考点九：垂面模型
【规律方法】
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1 图2
【典型例题】
例27．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
【答案】1
【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．

故答案为：1
例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】等边三角形、等边三角形的高为，
等边三角形、等边三角形的外接圆半径为，
设分别是等边三角形、等边三角形的中心，
设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，
则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：

例29．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______
【答案】
【解析】等边三角形的高为，
等边三角形的外接圆半径为
三角形的外接圆半径为，
设分别是等边三角形、等边三角形的中心，
设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，
则，
所以外接球的体积为.

故答案为：
例30．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中， ，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】如图分别为的外心.

由，即为中点，取的中点则，又面面，面面，面，即面
设球心为，则平面
∴，又，面，面面，面面，
∴平面，又平面.
∴，即四边形为矩形.
由正弦定理知：，即，
∴若外接球半径为R，则，
∴.
故答案为：.
核心考点十：二面角模型
【规律方法】
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

【典型例题】
例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______.

【答案】
【解析】如图1，取AC中点E，连接BE，DE，与为等边三角形，

则,平面,故平面,
故二面角的平面角为，又平面,
所以平面平面，平面平面，
过作于，平面,所以平面，
由题意得，，∴，
则，
设外接圆圆心为，则在上，半径为，过作平面的垂线，
则三棱锥外接球的球心一定在直线上.
∵，∴，
过D作的平行线交于点F，则，
∵D，B在球面上，外接球球心可能在三棱锥内也可能在三棱锥外，
取截面如图，设外接球球心O，半径R，
令，则，，
∴,当时，化简得，舍去，
当时，化简得，
得，∴,
故答案为：.
例32．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知菱形的边长为2，且，沿把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，，因为为菱形，所以，，
故为二面角的平面角，则，
由题意可知，为正三角形，则外接球球心位于过，的中心且和它们所在面垂直的直线上，
故分别取，的重心为，，过点，分别作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱锥的外接球的球心，

由题意可知，球心到面和面的距离相等，即，
连接，，则，菱形的边长为，
∴，，
∴，
即三棱锥的外接球的半径，
所以其外接球的表面积为.
故答案为：
例33．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．
【答案】
【解析】

根据题意，，所以，取中点为E，中点，
则，，，是正三角形，，
是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，
，是的外心，
设是的外心，
设过与平面垂直的直线与过垂直于平面的直线交于点，
则是三棱锥外接球球心，
，，又，
由于平面MNO与MEO同时垂直于BD，所以共面，
在四边形中，
由，，， ，
可得：，
外接球半径为，
体积为．
故答案为：
例34．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】依题意在边长为的菱形中，，所以，
如下图所示，

易知和都是等边三角形，取的中点，则，．
，平面，所以平面，
所以是二面角的平面角，过点作交于点，
由平面，平面，所以，
，平面，所以平面．
因为在中，，
所以，
则．
故三棱锥为正四面体，由平面，所以为底面的重心，
所以，，
则，
设外接球的半径为，则，解得．
因此，三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
核心考点十一：坐标法
【规律方法】
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
【典型例题】
例35．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，
所以，过点作交延长线于，过点作交于，
再作，使得与交于点，
所以，由二面角为直二面角可得，
设，即，则，
因为，所以，
所以，在中，，
在中，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，，，
在图1中，由于，即为角的角平分线，
所以，即，
所以，所以，，
由题知，两两垂直，故以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，设四面体的外接球的球心为，
则，
即，即，
解得，，即，
所以四面体的外接球的半径为       ，
所以四面体的外接球的表面积为．
故选：D

例36．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
设，，，，
平面，，解得：，
与重合，
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
外接球，外接球表面积.
故选：B.
例37．（2022·山西·一模（理））如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；
故选：B

核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
【规律方法】
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．

2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．

例38．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
【典型例题】
例39．（2022·广东·广州市第十六中学高三阶段练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

如图为圆台及其外接球的轴截面，为外接球球心，，为等腰梯形的下底和上底的中点，所以，，
因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，圆台下底面半径为4，所以，，则，，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为.
故选：C.
例40．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，则侧面积为，解得，
故圆锥的高为，
设该圆锥的外接球的半径为，由球的性质知，，解得，
故外接球的表面积为．
故答案为：.
例41．（2022·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】由于AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，，
如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，
由外接球的定义，，易得在线段上，
又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，
，则，解得，
外接球表面积为．
故答案为：

例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
【答案】
【解析】有题意可知，，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以，
所以该圆锥的内切球的表面积为.
故答案为：


核心考点十三：锥体内切球
【规律方法】
等体积法，即
【典型例题】
例43．（2022·全国·高三专题练习）球O是棱长为1的正方体的内切球，球与面、面、面、球O都相切，则球的表面积是_______________．
【答案】
【解析】设球的半径为，依题可知，，即，解得，所以球的表面积是．
故答案为：．
例44．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为__________.
【答案】
【解析】设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，
设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形的边长为，
因为底面过球心，所以有，
该正四棱锥的各侧面的高为，
设该正四棱锥的表面积为，
由等体积法可知：
，
故答案为：
例45．（2022·山东济南·二模）在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，
又因为AB⊥AC，所以设，所以.，因为，所以 △ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当 “”时取等.
当时，底面△ABC周长最小，所以，所以
，所以此时
△ABC周长的最小值：.
故答案为：.
核心考点十四：棱切球
【规律方法】
找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
例46．（2022•涪城区校级开学）一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为
　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设正方体的棱长为1，正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即：1，外接球的直径为正方体的对角线长为：；
正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：，
所以，正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为：．
故选：．
例47．（2022•江苏模拟）正四面体的棱长为4，若球与正四面体的每一条棱都相切，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，
正四面体的棱长为4，
正方体的棱长为，
球与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，
球是正方体的内切球，其直径为，
球的表面积为，

故选：．
例48．（2022•昆都仑区校级一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，正三棱柱的高等于1，
设上底面中心为，下底面中心为，连接，
则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，设底面边长为，则，
，又，
，
，解得．
则球的半径为，球的体积．
故选：．


【新题速递】
一、单选题
1．（2022·湖北·高三阶段练习）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该圆台的高为h，则，解得．
由题意得：上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，

设球心O到下底面的距离为t，即，则，
由勾股定理得：，
即，解得，
则球O的半径，故球O的表面积为.
故选：D
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的体积为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于平面的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球O的半径为R，此时，
故，则球O的体积为.
故选：C．

3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知，，，为球的球面上的四点，记的中点为，且，四棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，则平面过球O的球心O，又的中点为，则点E是以AB为直径的球的截面小圆圆心，
连接，如图，则，四边形为梯形，令球O的半径为，设，则，


四棱锥体积最大，当且仅当梯形面积最大，并且点D到平面的距离最大，
显然球面上的点D到平面的最大距离为R，梯形面积，
令，，求导得：，
当时，，当时，，即函数在上递增，在是递减，
因此当时，，，
于是得四棱锥体积的最大值为，解得，
所以球的表面积为.
故选：C
4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，，则球O的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

如图，设底面 的外接圆的圆心为 ，外接圆的半径为r，由正弦定理得 ，
过 作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，
并且 ，外接球的半径 ，
球O的体积为 ；
故选：D.
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知正四棱锥的所有顶点都在体积为的球的球面上，若该正四棱锥的高为，且，则该正四棱锥的体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，因为球的体积为，所以，解得.
当时，如图，设正四棱锥的底面边长为，
则有，整理得.
同理，当时，有，整理得.
所以正四棱锥的体积.
由，得或.
因为，当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以当时，正四棱锥的体积取得最大值，最大值为.
又，，
所以，该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.

6．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，A，B，C三点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设三棱锥的高为，所以有，
在直角三角形中，，
，
当共线时，三棱锥体积的最大，显然，如图所示：
最大值为：，
故选：D

7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知体积为的正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正三棱柱的底面边长与高的比值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设正三棱柱的上、下底面的中心分别为和，则的中点为O．

设球O的半径为R，则．
设，，
则，，．
所以正三棱柱的体积，所以．
在中，，
球O的表面积．
方法一

，
当且仅当，即时，S取得最小值．
方法二：
由，得，
所以．
令，则．
令，得，
当时，时，单调递减；当时，，单调递增．
所以当时，S取得最小值，此时，所以．
故选:D．
8．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，堑堵的内切球（与各面均相切）半径为，
所以直角三角形的内切圆半径为，，
设，则，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
则，
所以鳖臑体积.
故选：C

二、多选题
9．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ）
A．球在正方体外部分的体积为
B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为
D．若点､､在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，正方体的棱切球的半径，如下图所示，

球在正方体外部的体积，
或者可根据球在平面上方球缺部分的体积，为球缺的高，

所以球在正方体外部的体积为， A选项错误；
对于B，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当为直径时，），所以，B选项正确；
对于C，      

若正方体上底面字母为，则直线与平面所成角的正弦值最大时，如上图所示点位置，此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为，设平面的中心为,直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
则直线与平面所成角最大时，直线正好与平面下方球相切，过作平面下方球的切线，切点为，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，可得，，，，，
所以，
，，
所以直线与平面所成角最大时为，
，C选项错误；

对于D，，
记向量与向量的夹角为，，因为，
且，
所以，
令，所以上式可化为，当且仅当时等号成立，
此时，即时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选项正确.
故选：BD.
10．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ）
A．平面 B．球的表面积为
C．的最小值为 D．与平面所成角的最大值为60°
【答案】ACD
【解析】对于A，如图1，
由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，
又面面，而面面，面面，故，即；
由平面几何易得，即；
所以四边形是平行四边形，故，
而面，面，故平面，故A正确；

.
对于B，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则，
在等腰梯形中，易得，即，
为方便计算，不妨设，则由，
即，即，又，
解得，即与重合，故，
故球的表面积为，故B错误；

.
对于C，由图2易得，，，面，
故面，
不妨设落在图3处，过作，则面，故，
故在中，（勾股边小于斜边）；同理，，
所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；
再看图4，由可知，
故，故C正确，

.

对于D，由选项C可知，面，面，故面面，
在面内过作交于，如图5，
则面，面面，故面，故为与平面所成角，
在中，，故当取得最小值时，取得最大值，即取得最大值，
显然，动点与重合时，取得最小值，即取得最大值，且，
在中，，，，故为正三角形，即，即与平面所成角的最大值为，故D正确.
故选：ACD.

11．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（    ）

A．圆锥的表面积是 B．球的体积是
C．四棱锥体积的最大值为 D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，

正内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心都在线段上，连，
，则球O的半径，显然，，
，，
对于A，圆锥的表面积是，A错误；
对于B，球O的体积是，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥的体积最大，
，当且仅当，即时取“=”，
则四棱锥体积的最大值为，C正确；
对于D，因，则有，即，因此，
由均值不等式得：，即，当且仅当时取“=”，D正确.
故选：BCD
12．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ）

A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积
为，圆柱的表面积，
所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；
过作于，则由题可得，

设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，
又，所以，故C正确；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，

则，
设，则，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
13．（2022·全国·模拟预测）如图，在五面体中，底面为矩形，和均为等边三角形，平面，，，且二面角和的大小均为．设五面体的各个顶点均位于球的表面上，则（    ）

A．有且仅有一个，使得五面体为三棱柱
B．有且仅有两个，使得平面平面
C．当时，五面体的体积取得最大值
D．当时，球的半径取得最小值
【答案】ABC
【解析】对于选项A:
∵平面,经过的平面与平面交于直线,∴,
取的中点分别为,连接,则
连接,∵和均为等边三角形，∴,
又∵底面为矩形，∴垂直,
故得二面角的平面角为,
二面角的平面角为,
因为，分别在平面和平面中，平面与平面和分别交于直线，所以当且仅当时，平面平面,
故当且仅当，即时，平面平面,
即五面体为三棱柱，故A正确；

对于选项B:
当平面和平面不平行时，它们的交线为,
由于,平面，平面，∴平面,
又∵平面,平面平面=直线，∴，
∴同理，∴当且仅当时，平面平面，
由于四边形为等腰梯形，∴当且仅当或时，,
∴当且仅当或时，平面平面，
故B正确；


对于选项C:
设的补角为，过A作直线AR与直线PQ垂直相交，垂足为R，连接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,
又∵AD∩AR=A,AD,AR⊂平面ADF,
∴平面ADR⊥直线PQ，
同理做出S,得到平面SBC⊥直线PQ，
为直三棱柱的底面，且RS=EF为直三棱柱的高，
、为三棱锥和的底面上的高


因为，
所以五面体的体积为（如上图）或（如下图）
两种情况下都有，
令则，所以，
对求导得 ，
令得（舍去）或，
  ,,
故时体积取得极大值也是最大值.
所以，所以.
五面体的体积取得最大值.故C正确；
对于D项：
取等边的中心 ，的中点，过作平面QBC的垂线与过的平面ABCD的垂线的交点即为五面体PQABCD的外接球的球心，如图所示，连接,,则,∵四边形为边长一定的矩形，∴为定值，
∴当且仅当最小，即重合时外接球的半径最小，此时为锐角，
故D不对.


故选：ABC.
14．（2022·全国·模拟预测）已知正三棱锥的底面的面积为，体积为，球，分别是三棱锥的外接球与内切球，则下列说法正确的是（    ）
A．球的表面积为
B．二面角的大小为
C．若点在棱上，则的最小值为
D．在三棱锥中放入一个球，使其与平面、平面、平面以及球均相切，则球的半径为
【答案】ACD
【解析】依题意，，解得，设三棱锥的高为，则三棱锥的体积，解得．设点在底面内的投影为，为球的半径，连接，则，即，解得，则球的表面积，故A正确（对应下方右图）．
取棱的中点，连接，由正三棱锥的性质，易知，于是即为二面角的平面角，，且，则，故B错误．
将侧面平面展开，使得四点共面，显然的连线就是有最小值．，故在中，，则，故，故C正确（对应下方左图）．
三棱锥S－ABC的表面积为，根据内切球半径和棱锥体积，棱锥表面积为，易知，设为球的半径，为球的半径，则，解得，原三棱锥的高，作一平面平行于底面，去截原三棱锥，得到一个的棱台，那么剩余部分棱锥的高是原棱锥的，根据相似关系，剩余棱锥的底面积为，，表面积为，体积为，于是，解得，故D正确．
故选：ACD．


三、填空题
15．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知四面体的各顶点都在球O的表面上，，E，F分别为的中点，O为的中点．若，直线与所成的角为，，则球O的表面积为____________．
【答案】
【解析】依题意，作出球O的内接正四棱柱．因为，所以或，
又，则．因为，则，
在中，，则，
则球O的表面积．
故答案为：

16．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知的所有顶点都在球的表面上，，球的体积为，若动点在球的表面上，则点到平面的距离的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为，
所以，即.
设的外接圆的圆心为的外接圆的半径为，球的半径为，则
，

因为平面，
所以，则.
延长与球交于点，当点与点重合时，
点到平面的距离取得最大值.
故答案为：
17．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在三棱锥中，已知是线段上的点，．若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为___________．
【答案】
【解析】如图所示，在中，因为，，可得 ．
又因为，所以．由，，
可得，
可得，所以．
又由，且PB，平面PAB，所以平面PAB．又由平面PAB，所以．
由，即，且，AD，平面ABC，可得平面ABC．
设外接圆的半径为r，则，可得，即．
设三棱锥的外接球的半径为R，可得，即，球O的半径为，
故表面积为．
故答案为：

18．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在三棱锥中，已知是线段上的点，.若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】如图，因为，且平面，
所以平面.又平面，所以.
因为，即，且，
平面，所以平面.
在中，因为，可得.
设外接圆的半径为，则，可得，即，
设三棱锥的外接球的半径为，
可得，
即，球的半径为，故表面积.
故答案为：

19．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知点，，均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球的体积为___________.
【答案】
【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱雉的体积最大，
设球的半径为，此时，
故，则球的体积为.
故答案为：

20．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司高三期中（理））如图，在三棱锥中，已知，，，，平面平面，三棱锥的体积为，若点，，，都在球的球面上，则球的表面积为____________．

【答案】
【解析】因为在三棱锥中，，，，，
所以和均为直角三角形，且斜边均为，
所以为球的直径， 的中点为球心，
设，则，，，，且的边高为，

因为平面平面，
根据面面垂直的性质定理可知的边上的高即为三棱锥的高，
因为三棱锥的体积为
，
所以球半径，
所以球的表面积为．
故答案为：．