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新高考数学二轮培优精讲精练专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳（含解析）
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这是一份新高考数学二轮培优精讲精练专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳（含解析），共59页。
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳
【命题规律】
1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
【核心考点目录】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
核心考点二：蒙日圆
核心考点三：阿基米德三角形
核心考点四：仿射变换问题
核心考点五：圆锥曲线第二定义
核心考点六：焦半径问题
核心考点七：圆锥曲线第三定义
核心考点八：定比点差法与点差法
核心考点九：切线问题
核心考点十：焦点三角形问题
核心考点十一：焦点弦问题
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以．
故选：B
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以．
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为．
故选：B．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确．
故选：ACD．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为．
故答案为：13．
7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标，又，∴
∵，，∴，又，解得m=2
所以直线，即
[方法三]：
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
【方法技巧与总结】
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
【核心考点】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________．
【答案】
【解析】如图所示：延长与的延长线交于点，
则，
故轨迹方程为．
取点，则，，故，
，当共线时等号成立．
故答案为：；
例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】设点，，
∴．
抛物线的焦点为点，由题意知，，
∴．
故答案为：；．
例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4．点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ______________ ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点､分别为 ､的内心，则的范围是 ____________ ．
【答案】
【解析】设，
由题意知，可得，即，
整理得，可得圆心为，半径，
所以的最大面积为，解得，即，
设，则，
则，可得，同理
则，则，
整理得，所以双曲线的方程为．
如图所示，设边上的切点分别为，
则横坐标相等，则，
由，即，即，
即，即点的横坐标为，则，
于是，可得，
同样内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，
，
由双曲线的方程，可得，则，
可得，
又由直线为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为，倾斜角为，
可得，即，
可得的取值范围是．
故答案为：；．
核心考点二：蒙日圆
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为，
该点在圆上，所以，，解得；
当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为、，
设两切线的交点坐标为，并设过该点的直线方程为，
联立，
消去得，
，
化简得，由韦达定理得，
整理得，解得．
综上所述，．
故选：B．
例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：的离心率为，
所以，解得，所以椭圆的方程为，
所以椭圆的上顶点，右顶点，
所以经过两点的切线方程分别为，，
所以两条切线的交点坐标为，又过，的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆同心的圆上，可得圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为．
故选：B．
例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
核心考点三：阿基米德三角形
【典型例题】
例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为，
由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
所以点必在抛物线的准线上，
所以点，
直线的斜率为．
又因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A．
例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，
，即，
故选：D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，为阿基米德三角形．抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P．给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）．
A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
【答案】D
【解析】由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；
以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；
设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，
故选：D．．
核心考点四：仿射变换问题
【典型例题】
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______．记，当面积最大时，_____﹐_______．Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______．
【答案】 4 2 1
【解析】作变换此时椭圆变为圆，方程为，
当时，最大，并且最大为，
此时，．
由于，，
∴，
，
因为，所以
．
故答案为：；；4；2；1．
例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______．
【答案】
【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，，
由于，因此时面积最大，
此时，
那么，
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求______________．
【答案】1
【解析】解法1：可得点，设，则，
由可得，即有，
，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；
故答案为：．
解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，
，
设，则，
，
∴，
，
∴．
故答案为：．
核心考点五：圆锥曲线第二定义
【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C．若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，
由，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，
准线交x轴与N，则 ，
故，故 ，
而x轴，故，
所以直线的倾斜角为 ，
所以直线的方程为，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，
所以的中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为 ，
故选：B．
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】设在准线上的射影分别为，准线与轴交于，则，
由于点是的中点，且，
根据抛物线的定义，可得，所以，
设，则，即，解得，
所以，
即的长为．
故选：C．
核心考点六：焦半径问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即．
故选：D
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线上的动点，，是左、右焦点，O是坐标原点，若的最大值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】不妨设为右支上的一点，其中，可得，，
又由，
则，所以时，取得最大值，
所以，可得，故选B．
核心考点八：圆锥曲线第三定义
【典型例题】
例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，
设，则，
又由，可得，
因为，即，可得，
所以直线斜率的取值范围．
故选：A．
例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】由题意得：
由椭圆可知其左顶点，右顶点．
设，，则得．
记直线的斜率为，直线的斜率为，则
直线斜率的取值范围是，，
直线斜率的取值范围是，
故选：A
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为___________，直线的斜率为___________．
【答案】
【解析】过原点作于点，则为的中点，
又∵， ∴， 即的中点，
∴∥， ∴，
连接， 设，则，，，
在△中，，解得，
在△中，，整理得，
解得，
．
故答案为：；．
例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
核心考点八：定比点差法与点差法
【典型例题】
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，或
【答案】A
【解析】设，，
又点，在椭圆上，
则，，
两式相减可得：，
又，
则，
又点，在椭圆内，
则，
则，
所以，
故选：A．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
则，，
两式相减得，
所以，
即直线斜率是．
故选：C
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设因为，且，所以，同理．将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A．
核心考点九：切线问题
【典型例题】
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为．过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为．与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即．
故选：B
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解析】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．
故选：A
例28．（2023·全国·高三专题练习）设P是双曲线C：在第一象限内的动点，O为坐标原点，双曲线C在P点处的切线的斜率为m，直线OP的斜率为n，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设，则双曲线C在P点处的切线方程为：
，则，
，
，
，
令，则，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
得时，取最小值，
，即时，取最小值，
．
故选：D．
核心考点十：焦点三角形问题
【典型例题】
例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，
所以，．
故选：B．
例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】因为的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以，即，
又，所以，所以，则，所以，所以此椭圆上使得为直角的点有个，
故选：A．
例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左、右焦点分别、，P为双曲线右支上的点，的内切圆与x轴相切于点C，则圆心I到y轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为双曲线，所以
设三角形内切圆的切点为，，，其中在轴上，
由内切可得，
那么，又
所以，
又，
所以点的横坐标为4，点的横坐标也为4，
故圆心到轴的距离为4．
故选：D．
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切x轴于点M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在双曲线上，可得，∴、，
如图，设，内切圆与x轴的切点是点M，、与内切圆的切点分别为N、H，
∵由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，
故，即，设内切圆的圆心横坐标为x，
则点M的横坐标为x，故，∴，
∴，
故选：C．
核心考点十一：焦点弦问题
【典型例题】
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】椭圆，，所以，，所以抛物线：．
设，直线的方程为．
联立 消去，化简整理得，
则．
因此直线的方程是．
故选：A．
例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，准线x＝－1，
设，把它代入得，
设，，则，由抛物线定义可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故选：A
例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，不妨令，，，
，，
又由双曲线的定义得：，，
，
，．
在中，，
又，，
双曲线的离心率．
故选；C
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
【典型例题】
例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图，，
要使最小，则最大，即需最小．
设，则，
∴当，即时，，，
此时或，．
故答案为：．
例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线PF2与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=___________，C的离心率的取值范围是___________．
【答案】
【解析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆于点，则如图所示：
依题意得
依题意得点位于点与之间，故
所以，则
化为，解得
故答案为：，
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【典型例题】
例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，．由既是的平分线，又是边上的中线，得．作轴于点，，且，．
故选：B．
例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为的内心，所以是三个内角角平分线的交点，
在中，根据角平分线性质定理有
，
在中，根据角平分线性质定理有
，，
故选：B
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，，即，
由，，得，
设，则，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以．
故选：B．
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
【典型例题】
例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，以点，为焦点的动椭圆与双曲线的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______．
【答案】
【解析】依题意知，为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为，则，
设点为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，
，，
则，所以有．
所以椭圆的通径为，这里，
所以由函数的单调性可知，当时，椭圆的通径最小，最小值为．
故答案为：．
例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为___________．
【答案】
【解析】设过抛物线的焦点的直线方程为，
与抛物线方程联立得：，
设，
由根与系数的关系得：，
又因为，
所以，
解得，
所以，
即，
解得，
所以，
所以的通径长为8
故答案为：8
例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于（、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________．
【答案】
【解析】
如图所示，连接，由双曲线的定义知，当且仅当三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，
故答案为：．
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【典型例题】
例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
【答案】D
【解析】当小球沿有向线段AB方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿有向线段BA方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿除有向线段AB和BA方向运动时，小球经过的路程是，故选D．
例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，则，将代入到，，即，故，即，同除以得：，解得：或（舍去）
故选：B
例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，轴，
又光线从点射入，经过上的点，
所以，
又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，
联立方程，整理可得，所以或
所以，所以．
故选：D．
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【典型例题】
例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B．若G点为的外心，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
【答案】C
【解析】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为，
联立椭圆方程可得：，设，
故，，，
故，
设的中点为，则其坐标为，
显然轴垂直平分，故可设，又直线方程为：，
令，解得，故，
故．
故选：C．
例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出双曲线与抛物线的大致图像，
如图：
双曲线的渐近线方程为：，即，
联立，解得或，
当时，则，
所以焦点到的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，整理可得，
即，整理可得，
两边同除以可得，
，
又，即，解得．
故选：D
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示：
由题意得：，
则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，
所以，则，
因为与轴平行，
所以，即，
则，即，
解得，
故选：B
例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆的左右焦点为，，
由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，
对两边同时求关于的导数，得，则，
则椭圆在点处的切线斜率为，
则椭圆在点处的切线方程为，
即，即；
同理，椭圆在点处的切线方程为，
由得，
则，
所以，即；
又的垂心为，则，，
即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，
由得，所以，则，
因此，
因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：D．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆：中，，设，因的面积为，
则，解得或，当时，，当时，，
即点或或或，
圆圆心，半径，
此时或或或，显然，
又点在圆上运动，则有，
此时点，，此时，
即，所以．
故选：B
2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与双曲线的交点为、，
则用垂直于轴的平面截旋转体的截面为圆面，截面圆的半径为，截面面积为，
与双曲线的渐近线的交点为，
所以是用垂直于轴的平面截两条渐近线绕轴旋转得到的旋转体的截面面积，
，绕轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为，
用垂直于轴的平面去截旋转体，所得圆环的面积为，
因为底面半径为，高为的圆柱的截面面积为，体积为，
所以根据祖暅原理得旋转体的体积为，
故选：D．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设是双曲线的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】由题可知，，且．
因为，
所以．
所以点P在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形．
故，即．
又，
所以，
解得，
所以，
则的面积为5，
故选：A．
4．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，由得，
化简得的轨迹方程为，所以点，
设点到的距离为，则，
所以的面积，
等号成立时，即面积最大时，点到直线的距离为，
故直线不垂直于轴，设直线方程为，
即，则，
解得，所以直线方程为．
故选：A
5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过2；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为，
曲线的图像如图所示；
由图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
从而曲线所围成的面积，故①正确；
过原点且连接两个半圆圆心、的直线交曲线于、两点，如下图所示：
则，
所以，，故命题②错误；
因为到直线的距离为，
所以，
当最小时，易知在曲线的第一象限内的图象上，
因为曲线的第一象限内图象是圆心为，半径的半圆，
所以圆心到直线的距离，
所以，
所以的最小值为，故③正确．
故选：C
6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
易知圆的圆心，半径，
抛物线焦点，准线方程，
由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离，
所以，
由图可知：当共线，且在线段之间时，最短，
而，故有，
即，解得：．
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理得：①，
在中，由正弦定理得：②，
又，则，
所以得：，
又，则，即；
设（），由双曲线的定义得：，，，
由得：，解得：，
所以，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，即双曲线的离心率，
故选：C．
8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在使成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，满足，
则点P在圆上，
又存在，使成立，则点P又在以为直径的圆上，
P是圆上任意一点，，是直线上的两点，
则应满足圆上点到直线的最远距离小于等于5，
原点到直线的距离为，
则只需满足，解得．
故选：B．
9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①③
【答案】C
【解析】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正确；
就是平面 与轴线的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C．
10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法中错误的是（ ）．
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线对称
C．线段的长为
D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则的最大值为
【答案】C
【解析】由题可知圆圆心为，半径为，圆化简得，即圆心为，半径为，作出图形，
圆心距为，，故两圆相交，圆O与圆M有两条公切线，A项正确；
两圆半径相等，故关于相交弦对称，故B项正确；
两圆方程作差可得，设中点为，作的垂直平分线交两圆于，由几何关系可知，圆心到直线距离为，
则，故C项错误；
由图可知，两点连线恰好垂直于时，此时距离最大，，故D项正确．
故选：C
二、多选题
11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则
（ ）
A．若轴，则 B．若，则的面积为
C．长度的最小值为 D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由抛物线方程知：，则，，A正确；
对于B，，，，解得：，
，B正确；
对于C，当，时，，
最小值不是，C错误；
对于D，设，，
由知：，即，解得：（舍）或，，
，
（当且仅当时取等号），，D正确．
故选：ABD．
12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
【答案】ABC
【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D不正确．
故选：ABC
13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．的准线方程为
C．
D．当时，点到直线的距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A、B，由抛物线的焦点，则，即，其准线方程为，
设点到准线的距离为，则，
设点到准线的距离为，易知，如下图：
故A错误，B正确；
对于C，由题意可知，过点的直线可设为，代入抛物线，可得，
设，则，
，
将代入上式，可得，故C正确；
对于D，由C可得直线的方程为，可设直线的方程为，
易知点到直线的距离等于两平行线与的距离，
令，，
当时，，当时，，
则在和上单调递减，在上单调递增，
由当时，，当时，，则，，可得，故D正确．
故选：BCD．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【答案】BCD
【解析】抛物线，即，
对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；
对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，
由，消去整理得，，，故B正确；
对于C，若，则直线过焦点，
所以，
所以当时，
的最小值为抛物线的通径长，故C正确；
对于D，，，即点纵坐标为，
到轴的距离为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．设直线MA，MB的斜率分别为______
【答案】
【解析】由椭圆的方程得，右焦点为，所以抛物线的焦点为，所以，，所以抛物线方程为，准线方程为．
设，设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去得，令其，得，则直线MA，MB的斜率为的两个根，有韦达定理得．
故答案为：
16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率，直线交双曲线于点，，为坐标原点且，则双曲线实轴长的最小值是__________．
【答案】
【解析】联立化简得，
设，，则，，
由，则，
即，化简得，，，解得，所以实轴长最小值为．
故答案为：
17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆与圆相交于A，B两点，则________．
【答案】
【解析】两方程作差：，化简得，
，．
故答案为：．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：（）的准线方程为，焦点为F，准线与x轴的交点为A､B为抛物线C上一点，且满足，则点F到的距离为______．
【答案】
【解析】准线方程为，故，抛物线方程为，焦点，
不妨设，，，即，
化简得到，
根据等面积法，点F到的距离为
．
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】解法一：因为，所以令，，
则，，
故，其中，，因为，
所以，
所以，
故的取值范围为．
解法二：因为圆心到直线的距离，
所以圆心上的点到直线的距离的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围是．
故答案为：．
20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
由已知，，．
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，．
所以，的取值范围是．
故答案为：．
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳
【命题规律】
1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
【核心考点目录】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
核心考点二：蒙日圆
核心考点三：阿基米德三角形
核心考点四：仿射变换问题
核心考点五：圆锥曲线第二定义
核心考点六：焦半径问题
核心考点七：圆锥曲线第三定义
核心考点八：定比点差法与点差法
核心考点九：切线问题
核心考点十：焦点三角形问题
核心考点十一：焦点弦问题
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以．
故选：B
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以．
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为．
故选：B．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确．
故选：ACD．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为．
故答案为：13．
7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标，又，∴
∵，，∴，又，解得m=2
所以直线，即
[方法三]：
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
【方法技巧与总结】
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
【核心考点】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________．
【答案】
【解析】如图所示：延长与的延长线交于点，
则，
故轨迹方程为．
取点，则，，故，
，当共线时等号成立．
故答案为：；
例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】设点，，
∴．
抛物线的焦点为点，由题意知，，
∴．
故答案为：；．
例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4．点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ______________ ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点､分别为 ､的内心，则的范围是 ____________ ．
【答案】
【解析】设，
由题意知，可得，即，
整理得，可得圆心为，半径，
所以的最大面积为，解得，即，
设，则，
则，可得，同理
则，则，
整理得，所以双曲线的方程为．
如图所示，设边上的切点分别为，
则横坐标相等，则，
由，即，即，
即，即点的横坐标为，则，
于是，可得，
同样内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，
，
由双曲线的方程，可得，则，
可得，
又由直线为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为，倾斜角为，
可得，即，
可得的取值范围是．
故答案为：；．
核心考点二：蒙日圆
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为，
该点在圆上，所以，，解得；
当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为、，
设两切线的交点坐标为，并设过该点的直线方程为，
联立，
消去得，
，
化简得，由韦达定理得，
整理得，解得．
综上所述，．
故选：B．
例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：的离心率为，
所以，解得，所以椭圆的方程为，
所以椭圆的上顶点，右顶点，
所以经过两点的切线方程分别为，，
所以两条切线的交点坐标为，又过，的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆同心的圆上，可得圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为．
故选：B．
例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
核心考点三：阿基米德三角形
【典型例题】
例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为，
由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
所以点必在抛物线的准线上，
所以点，
直线的斜率为．
又因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A．
例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，
，即，
故选：D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，为阿基米德三角形．抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P．给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）．
A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
【答案】D
【解析】由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；
以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；
设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，
故选：D．．
核心考点四：仿射变换问题
【典型例题】
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______．记，当面积最大时，_____﹐_______．Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______．
【答案】 4 2 1
【解析】作变换此时椭圆变为圆，方程为，
当时，最大，并且最大为，
此时，．
由于，，
∴，
，
因为，所以
．
故答案为：；；4；2；1．
例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______．
【答案】
【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，，
由于，因此时面积最大，
此时，
那么，
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求______________．
【答案】1
【解析】解法1：可得点，设，则，
由可得，即有，
，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；
故答案为：．
解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，
，
设，则，
，
∴，
，
∴．
故答案为：．
核心考点五：圆锥曲线第二定义
【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C．若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，
由，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，
准线交x轴与N，则 ，
故，故 ，
而x轴，故，
所以直线的倾斜角为 ，
所以直线的方程为，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，
所以的中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为 ，
故选：B．
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】设在准线上的射影分别为，准线与轴交于，则，
由于点是的中点，且，
根据抛物线的定义，可得，所以，
设，则，即，解得，
所以，
即的长为．
故选：C．
核心考点六：焦半径问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即．
故选：D
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线上的动点，，是左、右焦点，O是坐标原点，若的最大值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】不妨设为右支上的一点，其中，可得，，
又由，
则，所以时，取得最大值，
所以，可得，故选B．
核心考点八：圆锥曲线第三定义
【典型例题】
例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，
设，则，
又由，可得，
因为，即，可得，
所以直线斜率的取值范围．
故选：A．
例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】由题意得：
由椭圆可知其左顶点，右顶点．
设，，则得．
记直线的斜率为，直线的斜率为，则
直线斜率的取值范围是，，
直线斜率的取值范围是，
故选：A
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为___________，直线的斜率为___________．
【答案】
【解析】过原点作于点，则为的中点，
又∵， ∴， 即的中点，
∴∥， ∴，
连接， 设，则，，，
在△中，，解得，
在△中，，整理得，
解得，
．
故答案为：；．
例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
核心考点八：定比点差法与点差法
【典型例题】
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，或
【答案】A
【解析】设，，
又点，在椭圆上，
则，，
两式相减可得：，
又，
则，
又点，在椭圆内，
则，
则，
所以，
故选：A．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
则，，
两式相减得，
所以，
即直线斜率是．
故选：C
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设因为，且，所以，同理．将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A．
核心考点九：切线问题
【典型例题】
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为．过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为．与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即．
故选：B
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解析】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．
故选：A
例28．（2023·全国·高三专题练习）设P是双曲线C：在第一象限内的动点，O为坐标原点，双曲线C在P点处的切线的斜率为m，直线OP的斜率为n，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设，则双曲线C在P点处的切线方程为：
，则，
，
，
，
令，则，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
得时，取最小值，
，即时，取最小值，
．
故选：D．
核心考点十：焦点三角形问题
【典型例题】
例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，
所以，．
故选：B．
例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】因为的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以，即，
又，所以，所以，则，所以，所以此椭圆上使得为直角的点有个，
故选：A．
例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左、右焦点分别、，P为双曲线右支上的点，的内切圆与x轴相切于点C，则圆心I到y轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为双曲线，所以
设三角形内切圆的切点为，，，其中在轴上，
由内切可得，
那么，又
所以，
又，
所以点的横坐标为4，点的横坐标也为4，
故圆心到轴的距离为4．
故选：D．
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切x轴于点M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在双曲线上，可得，∴、，
如图，设，内切圆与x轴的切点是点M，、与内切圆的切点分别为N、H，
∵由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，
故，即，设内切圆的圆心横坐标为x，
则点M的横坐标为x，故，∴，
∴，
故选：C．
核心考点十一：焦点弦问题
【典型例题】
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】椭圆，，所以，，所以抛物线：．
设，直线的方程为．
联立 消去，化简整理得，
则．
因此直线的方程是．
故选：A．
例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，准线x＝－1，
设，把它代入得，
设，，则，由抛物线定义可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故选：A
例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，不妨令，，，
，，
又由双曲线的定义得：，，
，
，．
在中，，
又，，
双曲线的离心率．
故选；C
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
【典型例题】
例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图，，
要使最小，则最大，即需最小．
设，则，
∴当，即时，，，
此时或，．
故答案为：．
例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线PF2与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=___________，C的离心率的取值范围是___________．
【答案】
【解析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆于点，则如图所示：
依题意得
依题意得点位于点与之间，故
所以，则
化为，解得
故答案为：，
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【典型例题】
例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，．由既是的平分线，又是边上的中线，得．作轴于点，，且，．
故选：B．
例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为的内心，所以是三个内角角平分线的交点，
在中，根据角平分线性质定理有
，
在中，根据角平分线性质定理有
，，
故选：B
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，，即，
由，，得，
设，则，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以．
故选：B．
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
【典型例题】
例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，以点，为焦点的动椭圆与双曲线的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______．
【答案】
【解析】依题意知，为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为，则，
设点为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，
，，
则，所以有．
所以椭圆的通径为，这里，
所以由函数的单调性可知，当时，椭圆的通径最小，最小值为．
故答案为：．
例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为___________．
【答案】
【解析】设过抛物线的焦点的直线方程为，
与抛物线方程联立得：，
设，
由根与系数的关系得：，
又因为，
所以，
解得，
所以，
即，
解得，
所以，
所以的通径长为8
故答案为：8
例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于（、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________．
【答案】
【解析】
如图所示，连接，由双曲线的定义知，当且仅当三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，
故答案为：．
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【典型例题】
例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
【答案】D
【解析】当小球沿有向线段AB方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿有向线段BA方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿除有向线段AB和BA方向运动时，小球经过的路程是，故选D．
例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，则，将代入到，，即，故，即，同除以得：，解得：或（舍去）
故选：B
例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，轴，
又光线从点射入，经过上的点，
所以，
又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，
联立方程，整理可得，所以或
所以，所以．
故选：D．
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【典型例题】
例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B．若G点为的外心，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
【答案】C
【解析】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为，
联立椭圆方程可得：，设，
故，，，
故，
设的中点为，则其坐标为，
显然轴垂直平分，故可设，又直线方程为：，
令，解得，故，
故．
故选：C．
例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出双曲线与抛物线的大致图像，
如图：
双曲线的渐近线方程为：，即，
联立，解得或，
当时，则，
所以焦点到的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，整理可得，
即，整理可得，
两边同除以可得，
，
又，即，解得．
故选：D
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示：
由题意得：，
则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，
所以，则，
因为与轴平行，
所以，即，
则，即，
解得，
故选：B
例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆的左右焦点为，，
由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，
对两边同时求关于的导数，得，则，
则椭圆在点处的切线斜率为，
则椭圆在点处的切线方程为，
即，即；
同理，椭圆在点处的切线方程为，
由得，
则，
所以，即；
又的垂心为，则，，
即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，
由得，所以，则，
因此，
因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：D．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆：中，，设，因的面积为，
则，解得或，当时，，当时，，
即点或或或，
圆圆心，半径，
此时或或或，显然，
又点在圆上运动，则有，
此时点，，此时，
即，所以．
故选：B
2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与双曲线的交点为、，
则用垂直于轴的平面截旋转体的截面为圆面，截面圆的半径为，截面面积为，
与双曲线的渐近线的交点为，
所以是用垂直于轴的平面截两条渐近线绕轴旋转得到的旋转体的截面面积，
，绕轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为，
用垂直于轴的平面去截旋转体，所得圆环的面积为，
因为底面半径为，高为的圆柱的截面面积为，体积为，
所以根据祖暅原理得旋转体的体积为，
故选：D．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设是双曲线的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】由题可知，，且．
因为，
所以．
所以点P在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形．
故，即．
又，
所以，
解得，
所以，
则的面积为5，
故选：A．
4．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，由得，
化简得的轨迹方程为，所以点，
设点到的距离为，则，
所以的面积，
等号成立时，即面积最大时，点到直线的距离为，
故直线不垂直于轴，设直线方程为，
即，则，
解得，所以直线方程为．
故选：A
5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过2；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为，
曲线的图像如图所示；
由图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
从而曲线所围成的面积，故①正确；
过原点且连接两个半圆圆心、的直线交曲线于、两点，如下图所示：
则，
所以，，故命题②错误；
因为到直线的距离为，
所以，
当最小时，易知在曲线的第一象限内的图象上，
因为曲线的第一象限内图象是圆心为，半径的半圆，
所以圆心到直线的距离，
所以，
所以的最小值为，故③正确．
故选：C
6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
易知圆的圆心，半径，
抛物线焦点，准线方程，
由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离，
所以，
由图可知：当共线，且在线段之间时，最短，
而，故有，
即，解得：．
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理得：①，
在中，由正弦定理得：②，
又，则，
所以得：，
又，则，即；
设（），由双曲线的定义得：，，，
由得：，解得：，
所以，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，即双曲线的离心率，
故选：C．
8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在使成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，满足，
则点P在圆上，
又存在，使成立，则点P又在以为直径的圆上，
P是圆上任意一点，，是直线上的两点，
则应满足圆上点到直线的最远距离小于等于5，
原点到直线的距离为，
则只需满足，解得．
故选：B．
9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①③
【答案】C
【解析】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正确；
就是平面 与轴线的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C．
10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法中错误的是（ ）．
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线对称
C．线段的长为
D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则的最大值为
【答案】C
【解析】由题可知圆圆心为，半径为，圆化简得，即圆心为，半径为，作出图形，
圆心距为，，故两圆相交，圆O与圆M有两条公切线，A项正确；
两圆半径相等，故关于相交弦对称，故B项正确；
两圆方程作差可得，设中点为，作的垂直平分线交两圆于，由几何关系可知，圆心到直线距离为，
则，故C项错误；
由图可知，两点连线恰好垂直于时，此时距离最大，，故D项正确．
故选：C
二、多选题
11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则
（ ）
A．若轴，则 B．若，则的面积为
C．长度的最小值为 D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由抛物线方程知：，则，，A正确；
对于B，，，，解得：，
，B正确；
对于C，当，时，，
最小值不是，C错误；
对于D，设，，
由知：，即，解得：（舍）或，，
，
（当且仅当时取等号），，D正确．
故选：ABD．
12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
【答案】ABC
【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D不正确．
故选：ABC
13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．的准线方程为
C．
D．当时，点到直线的距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A、B，由抛物线的焦点，则，即，其准线方程为，
设点到准线的距离为，则，
设点到准线的距离为，易知，如下图：
故A错误，B正确；
对于C，由题意可知，过点的直线可设为，代入抛物线，可得，
设，则，
，
将代入上式，可得，故C正确；
对于D，由C可得直线的方程为，可设直线的方程为，
易知点到直线的距离等于两平行线与的距离，
令，，
当时，，当时，，
则在和上单调递减，在上单调递增，
由当时，，当时，，则，，可得，故D正确．
故选：BCD．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【答案】BCD
【解析】抛物线，即，
对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；
对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，
由，消去整理得，，，故B正确；
对于C，若，则直线过焦点，
所以，
所以当时，
的最小值为抛物线的通径长，故C正确；
对于D，，，即点纵坐标为，
到轴的距离为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．设直线MA，MB的斜率分别为______
【答案】
【解析】由椭圆的方程得，右焦点为，所以抛物线的焦点为，所以，，所以抛物线方程为，准线方程为．
设，设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去得，令其，得，则直线MA，MB的斜率为的两个根，有韦达定理得．
故答案为：
16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率，直线交双曲线于点，，为坐标原点且，则双曲线实轴长的最小值是__________．
【答案】
【解析】联立化简得，
设，，则，，
由，则，
即，化简得，，，解得，所以实轴长最小值为．
故答案为：
17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆与圆相交于A，B两点，则________．
【答案】
【解析】两方程作差：，化简得，
，．
故答案为：．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：（）的准线方程为，焦点为F，准线与x轴的交点为A､B为抛物线C上一点，且满足，则点F到的距离为______．
【答案】
【解析】准线方程为，故，抛物线方程为，焦点，
不妨设，，，即，
化简得到，
根据等面积法，点F到的距离为
．
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】解法一：因为，所以令，，
则，，
故，其中，，因为，
所以，
所以，
故的取值范围为．
解法二：因为圆心到直线的距离，
所以圆心上的点到直线的距离的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围是．
故答案为：．
20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
由已知，，．
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，．
所以，的取值范围是．
故答案为：．
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