天津市南仓中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

天津市南仓中学2023至2024学年度第一学期

高二年级教学质量过程性检测（数学学科）

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共120分，考试用时100钟.第I卷1页，第II卷1页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效.

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2．本卷共9小题，共36分.

一、选择题（每小题4分，共36分）

1. 已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　）

A. －6 B. －4

C. 0 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值．

【详解】直线经过两，，．

又直线的倾斜角为，斜率一定存在，

则直线的斜率为

，即．

故选：C．

2. 若直线过两点，则直线的一般式方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可

【详解】因为直线过两点，

所以直线的方程为，即，

故选：A

3. 如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..

【详解】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，

当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，

又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；

所以.

故选：B.

4. 两平行直线与的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线距离公式进行求解即可.

【详解】由，

所以这两条平行线的距离为：，

故选：B

5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量基本定理进行求解.

【详解】因为，点N为BC中点，所以，

故

.

故选：B

6. 过点且垂直于直线的直线方程为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设垂直于直线的直线为，代入点得的值，即得解.

【详解】设垂直于直线的直线为，

代入点得，

则所求直线为.

故选：A.

7. 点关于直线的对称点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.

【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，

则，解得.

所以点的坐标为

故选：A.

8. 不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标．

【详解】直线

即，

根据的任意性可得，解得，

不论取什么实数时，直线都经过一个定点．

故选：B

9. 已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.

【详解】过点作，垂足为点，如图所示：

设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，

当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，

此时；

当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.

综上所述，直线的斜率的取值范围是.

故选：D.

第II卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.

2．本卷共11小题共84分.

二、填空题（每小题4分，共24分）

10. 已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为________．

【答案】##

【解析】

【分析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，利用点到直的距离公式可求得结果.

【详解】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，

因为到直线的距离，

所以的最小值为.

故答案为：

11. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为_________.

【答案】或

【解析】

【分析】分截距为和不为两种情况讨论即可得解.

【详解】由题知，若在轴、轴上截距均为，

即直线过原点，又过，则直线方程为；

若截距不为，设在轴、轴上的截距为，

则直线方程为，

又直线过点，

则，解得，

所以此时直线方程为.

故答案：或

12. 已知向量，若，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.

【详解】设向量，

，，设与的夹角为，，

，.

故答案为：.

13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__．

【答案】

【解析】

【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：，

所以向量在向量上的投影向量为．

故答案为：.

14. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.

【答案】0或5

【解析】

【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.

【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，

而经过点，则其斜率可能不存在，

当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；

当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，

由得，即，解得；

综上，a的值为0或5.

故答案为：0或5.

15. 如图，平行六面体中，与相交于M，设、、，则

（1）______（用、、表示）；

（2）若、、三向量是两两成角的单位向量，则______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】结合图形，利用空间向量的线性表示与运算，进行运算即可，再根据计算可得．

【详解】解：平行六面体中，、、，

，

因为、、三向量是两两成角的单位向量，所以，，

所以

所以

故答案为：；；

【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属于中档题．

三、解答题

16. 已知空间向量，，．

（1）若，求；

（2）若与相互垂直，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；

（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.

【小问1详解】

，   

，，

即，且，，解得；

【小问2详解】

，，               

又，解得．

17. 已知直线和直线.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）0或2    （2）

【解析】

【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；

（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.

【小问1详解】

若，则

，解得或2；

【小问2详解】

若，则

，解得或1.

时，，满足，

时，，此时与重合，

所以.

18. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.

（1）求AB边所在的直线方程；

（2）求中线AM的长

（3）求AB边的高所在直线方程.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；

（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；

（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.

【小问1详解】

法一：由两点式写方程得，即；

法二：直线的斜率为，

直线的方程为，即；

【小问2详解】

设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，

所以；

【小问3详解】

直线AB的斜率为，

所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，

故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.

19. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，，

（1）求点P到直线EF的距离

（2）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；

（3）求点P到平面DEF的距离．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，先求出在上的投影长，再求点P到直线EF的距离．

（2）求平面DEF的一个法向量、，应用向量法求线面角的正弦值.

（3）由及（2）平面DEF的法向量，应用向量法求点面距离.

【小问1详解】

如图，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

由，得，

因为，， 在上投影长为，

所以点P到直线EF的距离为.

【小问2详解】

由（1）知，

设平面DEF的一个法向量为，则，取，则，

设PA与平面DEF所成的角为θ，则，

故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.

小问3详解】

由（1）知，，由（2）知，，

所以点P到平面DEF的距离为.

20. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.

（1）取的中点N，求证：平面；

（2）求直线与所成角的余弦值.

（3）在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

（1）计算，利用向量法求证即可；

（2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角；

（3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可.

【小问1详解】

取的中点，连接，则，，

所以四边形为矩形，所以，

以A为原点，所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，

取中点，则，，

所以，故，又平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

由（1）知，，，

.

故直线AC与PD所成角的余弦值为.

【小问3详解】

假设存在，且，

则点为，所以，

设平面的法向量是，

，

令，，（易知t=1不合题意）

又是平面的一个法向量，

，

解得(舍去)，则．

此时平面的一个法向量可取，，

设与平面所成的角为，

则，

由知，.