2023-2024学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的(    )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知为锐角，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列求解结果正确的是(    )

A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 若则

10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 对任意，都有

11.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链空旷的田野上，两根电线杆之间的电线峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索这些现象中都有相似的曲线形态事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为其中，是非零常数，无理数，对于函数以下结论正确的是(    )

A. 是函数为偶函数的充分不必要条件
B. 是函数为奇函数的充要条件
C. 如果，那么为单调函数
D. 如果，那么函数存在极值点．

12.在中，角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 有最大值 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若函数的定义域为，则实数的取值范围是______ ．

14.定义在上的奇函数，当时，，当时， ______ ．

15.已知，，则的值为______ ．

16.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，则周长的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知，，且．
求的最大值；
求的最小值．

18.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
若存在实数，使得成立，求的取值范围．

19.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且____．
求角；
若，求的取值范围．

20.本小题分
已知函数，．
若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；
若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值．

21.本小题分
铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置．铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成．合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上．如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物．
若时，求的长；
当是多大时，求面积的最大值．

22.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若都有，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：因为，即，
由指数函数的单调性可得，，
所以；
由，解得，
所以，
所以．
故选：．
化简集合、集合，再利用集合的交集运算求解即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

3.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：当时，，，
所以在上单调递增，故充分性成立，
当在单调递增，
所以，即，
所以，故必要性不成立，
所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件．
故选：．
利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题考查充要条件的应用，导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

5.【答案】 

【解析】解：因为，，，所以，
又，所以，
则，由可得，
所以，，
因为，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为．
故选：．
先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解．
本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．

6.【答案】 

【解析】解：为锐角，若，
设，，
，，，
．
故选：．
先设，根据求出，进而求出和，最后用两角和的正弦公式即可求解．
本题着重考查了两角和的正弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．

7.【答案】 

【解析】解：把函数的图象先向右平移个单位长度，可得的图象；
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到的图象，
由，可得，
若函数在上没有零点，则，，，
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的取值范围．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

8.【答案】 

【解析】解：由，得，
，则关于直线对称，
另外，，
则关于点对称，
，是周期为的周期函数，
，，
则，
由，令，得，，
则，，，
，，以此类推，
是周期为的周期函数，
．
故选：．
根据复合函数导数运算求得正确答案．
本题考查导数性质、函数的周期性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．

9.【答案】 

【解析】解：对于，，选项A正确；
对于，，选项B错误；
对于，不等式的解集为，选项C错误；
对于，若，则，即，所以，选项D正确．
故选：．
把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断选项A正确；
利用对数的运算法则化简求值可判断选项B错误；
求不等式的解集可判断选项C错误；
利用三角恒等变换化简可判断选项D正确．
本题考查了指数与对数的运算法则应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．

10.【答案】 

【解析】解：对于，，
由正弦定理知，
又在三角形中大角对大边，
，故A正确；
对于，由，
化为，
，
又最多只有一个角为钝角，
，，，即三个角都为锐角，
为锐角三角形，故B正确；
对于，，，，
由正弦定理得：，
又，
为锐角，
的度数只有一解，则符合条件的有一个，故C错误；
对于：，都是锐角或一锐角一直角时显然成立，
当一钝角和一锐角时，设为钝角，为锐角，
则，
由在上单调递减，
故，
即，
综上可知，在中，恒有，故D正确．
故选：．
对于，由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断；
对于，通过内角和为化简角，再利用两角和的正切公式化简即可得到，即可判断；
对于，由题意利用正弦定理得，结合大边对大角可求为锐角，即可判断得解；
对于，分类讨论，利用余弦函数的性质即可判断．
本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了余弦函数的性质的应用，考查了三角形的形状判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11.【答案】 

【解析】解：对于选项A，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为偶函数；
当函数为偶函数时，，故，
即，又，故，
所以是函数为偶函数的充要条件，故A选项错误；
对于选项B，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为奇函数，
当函数为奇函数时，，
因为，，故．
所以是函数为奇函数的充要条件，故B选项正确；
对于选项C，，因为，
若，，则恒成立，则为单调递增函数，
若，则恒成立，则为单调递减函数，
故，函数为单调函数，故C选项正确；
对于选项D，，
令得，又，
若，，
当，，函数为单调递减．
当，，函数为单调递增．函数存在唯一的极小值．
若，，
当，，函数为单调递增．
当，，函数为单调递减．故函数存在唯一的极大值，
所以函数存在极值点，故D选项正确．
故答案为：．
根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数奇偶性的判断与性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：由及正弦定理得：，
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，
，其中，
有最大值，故C正确；
对于，，且，，
，即，不一定成立，故D错误．
故选：．
由条件及正弦定理得，，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．
本题考查正余弦定理，三角形得面积公式，三角函数的最值等知识的综合运用，属于中档题．

13.【答案】 

【解析】解：因为函数的定义域为，
所以对于，恒成立，
所以，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意可知，对于，恒成立，再结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了二次函数的性质，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：因为函数为奇函数，所以，解得．
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，．
故答案为：．
先根据奇函数性质求，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得．
此题考查利用函数奇偶性求函数解析式，属于基础题．

15.【答案】或 

【解析】解：得，
由，得，
所以，
所以，
即，
所以或．
故答案为：或．
对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得，由此可求
本题主要考查了对数的运算性质，属于中档题．

16.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
，
为锐角三角形，
则，
由正弦定理可得，可得，，
周长





，
又为锐角三角形，
，
，
，
周长范围为
故答案为：
利用正弦定理将转换成，即可得到角，利用正弦定理将边，转换成与有关系的量，然后根据角的范围求三角形周长即可．
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，同时考查了利用锐角三角求相关角的范围的问题，属于中档题．

17.【答案】解：因为，，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为；
因为，，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为． 

【解析】由基本不等式得到，从而求出；
利用基本不等式“”的妙用求出最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

18.【答案】解：因为定义域为，
又因为为奇函数，所以，
即，
得，
当时，，
所以，
所以；
可化为，
因为是奇函数，所以，
又由知，
设，，且，则，
因为，所以，，，
所以，
即故是上的减函数，
所以可化为，
因为存在实数，使得成立，
所以，
解得，
所以的取值范围为． 

【解析】根据奇函数的性质求解即可．
首先利用根据题意得到，利用单调性定义得到是上的减函数，再利用单调性求解即可．
本题主要考查了函数奇偶性的定义及性质的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，还考查了不等式存在性问题求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．

19.【答案】解：若选：，
则，
，
，，
，，．
由正弦定理得，
，，
则
，
，，，
，即的取值范围为．
若选：，
由正弦定理得，，
，，．
下面步骤同．
若选：，
则，
由正弦定理得，，
，，．
下面步骤同． 

【解析】选利用三角形内角和定理与和差公式求出，选利用正弦定理和余弦定理求出，选利用面积公式和余弦定理求出．
利用正弦定理得，，再化简即可．
本题考查解三角形和三角恒等变换的综合应用，主要涉及正弦定理、余弦定理、两角和差公式和辅助角公式，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：证明：已知函数，，
当，时，，
此时
因为，且函数的图象在区间上不间断，
所以在上存在零点，
因为，
所以，
此时函数在上单调递增，
则在上有且仅有个零点；
若对于任意的，恒成立，
不妨令，，
又，
此时对于任意的，恒成立，
不妨设，函数定义域为，
当时，恒成立，
令，
解得或，
当时，，
令，，
此时恒成立，其满足条件，
所以的最大值为，
当时，满足，
令，，
此时恒成立，其满足条件，
所以的最小值为，
综上：的最小值为，的最大值为． 

【解析】由题意，将，代入函数解析式中，对函数的解析式进行化简，进而得到函数的解析式，结合函数单调性即可求证；
利用换元法，令，此时问题转化成对于任意的，恒成立，根据和的系数相等，列出等式即可求出的最值．
本题考查不等式恒成立问题和三角恒等变换，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．

21.【答案】解：如图所示，，，
，，
又为正三角形，，
，


，
在中，

故B；
设，，，
则，即，
，即，
由正弦定理可得，
故




，
则当时，面积的最大，
最大值为． 

【解析】通过三角函数的定义及三角恒等变换得，再利用余弦定理可得；
设，，，由余弦定理得，，由正弦定理可得，化简，从而求最值．
本题考查了正弦定理与余弦定理、和差公式、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与化简运算能力，难点在于化简运算，属于难题．

22.【答案】解：当时，，求导数，
所以在上单调递增；
求导数．
时，，即函数在上单调递增，所以，符合题意；
当时，令，，求导数，则存在，使得，当时，，所以，即，
因此，当时，，即，不符合题意；
当时，，不符合题意．
综上所述，． 

【解析】求导数，利用导数的正负确定函数的单调性；
求导数，分类讨论，确定函数的单调性，进而结合不等式，确定实数的取值范围．
本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题，正确求导数，确定导数的正负是解题的关键．