初中人教版13.1.2 线段的垂直平分线的性质习题

第十三章 轴对称

第2课时 13.1.2线段的垂直平分线的性质

一、课前小测——简约的导入

1. 下列图形中一定是轴对称图形的是（     ）.

    A. 梯形             B. 直角三角形      

C. 角               D. 平行四边形

2. 以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是 （   ）.

二、典例探究——核心的知识

例1 已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴．

例2 如图1△ABC和△A´B´C´关于直线m对称．

（1）结合图形指出对称点;

（2）连接A,A´，直线m与线段AA´有什么关系？

（3）延长线段AC与A´C´,它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流．

例3 如图2，在△ABC中，AB＝AC＝16cm，AB的垂直平分线DE交AC于D，BC＝10cm，求△BCD的周长.

三、平行练习——三基的巩固

3. 画出下面各轴对称图形所有的对称轴．

4. 如图3，△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上．

（1）指出两个三角形中的对称点；

（2）指出图中相等的线段和角；

（3）图中还有对称的三角形吗？

5. 如图4，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．

四、变式练习——拓展的思维

例4 如图5，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA,OB的对称点P1,P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为            .

变式1 如图6，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C,D.

（1）求证：∠PCD=∠PDC;

（2）你认为OP与CD有什么关系？证明你的结论.

图6

变式2 如图7，△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.

求证：直线AD是CE的垂直平分线．

五、课时作业——必要的再现

6. 下列说法错误的是（   ）.

  A．D,E是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE

  B．若AD=BD,AE=BE,则直线DE是线段AB的垂直平分线

  C．若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上

D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线

7. 画出下列图形的所有对称轴.

8. 如图8,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB,BC于点D,E.且CAB=B+30°,求∠AEB的度数.

9. 如图9，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F.

求证：BM=MN=NC.

答案

1. C.

2. B.

例1 略.

例2  (1)与A′,B与B′,C与C′;

(2)m⊥AA′；

(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

例3 ∵DE是AB的垂直平分线,

∴AD=BD.

又∵AC=16,

∴BD+DC=16,

即BC=10.

∴△BDC的周长为BC+BD+CD=16+10=26cm.

答：△BCD的周长26cm.

3. 画图略.

4. (1)A与A，B与D，C与E是对称点；

(2)AB=AD,AC=AE,BC=DE,BF=DF,EF=CF；

(3)△AEF与△ACF.

5. ∵DE是AC的垂直平分线,

∴AD=CD，AC=2AE=6cm.

又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm,

∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm,

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm.

例4           15.

变式1  (1)∵P点是∠AOB平分线上一点,PC⊥OA，PD⊥OB,

∴PC=PD,

∴∠PCD=∠PDC.

(2) ∵PC⊥OA，PD⊥OB且∠PCD=∠PDC,

∴∠CPO=∠DPO,

∴OC=OD.

∵PC=PD,

∴点P,O在CD垂直平分线上,

∴OP⊥CD.

变式2 ∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC.

∵∠ACB=90°，DE⊥AB,

∴DE=DC且∠EDA=∠CDA,

∴AE=AC，

∴直线AD是CE的垂直平分线．

6. D.

7. 略.

8．∵DE垂直平分斜边AB, 

∴AE=BE,  

∴∠EAB=∠EBA.

∵∠CAB=∠B+30°,CAB=∠CAE+∠EAB,

∴∠CAE=30°.

∵∠C= 90°,

∴∠AEC=60°,

∴∠AEB=12°.

9. 连结AM,AN.如下图所示:

∵AB=AC ,∠A=120°　

∴∠B=∠C=30°.

∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，

∴AM=BM,AN=CN,∠BAM=∠B=30°,∠NAC=

∠NCA=30°,

∴∠MAN=60°.

易证△ABM与△CAN全等，即AM=BM=AN=NC,

易证△MAN为等边三角形，即AM=AN=MN,

∴BM=MN=NC.