初中数学13.3.2 等边三角形随堂练习题

第十三章 轴对称

第8课时　13.3.2等边三角形（2）

一、课前小测——简约的导入

1. 关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（   ）．

A．等边三角形的范围比等腰三角形大      

B．等腰三角形包括等边三角形

C．等边三角形是等腰三角形的特殊情况    

D．等边三角形具有等腰三角形的所有性质

2. 若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（   ）．

（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．

A．1个      B．2个      C．3个      D．4个

二、典例探究——核心的知识

例1 如图1,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于                            (    ).

A.1m      B. 2m     C.3m     D.4m

                             图1

例2 如图2,在△ABC中，AB=AC=9，∠ABD=120°,AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为           .

图2

例3 如图3,已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，试说明BF=2CF.

三、平行练习——三基的巩固

3. 如图4，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A=30°,BD=1cm,那么∠BCD=

______，BC=_______cm，AD=________cm．

图4

4. 如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，过B点的一条直线BE交AC于E点，ED⊥AB．写出一个你认为适当的条件，并利用此条件说明D为AB的中点．

图5

5. 如图6，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥AB交BC于E，∠BAC＝120°，AE＝3cm,求BC的长.

图6

四、变式练习——拓展的思维

例4  如图7，已知△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)_____________    ；(2)_____________    ；(3)____________   _ .

        图7                    图8

变式1 如图8，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN=CM，则BN=              ．

变式2 如图9,已知△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．

图9

变式3 如图10,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.

                             图10

变式4 如图11，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形．

        图11

五、课时作业——必要的再现

6．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （      ）.

A.75°或15°       B.75°     

C.15°             D.75°和30°

7. 如图12，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AB于D，则∠DCB数为           .

8. 如图13，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AD的垂直平分线交BC于D，交AB于E，求证:BD=DC．

9. 如图14,ΔABC是等边三角形,D是AC上一点,BD=CE,∠1=∠2,试判断ΔADE形状,并证明你的结论.

答案

1. A.

2. C

例1 B.

例2 4.5.

例3 连结AF，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴FA=FC，

∴.

又∵，

∴.

又∵AB=AC，

∴.

∴.在Rt△ABF中，，，

∴，

∴，即BF=2CF.

3. 30°, 2 , 3. 

4. 当∠A=30°时，点D恰为AB的中点.理由如下:∵∠A=30°，∠C=90°，

∴∠CBA=60°．

由对称性知△CBE与△DBE重合,

∴∠EDB=∠C=90°，

∠EBA=∠EBC=∠CBA=×60°=30°，

∴ED⊥AB．

又∵∠A=30°，

∴∠A=∠EBA，∴EA=EB．

∵ED⊥AB，∴ED平分AB，

即D是AB的中点．

5. ∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（等边对等角）.

∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝30°.

又∵AE⊥AB，

∴∠BAE＝90°,

∠EAC＝∠BAC－∠BAE＝120°－90°＝30°.

∴∠C＝∠EAC,

∴AE＝EC＝3cm.

在Rt△ABE中，∠B＝30°，

∴BE＝2AE＝6cm,

∴BC＝BE＋EC＝6＋3＝9（cm）.

例4（1）BD⊥AC;

(2) ∠E=30°;

(3)BD=DE.

变式1 BN=a．

变式2关系:DE=DB.

∵CD=CE，∴∠E=∠EDC，

又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°,

又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，

∴DB=DE.

变式3 ∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∴在Rt△ADC中CD=2AD，

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，

∴BC=3AD.

变式4 ∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，

∴∠1=∠2==60°．

∵AE∥DC，∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°，

∴∠3=∠4=∠E=60°，

∴∠ACE是等边三角形．

6. A.

7. 45°.

8．连接AD，

∵AB=AC，∠A=120°，

∴∠B=∠C== 30°，

∵DE为AB的垂直平分线，∴AD=BD，

∴∠BAD=∠B=30°，∴∠DAC=90°，

∵∠C=30°，∴AD=DC，

∵AD=BD，∴BD=DC．

9. ΔADE为等边三角形.

∵ΔABC为等边三角形，∴AB=AC.

又∵∠1=∠2，BD=CE，

∴ΔABD≌ΔACE（SAS）.

∴AD=AE, ∠CAE=∠BAD=60°,

∴ΔADE为等边三角形.