湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题

南雅中学2023年下期高一第一次质量检测

数  学

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.)

1．下列各组对象可构成一个集合的是　　

A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生

C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生

2．已知集合，集合，则集合的真子集个数为　　

A．3 B．4 C．7 D．8

3．长沙某高中学校高一（1）班有50名学生，秋季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数

为　　

A．27 B．23 C．15 D．7

4．设，则的最小值为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

5．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是　　

A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等

C．， D．对任意，，都有 

6．下列说法中，错误的是　　

A．若，，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，，则

7．设集合，，若“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9．下列关系式中正确的是　　

A． B． C． D．

10．图中矩形表示集合，，是的两个子集，则阴影部分可以表示为　　

A． B． C． D．

11．下列命题为真命题的是　　

A．若，且，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

12．设正实数，满足，则　　

A．的最大值是 B．的最小值为9 

C．的最小值为 D．的最大值为2

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知命题，使得，则为_______．

14．在R上定义运算“”： ，则满足的实数的取值范围为_________．

15．若实数，满足且，则的取值范围是_________．

16．已知实数，满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的取值范围是 _________．

四、解答题(本题共6小题，共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17．集合，．

（1）求；

（2）求．

18．已知集合，或．

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．求下列函数的最值．

（1）求函数的最小值；

（2）若正数，满足，求的最小值．

20．对平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点

的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）设，，，均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．

21．设．

（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式．

22．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁．这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，华为电子设备的发展产生不良影响．为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．

（1）要是这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？

（2）是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：

①技术人员的年人均投入始终不减少； 

②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．

若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．