河北省邯郸经济技术开发区卓越中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份河北省邯郸经济技术开发区卓越中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3．设A={x|x2-7x+12=0}，B={x|ax-2=0}，若A∩B=B，求实数a组成的集合的子集个数有（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
4．已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
5． 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
6．若x＞1，则函数的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
7．已知命题“∃x∈R，使（m-2）x2+（m-2）x+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A. m＞6 B. 2＜m＜6 C. 2≤m＜6 D. m≤2
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论中正确的个数为（ ）
①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、多选题(共4题，每题5分。漏选2分，错选0分)
9．若集合A={0，1，2，x}，B={1，x2}，A∪B=A，则满足条件的实数x为（ ）
A. 0 B. 1 C. ​ D. ​
10．下列结论正确的是（ ）
A. 若a＜b,则ac2＜bc2 B. 若a＞b,则a2＞ab
C. 若a＞b＞0，则ab＞b2 D. 若|a|＞|b|，则a2＞b2
11．不等式x2-x-2≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. x≥0 B. x＜-1或x＞2 C. x∈{-1，3，5} D. x≤-1或x≥2
12．下列命题正确的是（ ）
A. “a＞1”是“”的充分不必要条件
B. 命题：“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”
C. 设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D. “m＜0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件
三、填空题(共4题，每题5分)
13．命题“∀x＞1，x2≥0”的否定为 _____．
14．若关于x的不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 _____．
15．已知函数f（x）=2x2-kx+4在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为 _____．
16．若正实数，满足，则的最小值为_________.
四、解答题(共6题，17题10分。18-22每题12分)
17．已知集合.
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围.
18．已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．已知a+10b＝1（a＞0，b＞0）．
（1）求ab的最大值； （2）求的最小值．
20．已知正实数x，y满足4x+4y＝1．
（1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
（1）已知a,b均为正实数．试比较a3+b3与a2b+ab2的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与1+a的大小．
已知函数f（x）=x2+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1-x2的解集；
（2）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤2a（x-1）+4恒成立，求实数a的取值范围；
试卷答案
1．【答案】B
【解析】根据立方和公式，结合配方法、集合交集的定义进行求解即可.
，
所以，故选：B
2．【答案】D
【解析】化简集合，再按照集合并集的运算规则求解即可.
由，可得，则；
由，可得，则；所以，
故选：D．
3．【答案】D
【解析】先解方程得集合A，再根据A∩B=B得B⊆A，根据包含关系求实数a,根据子集的定义确定实数a的取值组成的集合的子集的个数．
解：A={x|x2-7x+12=0}={3，4}，
因为A∩B=B，所以B⊆A，因此B=∅或B={3}或B={4}，
当B=∅时，a=0，当B={3}时，，当B={4}时，，
实数a的取值组成的集合为，
其子集有∅，{0}，，，，，，，共8个，
故选：D．
4．【答案】A
【解析】解不等式可得集合与集合，进而可得解.
解不等式可得或，
由题意可知阴影部分表示的集合为，且，，
或，所以或，
故选：A.
5．【答案】D
【解析】
取，则，A,B说法错误，
取，则，C的说法错误.
本题选择D选项.
6．【答案】C
【解析】利用配凑法，再结合基本不等式求最值即可．
∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴函数x＝x2＝x﹣13≥23＝7，
当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，∴的最小值为7，
故选：C．
7．【答案】C
【解析】易知，“∀x∈R，使（m-2）x2+（m-2）x+1＞0”是真命题，再分m=2和m≠2两种情况，根据一元二次不等式与二次函数之间的联系，得解．
解：由题意知，“∀x∈R，使（m-2）x2+（m-2）x+1＞0”是真命题，
当m-2=0，即m=2时，不等式可化为1＞0，符合题意；
当m-2≠0，即m≠2时，有，解得2＜m＜6，
综上，实数m的取值范围为2≤m＜6．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】利用数形结合建立不等式关系，进而可以分析出a，b，c的符号，进而可以求解．
设f（x）＝y＝ax2+bx+c，
由图可得：，且a＞0，则，
所以b＜0，所以abc＞0，3a+c＞0，①错误，②正确，
又（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＜0，所以③正确，
故选：C．
9．【答案】CD
【解析】利用并集定义、集合中元素的互异性直接求解．
解：∵集合A={0，1，2，x}，B={1，x2}，A∪B=A，
∴x2=2或x2=x,
解得x=或x=1（舍）或x=0（舍），
故选：CD．
10．【答案】CD
【解析】根据不等式性质分析判断．
解：对于A，若c=0，则ac2=bc2=0，A错误；
对于B，若a=0，则a2=ab=0，B错误；
对于C，若a＞b＞0，根据不等式性质可得：ab＞b2，C正确；
对于D，若|a|＞|b|，根据不等式性质可得：|a|2＞|b|2，即a2＞b2，故D正确．
故选：CD．
11．【答案】BC
【解析】解一元二次不等式，可得不等式的解集为（-∞，-1]∪[2，+∞），再由充分不必要条件的概念即可得结论．
解：不等式x2-x-2≥0的解集为（-∞，-1]∪[2，+∞），
不等式x2-x-2≥0成立的一个充分不必要条件所给定的集合，必定是集合（-∞，-1]∪[2，+∞）的真子集，
又{x|x＜1或x＞2}⫋（-∞，-1]∪[2，+∞），
{-1，3，5}}⫋（-∞，-1]∪[2，+∞），
所以{x|x＜1或x＞2}和{-1，3，5}是不等式x2-x-2≥0成立的一个充分不必要条件．
故选：BC．
12．【答案】ABD
【解析】对于A，由可得a＞1或a＜0，再根据充分不必要条件的定义判断即可；
对于B，根据全称命题的否定判断即可；
对于C，由x≥2且y≥2能得出x2+y2≥4，但由x2+y2≥4不能得出x≥2且y≥2，即可判断；
对于D，根据充要条件判断即可．
解：对于A，因为⇔-1＜0⇔＜0⇔＞0，解得a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于B，命题：“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”，故正确；
对于C，由x≥2且y≥2能得出x2+y2≥4，但由x2+y2≥4不能得出x≥2且y≥2（如x=-3，y=0），，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件，故错误；
对于D，由m＜0，可得Δ=4-4m＞0，所以方程x2-2x+m=0有两不等实根x1，x2，由韦达定理可得x1x2=m＜0，所以两根为一正一负；由方程x2-2x+m=0有一正一负根可得，解得m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故正确．
故选：ABD．
13．【答案】
【解析】全称命题的否定是特称命题．
解：命题“∀x＞1，x2≥0”是全称命题，它的否定为特称命题“”．
故答案为：．
14．【答案】[0，3）
【解析】对于含参数的一元二次不等式恒成立问题，应结合二次函数图像，考虑二次项系数和判别式的值的符号来求解．
解：当k=0时，不等式显然成立，符合条件；
若k≠0，依据二次函数图像可知，k＞0且Δ=k2=4×2k×＜0，
解得，0＜k＜3，
综上，0≤k＜3，
所以实数k的取值范围为[0，3）．
故答案为：[0，3）．
15．【答案】（-∞，20]∪[80，+∞）
【解析】先求出二次函数的对称轴，然后根据函数的单调性建立不等式关系，由此即可求解．
解：二次函数f（x）=2x2-kx+4的对称轴为，
因为函数f（x）=2x2-kx+4在[5，20]上具有单调性，
所以或，解得k≤5或k≥80，
即实数k的范围为：（-∞，20]∪[80，+∞），
故答案为：（-∞，20]∪[80，+∞）．
16．【答案】5
【解析】将所求式子变形为，结合基本不等式即可求出最小值.
解：因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为5.
故答案为：5.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题.本题的关键是将所求式子中的3换成.
17．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；
（2）由可分类讨论与时画图分析即可.
【小问1详解】
∵
∴
【小问2详解】
∵
∴①当时，，解得：，
②当时，即：，
∴或
∴
∴综述：.
18．【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由交集，补集的概念求解，
（2）转化为集合间关系后列式求解，
【小问1详解】
当时，，，则,，
【小问2详解】
由题意得是的真子集，而是非空集合，
则且与不同时成立，解得，
故a的取值范围是
19．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）直接运用基本不等式求解；
因为a＞0，b＞0，所以，所以，
当且仅当a＝10b，即时，等号成立，所以ab的最大值为；
（2）原式要变凑出常数，原式乘以数1即可．
因为a+10b＝1（a＞0，b＞0），所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
20．【答案】（1）；（2）[﹣9，4]．
【解析】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解xy的最大值；
4x+4y＝1，所以，解得，
当且仅当 取等号，∴xy 的最大值为．
（2）先利用乘1法求出的最小值，然后结合二次不等式的求法即可求解a的范围．
，
当且仅当， 取等号，∴a2+5a≤36，解得﹣9≤a≤4．
即a的取值范围是[﹣9，4]．
21．【解析】（1）利用“作差法”，可得（a-b）2（a+b）≥0，
（2）利用“作差法”，通过对a分类讨论即可得出．
解：（1）∵a,b均为正实数，
∴a3+b3-a2b-ab2=a2（a-b）-b2（a-b）=（a-b）（a2-b2）=（a-b）2（a+b）≥0，
即a3+b3≥a2b+ab2，
（2）∵-（1+a）=．
①当a=0时，=0，∴=1+a.
②当a＜1且a≠0时，＞0，∴＞1+a.
③当a＞1时，＜0，∴＜1+a.
综上所述，当a=0时，=1+a；
当a＜1且a≠0时，＞1+a；
当a＞1时，＜1+a.
22．【解析】（1）由1，2为方程x2+ax+2=0的两个不等实数根，根据韦达定理求解a,然后解一元二次不等式即可；
（2）将不等式化简，令h（x）=x2-ax+2a-2，可得h（x）≤0对x∈[-1，1]恒成立，只需满足，求解a的范围；
解：（1）由题意，1，2为方程x2+ax+2=0的两个不等实数根，
∴1+2=-a⇒a=-3，所以不等式f（x）≥1-x2为x2-3x+2≥1-x2⇒2x2-3x+1≥0，
解得或x≥1，
所以不等式解集为．
（2）f（x）≤2a（x-1）+4，即x2-ax+2a-2≤0对x∈[-1，1]恒成立，
令h（x）=x2-ax+2a-2，即h（x）≤0对x∈[-1，1]恒成立，
因为函数h（x）开口向上，故只需满足，即，
解得，所以a的取值范围为；