湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高三数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考

数学试题

命题学校：新洲一中（邾城校区）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.

1. 设集合，则（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把集合和中的元素化为统一形式，再进行比较分析即可.

【详解】对于集合，

对于集合，

又因为是奇数，是整数，

所以，则有，

故选：

2. 已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.

【详解】若命题为真命题，即：，

设，则由二次函数图象与性质知，

当时，最小值为，所以.

因为命题为假命题，所以，

即的取值范围为.

故选：A.

3. 已知且，则的取值范围是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题目条件得到，由和得到，由得到，从而得到答案.

【详解】因为，，所以，

由得到，则，解得，

由得，整理得，解得，

由得，

综上，.

故选：B

4. 已知函数满足，则等于（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意在中分别令、即可得到关于的方程组，解方程组即可.

【详解】因为函数满足，

所以在中分别令、，

可得，

解不等式组得.

故选：A.

5. 已知角终边上一点，则的值为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由任意角三角函数的定义求出，再由诱导公式化简代入即可得出答案.

【详解】因为角终边上一点，所以

.

故选：B.

6. 设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将函数转化为及上两点间距离的平方，求出直线与函数相切的切点，从而求出切点到的距离，得到，结合题干中得到，并求出点坐标，求出实数的值.

【详解】设点，则，

令，，

可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值，

若直线与函数的图象相切，设切点的横坐标为，

因为，可得，解得：，

则切点为，且切点在上，故，

点到直线的距离为，所以，

又因为有解，则，

此时点P在上，也在直线在点P处的垂线即直线上，

其中直线在点P处的垂线的斜率为，

所以直线在点P处的垂线方程为：

即点坐标满足，解得，即

故选：C．

【点睛】方法点睛：由不等式求参数范围常用方法和思路：

1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

3.数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

7. 已知分别为三个内角的对边，且则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理及三角恒等变换可得，又因为，所以，即可得，再根据正弦函数的性质求解即可.

【详解】因，

所以，

即,

，

所以，

，

又因为，

所以，即，

，所以，

又因为，所以，

所以，解得.

故选：D.

8. 已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的对称性，可得函数的周期性，结合题意，求得函数的值，可得答案.

【详解】由题意可知，且，所以，

则，所以是以4为周期的周期函数.

由可知，，则，

所以，

由得，，

所以，则，所以，

，…，

，

所以.

故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（    ）

A. 的值域为 B. 是偶函数

C. 存无理数，使 D. 对任意有理数，有

【答案】ABD

【解析】

【分析】由分段函数的解析式求得函数的值域，可判定选项;由偶函数的定义，可判定选项;由函数的解析式可验证选项

【详解】由题意，函数，可得函数的值域为，故正确；

若为有理数,则为有理数，可得

；

若为无理数,则为无理数，可得

，

所以函数为定义域上的偶函数，故正确；

当为无理数，若为有理数，则为无理数，

若为无理数，则可能为有理数，也有可能是无理数，

不满足，所以错误；

对任意有理数，若为有理数，则为有理数，

若为无理数，则为无理数，所以，则正确.

故选：

10. 已知函数，则下列说法正确的是（     ）

A. 若的最小正周期是，则

B. 当时，的对称中心的坐标为

C. 当时，

D. 若在区间上单调递增，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于利用函数周期公式求解即可；对于，求出当时，函数的对称中心，即可判定；对于，，求出，利用函数的单调性即可比较大小；对于，求出函数的单调递增区间，结合题中条件列出不等式组，解出结果，再结合周期范围及，即可求出的范围.

【详解】对于当的最小正周期是，

即则，故正确；

对于,当时，，

所以令,解得

，所以函数的对称中心的坐标为，

故错误；

对于，当时，，

，

，

由于正切函数在单调递增，

故，故正确；

对于,令

解得：，

所以函数的单调递增区间为，

又因为在区间上单调递增，

所以解得:，

另一方面，

所以

又因为所以

故，故正确.

故选：

11. 设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得(为常数)，则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为的有（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题中条件，依次分析选项中的函数是否满足条件，即可得到答案.

【详解】对于,函数的定义域为,值域为，

对任意的,方程，即必有解，

则在其定义域上的均值为2，符合题意；

对于,函数的值域为,对任意的,

方程，即必定有解，

则在其定义域上的均值为2，符合题意；

对于,函数的定义域为，值域为，

当时，，若，

可得，方程无解，不符合题意；

对于,函数的定义域为，值域为，

当时，，

方程化为，方程无解，不符合题意.

故选：

12. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（     ）

A.  B. 4 C.  D. 22

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，由导数的几何意义可得切线方程，然后得到，求出函数的值域，即可得到的范围.

【详解】因为，设切点为，
则切线方程为，
将，代入得，，
令，则，
或时，，当时，，
故函数的单增区间为和，的单减区间为，
的极大值为，极小值为，
由题意知，，又为整数，

，，，20，21

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知,则函数的最大值与最小值的和为__________．

【答案】16

【解析】

【分析】根据对勾函数的性质求解即可.

【详解】解：由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，

又因为，，

所以，

所以.

故答案为：

14. 函数的最小正周期为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，由正弦型函数的周期计算公式，即可得到结果.

【详解】函数的最小正周期为.

故答案为：

15. 若函数且在是减函数，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据复合函数同增异减的单调性性质，分，两种情况讨论，即可确定实数的取值范围.

【详解】因为，令，则，

①当时，单调递减，

因为当时，是减函数，则在上单调递增，

则对称轴且，解得，与矛盾，故此时无解；

②当时，单调递增，

因为当时，是减函数，则在上单调递减，

则对称轴且，解得，

综上，的取值范围为.

故答案：.

16. 有这样一个事实:函数与有三个交点，，在直线上.一般地，我们有结论:对于函数与的图象交点问题，当 时，有三个交点，当时有一个交点，借助导数可以推导:当时有两个交点，当时有一个交点，当时没有交点，先推导出的值，并且求：关于的方程在上只有一个零点，的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】当（）时有一个交点时，由题意可知切点在直线上，设切点横坐标为，由导数几何意义可知又，即可求出与，则可转化为，令，结合已知信息求出的取值范围.

【详解】由与，所以与，

当时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线上，

设切点横坐标为，由导数几何意义可知又，

， ，则 ；

即当时与有一个交点，

由，则，可得，令，则（且），

由提供的信息可得，或，

解得或，

即的取值范围为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是求出当时与有一个交点，再将目标式子转化为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设，，，．

（1）分别求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简集合，再利用集合间的基本运算求解即可.

（2）由，可得，然后根据不等式的范围即可得出结果.

【小问1详解】

，，

又由，得且，

，；

因，

.

【小问2详解】

，，

又，，

，解得，

所以实数取值范围为.

18. 已知函数为上的奇函数，

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性并证明；

（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）函数在上单调递增，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用函数奇偶性求解即可；

（2）利用指数函数的单调性及函数单调性定义证明即可；

（3）利用函数单调性分别求出在区间上的值域，将问题转化为集合的包含关系，建立不等式组求解即可.

【小问1详解】

函数是奇函数，

，

即，

整理可得，对于，

解得：.

【小问2详解】

函数在上单调递增，证明如下：                 

，

设，且，

则

=，

因为函数在上单调递增，

所以当时，，又，

所以，故函数在上单调递增.

【小问3详解】

设，

由题意可知，，                                 

由（2）问可知，在时单调递增，

所以

即集合， 

又，，

.

19. 求值：

（1）

（2）+

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由辅助角公式化简，结合正弦的二倍角公式，即可得到结果；

（2）根据题意，利用降幂公式化简，结合余弦的和差角公式，即可得到结果.

【小问1详解】

 =          

===

【小问2详解】

+=

+

+ =

20. 现有大小相同的7个红球和8个黑球，一次取出4个.

（1）求恰有一个黑球的概率；

（2）取出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；

（3）取出4个球同色，求全为红球的概率.

【答案】（1）；   

（2）分布列见解析，   

（3）

【解析】

【分析】（1）由古典概率的公式求解即可；

（2）求出X的可能取值，及其对应的概率，即可求出X的分布列，再由数学期望公式即可求出X的数学期望；

（3）由条件概率公式求解即可.

【小问1详解】

记事件A="求恰有一个黑球"，则由古典概型公式可得

；

【小问2详解】

X的可能取值为0，1，2，3，4，                             

P，P，P，

P，P，  X的分布列如下：    

0 +1 +2+3+4= =

【小问3详解】

记事件" 取出4个球同色，求全为红球"，则由条件概率公式有

.

21. 在中，，点D在边上，且

（1）若的面积为，求边的长；

（2）若，求.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）由三角形面积公式首先可以求得的长度，然后在中，运用余弦定理即可求解.

（2）设所求角，根据已知条件把图中所有角都用含有的式子表示出来，再设，在和分别运用正弦定理，对比即可得到关于的三角方程，从而即可得解.

【小问1详解】

在中，由题意有,

且注意到，，

所以有，解得，

如图所示：

在中，由余弦定理有，

代入数据得，

所以.

【小问2详解】

由题意，所以设，

则，               

设，

在中，由正弦定理有，

代入数据得，

在中，由正弦定理有，

代入数据得，      

又，

所以以上两式相比得，即，

所以有 ，

所以，

所以，或

又，且，

所以，

所以解得或.

22. 已知：函数

（1）求的单调区间和极值；

（2）证明：；(参考数据：，

（3）若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围.（三问直接写出答案，不需要详细解答，参考数据：）

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调区间，进而得到极值情况；

（2）解法1：转化为只需证，构造，，求导得到其单调性，求出，结合，，得到最小值大于0，证明出结论；

解法2：转化为只需证，构造，，求导后得到其单调性，得到，证明出结论；

（3）数形结合可得不等式组，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

的定义域为，，

令，可得，列表如下：

的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.

【小问2详解】

解法1：要证，只需证，

设，，

则，

令，则在上恒成立，

故在上单调递增，所以，

即在上恒成立，

令，可得，列表如下：         

所以，

由于，，

，

所以，从而不等式得证.

解法2：要证，只需证，

设，，

则，

又因为（1）中的的最小值即为极小值，

故，

令得，

从而列表如下：

由于，，

从而，从而不等式得证.

【小问3详解】

设，开口向下，

由于定义域为，

单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，

其中，故为满足要求的一个整数解，

要想满足不等式的解集中恰有三个整数解，

由数形结合可得，

即，故，

由于，

所以，，

故，

解得.

【点睛】方法点睛：导函数证明不等式或求解参数取值范围等问题上，经常用到不等式放缩，以下是常用的一些不等式，，，，，等.