中考数学二轮复习模块三函数 锐角三角函数含解析答案

这是一份中考数学二轮复习模块三函数 锐角三角函数含解析答案，共38页。试卷主要包含了在中，，，，则的值是，如果是锐角，则下列成立的是等内容，欢迎下载使用。
锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，在直角中，延长斜边到点C，使，连接，若tanB=，则的值（    ）

A． B． C． D．
2．如图，小正方形的边长均为1，、、分别是小正方形的三个顶点，则的值为（   ）

A． B． C．1 D．
3．在中，，，，则的值是（    ）
A． B． C． D．
4．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为（    ）

A． B． C． D．1
5．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（    ）
A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形
C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形
6．如果是锐角，则下列成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某飞机在空中处探测到地平面目标，此时从飞机上看目标的俯角为，飞行高度，则飞机到目标的距离为（    ）

A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是(　　)
A．sin B＝ B．cos B＝ C．tan B＝ D．tan B＝
9．如果把∠C为直角的各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的各三角比的值（     ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．都没有变化 D．有些有变化
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
11．若锐角、满足条件时，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC=4，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．12 B．20 C．8 D．16
13．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）
  
A． B． C． D．2
14．如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于（    ）

A． B． C． D．
15．如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC与△DEF的周长比为（　　）

A． B．1：2 C．1：3 D．1：4
16．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　)

A． B． C． D．
17．如图，在高楼前D点测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进60 m到达C点，又测得楼顶A的仰角为45°，则该高楼的高度大约为(　　)

A．82 m B．160 m C．52 m D．30 m
18．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AC的长度为（     ）

A．6m B．m C．9m D．m

评卷人
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二、填空题
19．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的值为 ．

20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝ ．
21．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是 ．

22．如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为 ．

23．比较大小： ； ．（填“，或”）
24．已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是 ．
25．如图，将绕点B顺时针旋转得到．请比较大小： ．

26．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为 米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．

27．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，那么AC= ．
28．cos45°-tan60°= ；
29．在中，，则的形状是 ．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，则∠B的度数为 .

31．如图，在RtABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝ ．

32．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ．

33．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝30°，BC＝2＋，tanB＝，那么AD等于 .

34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为 ．

35．如图，正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连结．给出下列结论：①；②四边形是菱形；③；④；⑤．其中结论正确的是 ．


评卷人
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三、解答题
36．如图，将矩形沿对角线对折，点落在处，与相交于点．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的正弦值．
37．计算：
（1）；
（2）．
38．（1）在△ABC中，∠B＝45°，cosA．求∠C的度数．
（2）在直角三角形ABC中，已知sinA，求tanA的值．
39．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；
(2)求tanC的值．

40．如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上．

（1）求的距离；
（2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
41． 如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°, 求楼CD的高．

42．计算： ．
43．计算：（1） ；       （2）．
44．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．
45．如图，菱形中，，F是中点，连接，，垂足是E．

（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
46．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．

（1）求的值：
（2）若，求的长．
47．某数学兴趣小组的同学想要测量一楼房的高度，如图，楼房后有一假山，假山坡脚C与楼房水平距离为15米，其斜坡坡度为，山坡坡面上点E处有一休息亭，一名同学从坡脚C出沿山坡走了20米达到凉亭，在此处测得楼顶A的仰角为．
（1）求点E距水平地面的高度；
（2）求楼房的高．（留根号）

48．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为39°，铁塔顶端的仰角为27°，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为53°．已知，点、、构成的中，．

（1）图②是图①中的一部分，求铁塔的高度；
（2）小明说，在点处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是_____，若将这个角记为，则铁塔的高度是______；（用含的式子表示）
（3）小丽说，除了在点处测量角的度数外，还可以在点处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是______．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，）

参考答案：
1．D
【分析】延长，过点作，垂足为，由，即，设，则，然后可证明，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得，，从而可求．
【详解】解：如图，延长，过点作，垂足为，
，即，
设，则，
，，
，
，
，，
，
．
故选：．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将放在直角三角形中．
2．B
【分析】连接，先根据勾股定理求得AB、BC、AC的长，然后再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可
【详解】解：如图：连接，
每个小正方形的边长均为1，
，，，
，
是直角三角形，
．
故答案为．

【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得是直角三角形是解答本题的关键．
3．D
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
4．B
【分析】如图，连接AD，CD，根据勾股定理可以得到OD=AD，则OC是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】解：如图，连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD=AD=，OC=AC=，∠OCD=90°．
则CD=，
∴sin∠AOB=，
故选：B．

【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．
5．B
【分析】先根据正切值、余弦值求出、的度数，再根据三角形的内角和定理可得的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】、是的内角，且，，
，，
，
是等腰直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．
6．B
【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.
【详解】解：∵a、b是直角边，c是斜边，
∴sin+cos=+=，
∵a+b>c，
∴>1，
∴.
故选B.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.
7．B
【分析】由题意得∠ABC=，然后根据解直角三角形，即可求出AB的长度．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=，，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是掌握正弦的定义进行解题．
8．C
【详解】∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB= ，
∴sinB= ，cosB=，tanB=，
故选C.
9．C
【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．
【详解】在中，，
，
，
则当各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A的各三角比的值都没有变化，
故选：C．

【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．
10．D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
11．D
【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.
【详解】∵，
∴，，，.
故只有D选项正确.
故选D.
【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.
12．D
【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，求出∠BAO=30°，由直角三角形的性质得OB=OA=2，AB=2OB=4，即可得出答案．
【详解】解：连接BD交AC于点O，如图：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，
∴∠BAO=30°，
∴OB= OA==2，AB=2OB=4，
∴菱形ABCD的周长=4AB=16；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13．B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
  
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
14．D
【分析】连接格点CD，根据勾股定理求出三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，最后由三角函数的意义求解即可．
【详解】解：如图，连接格点CD，

∵AD2=22+22=8，CD2=12+12=2，AC2=12+32=10，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
由勾股定理得，
AC=，CD=，
∴sin∠BAC==，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的意义，勾股定理等知识，根据网格构造直角三角形和利用勾股定理求边长是解决问题的关键．
15．A
【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△BAC∽△EDF，即可解决问题．
【详解】解：如图，设正方形网格的边长为1，

由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△BAC∽△EDF，
∴C△ABC：C△DEF＝1：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．C
【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可.
【详解】
如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形，
∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，
在Rt△ABD中，，
∴，
∴，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
17．A
【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴BC=AB，
Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴BD=AB÷tan30°=AB，
∴DC=BD-BC=（-1）AB=60米，
∴AB= ≈82米，即楼的高度约为82.0米，
故选A.
18．D
【分析】根据坡度的概念求出AC即可．
【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，
即，
解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
19．
【分析】连接AE交GF于O，连接BE，BD，则△BCD为等边三角形，设AF=x=EF，则BF=3-x，依据勾股定理可得Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，解方程（3-x）2+（）2=x2，即可得到EF=，再根据Rt△EOF中，OF=，即可得出tan∠EFG=．
【详解】解：如图，连接AE交GF于O，连接BE，BD，则△BCD为等边三角形，

∵E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠EBF=∠BEC=90°，
Rt△BCE中，CE=cos60°×3=1.5，BE=sin60°×3=，
∴Rt△ABE中，AE=，
由折叠可得，AE⊥GF，EO=AE=，
设AF=x=EF，则BF=3-x，
∵Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，
∴（3-x）2+（）2=x2，
解得x=，即EF=，
∴Rt△EOF中，OF=，
∴tan∠EFG=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，对应边和对应角相等．解题时，常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20．
【分析】根据勾股定理求出边BC的长，利用余弦定理cosA=即可解得．
【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，所以BC==6,所以cosA===.
【点睛】本题考查勾股定理以及余弦定理．
21．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则cos∠BAC，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
22．
【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明△ADM≌△BHM，得出AD=HB=4，MD=MH，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x，即BE，结合AB得出cosB的值.
【详解】解：延长DM交CB的延长线于点H．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=4，AD∥CH，
∴∠ADM=∠H，
∵M是AB的中点，
∴AM=BM，
在△ADM和△BHM中，
，
∴△ADM≌△BHM（AAS），
∴AD=HB=4，MD=MH，
∵∠EMD=90°，
∴EM⊥DH，
∴EH=ED，
设BE=x，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB=∠EAD=90°，
∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2，
∴42-x2=（4+x）2-42，
解得：x=，或x=（舍），
∴BE=，
∴cosB=.
故答案为：.

【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．
【分析】①把、分别与1进行比较，即可得到答案；
②分别求出、的值，然后进行比较即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵，，
又∵，
∴；
故答案为：；；
【点睛】本题考查了三角函数的比较大小，解题的关键是正确的掌握三角函数的值，然后进行比较．
24．
【分析】设，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
【详解】设
由题意得：


解得
经检验，是分式方程的根
即
为锐角

故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．
25．＜
【分析】由旋转可得：＜ 如图，构建直角三角形 且再利用锐角三角函数的定义可得：由＜ 从而可得答案．
【详解】解：由旋转可得：＜
如图，构建直角三角形 且

由三角函数定义可得：
＜
＜
＜
故答案为：＜．
【点睛】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键．
26．19.2
【分析】根据题意利用正切列式进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：
tan14°=，
解得：l＝19.2，
故答案为：19.2．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数进行求解问题是解题的关键．
27．5
【分析】先根据正切的定义得到sinA==，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC的长．
【详解】在△ABC中，∠C=90°，
∵sinA==，BC=12，
∴AB=13，
∴AC==5．
故答案为5．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
28．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．
【详解】解：原式．
故答案是：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．
29．钝角三角形
【分析】根据非负数的性质得到，，从而求出∠A与∠B的度数，即可判断△ABC的形状．
【详解】∵
∴，
即，
∴，
∴
∴是钝角三角形
故答案为：钝角三角形
【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．
30．45°
【分析】根据特殊的三角函数值,表示出∠B的正弦值即可解题.
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，
∴sinB=,
∴∠B=45°.
【点睛】本题考查了三角函数的特殊值,属于简单题,熟悉特殊角的三角函数值是解题关键.
31．
【分析】利用锐角三角函数即可求出BC，然后利用勾股定理即可求出AC，从而求出CD，再利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：∵在RtABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝4，
∴BD＝＝＝；
故答案为：．
【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
32．
【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴BC=BE-CE=，
∴．

故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
33．1
【分析】设AD=x，则BD=2x，CD=x，所以2x+x=2+，从而求出AD的长度．
【详解】解：设AD=x，
∵tanB== ，
∴BD=2x，
∵∠C=30°，
∴CD=x，
∵BC＝2+，
∴2x+x=2+，
∴x=1．即AD=1，
故答案为1．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是利用三角函数求出CD=x，进而得出AD的长．
34．6.4
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.

【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
35．①②③④
【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；③设AE=x，由等腰直角三角形的性质，得到，然后求出x，即可得到答案；④由，然后进行判断即可；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故②正确；
设AE=x，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF=AE=，
∴x+x=1，
解得，x=，
∴tan∠AED=，故③正确；
∵△AGD与△OGD同高，且，
∴；故④正确；
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF=OG，
∴BE=EF=×OG=2OG．
故⑤错误．
综合上述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
36．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形性质和平行线的性质得∠ADB=∠CBD，结合折叠性质得出∠ADB=∠DBF，再根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）设BF=DF=x，则AF=4﹣x，利用勾股定理求解x值，再根据正弦定义求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
由折叠性质得：∠DBF=∠CBD，
∴∠ADB=∠DBF，
∴BF=DF，
∴△BFD是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，AB=CD=2，∠A=90°，
设BF=DF=x，则AF=4﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2= x2
解得：x= ，
∴sin∠AFB= ，
即 的正弦值为．
【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦定义、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
37．（1）；（2）．
【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；
（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式

．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．
38．（1）75°；（2）．
【分析】（1）由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可；
（2）根据角A的正弦设BC=4x，AB=5x，得AC的长，根据三角函数的定义可得结论．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，cosA，∴∠A＝60°
∵∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°；
（2）∵sinA，∴设BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴tanA．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的知识以及三角形的内角和定理，属基础题．
39．(1) BD＝3，AD＝3；(2) tanC＝.
【详解】（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°．
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB·sin30°＝3，
∴．
（2），
在Rt△BDC中，．

40．（1）海里；（2）海里．
【分析】（1）过点作于点,利用余弦定义解出AP、AD的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；
（2）过点作于点，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF的长，在中，由勾股定理解得BC的长即可．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，
在中，，，
∵，
∴

在中，，，
∴．
∴海里
（2）如图，过点作于点，
在中，，，
∴
在中，．
在中，，，
∴海里．
∴点与点之间的距离为海里．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．
41．楼CD的高是（36+12）米
【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．
【详解】延长过点A的水平线交CD于点E

则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE=BD=36
∵∠CAE=45°∴△AEC是等腰直角三角形∴CE=AE=36
在Rt△AED中，tan∠EAD=
∴ED=36×tan30°=12
∴CD=CE+ED=36+12
答：楼CD的高是（36+12）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
42．
【分析】代入特殊角的三角函数值以及根据零指数幂、二次根式的性质计算即可．
【详解】


．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂、二次根式，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
43．（1）1；（2）．
【分析】（1）先计算特殊角的正弦、余弦、余切值，再计算二次根式的乘除法与减法即可得；
（2）先计算特殊角的正弦与余弦值，再计算二次根式的除法与加减法即可得．
【详解】（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的加减乘除运算，熟记各运算法则是解题关键．
44．（1）α=30°；（2）α=60°．
【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；
（2）先求出sinα的值，然后求出角的度数．
【详解】解：（1）解得：tanα=，
则α=30°；
（2）解得：sinα=，
则α=60°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
45．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等，对角相等，又由∠D=120°可得∠A=∠C=60°，则△ABD、△CBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出BF垂直平分AD，易得∠AFB=∠CEB，所以由角角边可得△ABF≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等，即可得BF=BE；
（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，解三角形求出AB，即可求得菱形ABCD和Rt△ABF的面积，菱形面积减去两个直角三角形的面积即可．
【详解】（1）证明：连接BD

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=CB=CD=AD，∠A=∠C=60°，
∵F是AD中点，BE⊥DC，
∴△ABD、△CBD是等边三角形，
∵F是AD中点，BE⊥DC，
∴BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CEB =90°，
∵∠A=∠C，AB=CB，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE；
（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，
∵BF=，sin60°=，
∴AB=CB=CD=AD=4，AF=AB=2，
∴=，=，
∴四边形BEDF的面积==．
【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，解直角三角形．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
46．（1）；（2）4
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键．
47．（1）米；（2）（15+）米
【分析】（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出CF=2EF，然后根据勾股定理解答；
（2）过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，结合（1）中结论得到CF的值，再根据AB=AH+BH，求出AB的值．
【详解】解：（1）过点E作EF⊥BC于点F．
在Rt△CEF中，CE=20，，
∴，
解得：EF=（负值舍去），
∴点E距水平面BC的高度为米；

（2）过点E作EH⊥AB于点H．
则HE=BF，BH=EF．
在Rt△AHE中，∠HAE=90°-45°=45°，
∴AH=HE，
由（1）得CF=2EF=，
又∵BC=15，
∴HE=BC+CF=15+，
∴AB=AH+BH=15++=15+，
∴楼房AB的高为（15+）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
48．（1）铁塔的高度为米；（2）；；（3）的长度或点到直线的距离或线段，其中点为的平行线与的交点．（写出两个即可）
【分析】（1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出AB的长．
（2）测得∠BED=a，解直角三角形ABE求得BE，进而解直角三角形BED求得DE，最后在Rt△CED中，由正切可求CD；
（3）测得FD长度或F到DE的距离即可通过计算求得CD．①测得FD=m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD=DE•tan27°求得结果，
②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD=DE•tan27°求得CD，
【详解】解：（1）在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∴米，
答：铁塔的高度为米；
（2）（2）在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是∠BED，
在Rt△ABE中，，
在中，，
在中，；
（3）在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度，
①测得FD=m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD=DE•tan27°求得结果，
②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD=DE•tan27°求得CD；
故答案为FM长度或F到DE的距离．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题需要同学们理解仰角、俯角的定义，根据实际构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题求解．