河北省沧州市河间市第十四中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份河北省沧州市河间市第十四中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
10.10月考卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量，，若，则实数(    )A.  B.  C.  D. 2.如图，在四面体中，，，点在上，且，为中点，则等于
．(    )


 A.  B.  C.  D. 3.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑中，平面，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

 A.  B.  C.  D. 4.已知平面的一个法向量为，则所在直线与平面的位置关系为
(    )A.  B.  C. 与相交但不垂直 D. 5.已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是
(    )A.  B.
C.  D. 6.已知直线：与：垂直，则实数的值为(    )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或7.方程(    )A. 可以表示任何直线 B. 不能表示过原点的直线
C. 不能表示与轴垂直的直线 D. 不能表示与轴垂直的直线8.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为
(    )A.  B. 或
C. 或 D. 或二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是(    )A. 点的坐标是或 B. 三角形的面积等于
C. 斜边的中点坐标是 D. 点关于直线的对称点是10.已知直线：，则下列说法正确的是(    )A. 直线的斜率可以等于
B. 若直线与轴的夹角为，则或
C. 直线恒过点
D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或11.下列结论正确的是
(    )A. 方程与方程可表示同一直线
B. 直线过点，倾斜角为，则其方程是
C. 直线过点，斜率为，则其方程是
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程12.如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，，为的中点，则下列命题中正确的是
(    )
 A.  B. 平面
C. 直线与所成角的余弦值为 D. 二面角大小为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.经过点，且与原点的距离等于的直线的一般式方程为          ．14.已知经过点的直线与直线垂直，若点到直线的距离等于，则的值是          ．15.如图，光线从出发，经过直线反射到，该光线又在点被轴反射，若反射光线恰与直线平行，且，则实数的最小值是          ．
 16.直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为          ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
Ⅱ若，求直线的方程．18.本小题分已知，，动点满足：．求点的轨迹方程；过点的直线交中轨迹于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．19.本小题分
已知：，，，，，求：
，，；
与所成角的余弦值．20.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，点是棱的中点．
 证明：平面；当时，求直线与平面所成角的正弦值．21.本小题分如图，四边形为等腰梯形，，，将沿折起，为的中点，连接、，如图，若，求线段的长；求直线与平面所成角的正弦值．22.本小题分已知直线．求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：向量，，
，
，
，
解得．
故选：．
直接利用向量的坐标运算法则，结合向量共线，列出方程求解即可．
本题考查向量的坐标运算，向量共线的充要条件的应用，是基础题．2.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间向量定理及其应用．根据空间向量定理利用向量加法和减法的运算得出答案．【解答】解：，，，点在上，且，为的中点，故选B3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了利用空间向量求线线的夹角，建立空间直角坐标系，设，得出和的坐标，由空间向量求解即可．
【解答】
由题可知：，，
，且，为等腰直角三角形，
过作，则以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，
，，
，，
异面直线，夹角的余弦值为．
故选D．4.【答案】 【解析】【分析】本题考查了线面垂直的向量表示，属于基础题．
根据平面的法向量与空间向量的共线关系，即可判断直线与平面垂直．【解答】
解：因为，，
所以，所以，
所以，即
故选A．5.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．
计算  ，再考虑分别 和  两种情况，得到倾斜角范围．【解答】解：  ，则直线的斜率 ，设直线  的倾斜角为 ，故  ，所以当  时，直线  的倾斜角  ；当  时，直线  的倾斜角  ；综上所述：直线  的倾斜角 故选：．6.【答案】 【解析】【分析】本题考查了分类讨论思想、两条直线相互垂直的条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
对分类讨论，利用两条直线相互垂直的条件即可得出．【解答】
解：时，两条直线不垂直，舍去．
时，由，
可得：，
化为：，
解得或，满足条件．
故选D．7.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线的点斜式方程，属于基础题．
根据点斜式方程的特点逐项判断即可．【解答】解：因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以不能表示与轴垂直的直线故选D．8.【答案】 【解析】【分析】本题考查给出已知定点，求经过该点且在两个轴上的截距互为相反数的直线方程．考查直线的截距式方程，属于拔高题．
根据题意，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况求解，当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为，当直线不经过原点时，设直线方程为，代点求可得直线方程．【解答】
解：当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为，符合题意，
此时直线方程为；
当直线不经过原点时，设直线方程为，
代入，可得，则直线的方程为，
综上，符合题意的直线为或．
故选C．9.【答案】 【解析】【分析】本题考查过两点的斜率公式、点直线间的对称问题，属于中档题．
根据题意逐项进行分析求解即可．【解答】
解：取的中点，因为三角形为等腰三角形，所以，
即垂直于直线，则，
则的中点坐标为故C正确；
所以
而，，
且，，
联立得，所以的坐标是或，故A正确；
，所以，故B错误；
设点的对称点为，则的中点为，即，所以，
，解得，即点关于直线的对称点是，故D正确．
故选：．10.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，直线的斜率与倾斜角的关系，直线方程的应用，属于较易题．
根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．【解答】
解：当时，直线的斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于，故A选项错误；
直线与轴的夹角为，
直线的倾斜角为或，
直线的斜率为，
或，
或，
故B选项正确；
直线的方程可化为，
所以直线过定点，故C选项错误；
当时，直线在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确，
故选BD．11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了直线方程的综合应用【解答】
解：对于，方程表示的直线不含点，所以A错误，显然正确对于，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误．12.【答案】 【解析】【分析】本题考查了空间中的线面关系以及异面直线所成角和二面角的求解计算问题，属于较难题．
取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为，、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误．【解答】解：取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，则，对
，易知的一个法向量为，
，故A与平面不平行，错；
，，
所以，直线与所成角的余弦值为，对
设平面的法向量为，，
则，取，则，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角为，对．
故选：．13.【答案】或 【解析】【分析】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线方程的求解，属基础题．
分为斜率不存在和存在两种情况进行讨论即可．
 【解答】
解：当直线斜率不存在时，方程为，满足到原点的距离为；
当直线斜率存在时，设方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，解之可得，
故方程为，化为一般式可得．
故答案为：或．14.【答案】 【解析】【分析】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．
由题意，分类讨论，进行求解即可．【解答】解：由题意，
当时，直线，即为，则经过点的直线的方程为，
此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去；
当时，可设直线的方程为，即为，可得：，解得；
综上，的值是，
故答案为．15.【答案】 【解析】【分析】题考查了直线方程的求解和应用，涉及了入射光线和反射光线之间关系的应用、两点式方程的应用、点关于直线对称问题，属于中档题．
先设点关于直线的对称点，利用点关于直线对称求出点，求出关于轴的对称点为，利用，得到和的关系，即可得到答案．【解答】解：如图，设关于直线的对称点为，则一定在第一次的反射光线所在的直线上，设关于轴的对称点为，则必在第二次的反射光线所在的直线上．设，则解得即， ，由题意得，整理得，，，16.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线恒过定点，考查对称性的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
由直线可得定点坐标，设出所求直线方程，根据定点到对称直线的距离相等，列方程即可得出结论．【解答】
解：由直线，可得
令，解得，
设直线关于点对称的直线方程为，
则，
或舍去
即．
故答案为．17.【答案】解：Ⅰ若直线过原点，则在两坐标轴的截距都为，满足题意，此时则，解得，若直线不过原点，则斜率为，解得．因此所求直线的方程为或．Ⅱ若，则，解得或．当时，直线，直线，两直线重合，不满足，故舍去；当时，直线，直线，满足题意，因此所求直线． 【解析】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线的截距等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
Ⅰ若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，解得；若直线不过原点，则斜率为，解得，由此能求出直线的方程．Ⅱ时，解得或，再代入验证能求出直线．18.【答案】解：因为，
，
化简整理得，
即点的轨迹方程为．
证明：设，，，
由，，，，
点在上，，
整理得，
又，同理可得，
、是方程的两个根，
，
即为定值． 【解析】由及两点距离公式，代入整理即可；
设，，，由，，及点在上，可得、是方程的两个根，由根与系数的关系可得为定值．
本题考查了动点的轨迹问题，以及定值问题，转化思想是解题的关键，属于中档题．19.【答案】解：，，解得，，故，，又因为，所以，即，解得，故由可得，，设向量与所成的角为，则 【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．
由向量的平行和垂直可求出，，的值，即可得向量坐标；
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．20.【答案】解：证明：如图，连接，交于点，连接，

底面是菱形，
点是的中点．
为的中点，
，
平面，平面，
平面．
如图，取线段的中点，连接，

底面是菱形，，
，
．
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则
，取，则，，
设直线与平面所成角为，
．
直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】本题考查线面平行的证明，线面角的正弦值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
连接，交于点，连接，推导出，由此能证明平面；
取线段的中点，连接，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．21.【答案】 解：在图中作于，
则，
在中，，
则，又为锐角，解得，
因为四边形为等腰梯形，则，
在中，，
则，

所以，则，
在图中，因为，，，、平面，
所以平面，
取中点，连接、，
因为为的中点，所以，
所以平面，又、平面，
所以，，
因为，是的中点，
所以，
则，，两两垂直，
以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，
线段的长为；
由得，，
，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即
取，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】本题考查空间向量模的坐标表示，直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，属于中档题．
推导出，从而证明平面，取中点，连接、，证明，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出线段的长；
由求出平面的法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成的角的正弦值．22.【答案】解：因为直线，即，
令，求得，，即直线过定点，且此定点在第一象限，
所以无论取何值，直线始终经过第一象限．
因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，
令，解得；令，得，
即，，
，
，，
则，当且仅当，也即时，取等号，
则，
从而的最小值为，
此时直线的方程为，即． 【解析】本题考查了直线方程的综合应用和利用基本不等式求最值．
将方程化简为，可得直线过定点，即可得证．
先求得，，再得，结合基本不等式可求得的值，进而可得答案．