河南省洛阳市偃师区实验中学2023-2024学年上学期第一次月考九年级数学试题

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参考答案与试题解析
一．选择题（共30分）
1．二次根式中，字母a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数1﹣a≥0，解不等式即可．
【解答】解：根据题意，得
1﹣a≥0，解得a≤1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A.，不是最简二次根式；
B.，是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，不是最简二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．无实数解
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，
解得k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
5．如果，那么x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：∵，
∴3﹣x≥0，
解得x≤3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010
【分析】由根与系数的关系，得到α+β＝﹣2，α•β＝﹣2024，由方程的根可得α2+2α＝2024，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，α2+2α＝2024，
∴原式＝α2+2α+α+β
＝2024+（﹣2）
＝2022．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
7．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）

A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD•AC
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
8．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．2或5 D．9或12
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，有三角形的三边关系，2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0
∴x1＝2，x2＝5．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是5，底边是2，
周长为：5+5+2＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．
9．已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；
B、两边同时乘以最简公分母mq得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；
C、两边同时乘以最简公分母qm得pq＝mn，与原式相等，正确，不符合题意；
D、两边同时乘以最简公分母qn得mq＝pn，与原式不相等，错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．
10．如图，锐角△ABC的边AB、AC上的高线BD、CE交于点O，连接ED，则图中相似的三角形有（　　）
A．5对 B．6对
C．7对 D．8对
【分析】由∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACE，可证△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6对相似三角形，由相似三角形的判定方法可证△ADE∽△ABC，△BOC∽△EOD，可得结论．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6对相似三角形，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∵，∠DOE＝∠BOC，
∴△BOC∽△EOD，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共15分）
11．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为　4　．
【分析】直接估算的取值范围，进而结合符号[m]表示一个实数m的整数部分，进而得出答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴[7﹣]＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确估算无理数的大小是解题关键．
12．若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n＝　﹣1　．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求出n，根据最简二次根式的概念判断，得到答案．
【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴n2﹣2n＝n+4，
解得，n1＝﹣1，n2＝4，
当n＝4时，＝，不是最简二次根式，
∴n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、最简二次根式的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
13．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为　6+　．
【分析】先利用直接开平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后把它们代入2a+b中计算即可．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
解得x1＝2+．x2＝2﹣，
∵方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，
∴a＝2+，b＝2﹣，
∴2a+b＝2（2+）+2﹣＝6+．
故答案为：6+．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
14．已知，点P、Q是线段AB的两个黄金分割点，若AB＝8，则PQ的长是　　．
【分析】先由黄金分割的比值求出，再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．
【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝8，
∴，
∴，
故答案为：．

【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．
15．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是　x2+2x﹣20＝0　．
【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，从而得出符合题意的方程．
【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故答案为：x2+2x﹣20＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
三．解答题（共75分）
16．计算下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用二次根式的性质计算，然后化简各二次根式后合并即可；
（2）先根据完全平方公式计算，然后把各二次根式化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3++3﹣
＝3+；
（2）原式＝3﹣4+4+2﹣+
＝7﹣2﹣+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
17．解方程：
（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）；
（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．
（3）x2﹣2x﹣99＝0；
（4）2x2+2x﹣1＝0．
【解答】解：（1）x2+8x﹣9＝0，
x2+8x＝9，
x2+8x+16＝9+16，即（x+4）2＝25，
∴x+4＝±5，
∴x1＝﹣9，x2＝1；
（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1．
（3）∵x2﹣2x﹣99＝0，
∴（x﹣11）（x+9）＝0，
则x﹣11＝0或x+9＝0，
解得x1＝11，x2＝﹣9；
（4）∵a＝2，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
则x＝＝，
∴，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．
（1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝　2　；
（2）若﹣1与m﹣是关于﹣2的因子二次根式，求m的值．
【分析】（1）根据新定义得到a×＝4，然后解方程即可；
（2）根据新定义得到（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得a×＝4，
解得a＝2，
故答案为：2；
（2）根据题意得（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，
所以m﹣＝﹣＝﹣（+1），
解得m＝﹣1，
即m的值为﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键．

19．已知a＝2+，b＝2﹣．
（1）填空：a+b＝　4　，ab＝　﹣2　；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：4；﹣2；
（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）
＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1
＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1
＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1
＝42﹣4×（﹣2）+4+1
＝16+8+4+1
＝29．
20．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

【分析】设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：＝时，△BPQ∽△BAC，即＝；当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，然后方程解方程即可．
【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；
当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
22．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；
（2）设涨价y元（0＜y≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x
根据题意得：50（1﹣x）2＝32
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）
答：每次下降20%
（2）设涨价y元（0＜y≤8）
6000＝（10+y）（500﹣20y）
解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去）
答：每千克应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到题目中的相等关系，列出方程是本题的关键．
23．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
特例解析：
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；
类比探究：
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°，求证：．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD，再根据同角的余角相等得到∠ADE＝∠DCF，从而可证明△ADE∽△DCF，利用相似三角形对应边成比例即可证明结论；
（2）如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明△ADE∽△DCM，利用相似三角形对应边成比例即可得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠FGD＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴，
又∵AB＝CD，
∴；
（2）证明：如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，
∴∠CMF＝∠CFM，
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠A＝∠CDM，∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°
∴∠EGF+∠A＝180°，
∴∠AED+∠AFG＝180°，
∵∠CFM+∠AFG＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴，
又∵AB＝CD，CM＝CF
∴．