中考数学高频考点反比例函数的实际应用

中考数学高频考点

                  反比例函数的实际应用

一、单选题

1．如图，点A、B在反比例函数y=   (x>0)的图象上，点C、D在反比例函数y=   (x>0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A、B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 ，则k的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

2．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

3．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= （x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y= （x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（　　）

A．8 B．10 C．3  D．4

4．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等；

②△AOB∽△FOE；

③△DCE≌△CDF；

④AC=BD．

其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④

5．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝−和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（　　）

A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50

二、填空题

7．如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线 （k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是　            　． 

8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，已知点A（0，2），AB=2AD，点C，D在反比例函数y= （k>0）的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若点E为AB的中点，则k的值为　     　

9．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上， = ，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数ｙ＝ 的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于 ，则k的值是　     　.

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t=　           　时，△CPQ与△CBA相似．

11．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B，C重合），过点F的反比例函数y= 的图象与边AC交于点E，直线EF分别于y轴和x轴交于点D和G．给出下列命题：

①若k= ，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；②若k=4，则△OEF的面积为 ；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG= ，则K=1．其中正确的命题的序号是　     　（写出所有正确命题的序号）

12．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y= 和y= 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：

① = ；

②阴影部分面积是 （k1+k2）；

③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；

④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

其中正确的结论是　     　（把所有正确的结论的序号都填上）．

三、综合题

13．如图，反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，﹣2 ），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．

（1）k的值为　     　．

（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是　             　．

14．如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．

（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？

（2）如图2，在（1）的条件下，函数 的图象与直线AB相交于C、D两点，若 ，求k的值．

（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．

15．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”．

（1）概念理解：

如图1，在四边形 中，添加一个条件，使得四边形 是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件　     　；

（2）概念延伸：

下列说法正确的是　     　．(填入相应的序号)

①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；

②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形；

③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；

④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形；

（3）问题探究：

如图 ，小红画了一个 ，其中 ， ， ，并将 沿 的平分线 方向平移得到 ，连结 ， ，要使平移后的四边形 是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段 的长)？

16．已知双曲线y= （x＞0），直线l1：y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+ ．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；

（2）若AB= ，求k的值；

（3）设N（0，2 ），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，问在第二象限内是否存在一点Q，使得四边形QMPN是周长最小的平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标．

17．已知点P在一次函数（k，b为常数，且）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数的图象上.

（1）k的值是　     　；

（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作轴于点E，记为四边形的面积，为的面积，若，求b的值.

18．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．

（1）四边形ABCD一定是　     　四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a= ，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．

答案解析部分

1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】

8．【答案】9．【答案】710．【答案】4.8或 11．【答案】①④12．【答案】①④

13．【答案】（1）2

（2）（2，﹣ ）

14．【答案】（1）解：∵A（m，0），B（0，n），

∴OA=m，OB=n．

∴S△AOB= ．

∵m+n=20，

∴n=20﹣m，

∴S△AOB= =- m2+10m=﹣ （m﹣10）2+50

∵a=﹣ ＜0，

∴抛物线的开口向下，

∴m=10时，S最大=50

（2）解：∵m=10，m+n=20，

∴n=10，

∴A（10，0），B（0，10），

设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得： ，

y=﹣x+10．

∵ ，

∴设S△OCD=8a．则S△OAC=a，

∴S△OBD=S△OAC=a，

∴S△AOB=10a，

∴10a=50，

∴a=5，

∴S△OAC=5，

∴ OA•y=5，

∴y=1．

1=﹣x+10，

x=9

∴C（9，1），

∴1= ，

∴k=9；

（3）解：移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），

O′A=10﹣t，O′E=10．

∵C′D′∥CD，

∴△O′C′D′∽△O′CD，

∴ ，

∴

S=40• ，

∴ （0＜t＜10）．

15．【答案】（1）AB=AD

（2）①④

（3）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， 

∴AC= ，

∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ，

（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′= ；

（III）当A′C′=BC′= 时，

如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′= ∠ABC=45°，

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°

∴B′D=BD，

设B′D=BD=x，

则C′D=x+1，BB′= x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2

∴x2+（x+1）2=( )2，

解得： (不合题意，舍去)，

∴BB′= x ；

（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，

同理可得：BD2+C′D2=BC′2，

设B′D=BD=x，

则x2+（x+1）2=22，

解得： ．（不合题意，均舍去），

∴BB′= x ．

综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“邻好四边形”应平移2或 或1或 ．

16．【答案】（1）解：当k=﹣1时，l1：y=﹣x+2 ，

联立得， ，化简得x2﹣2 x+1=0，

解得：x1= ﹣1，x2= +1，

设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2 ）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC= •2 •（x2﹣x1）=2

（2）解：根据题意得：   整理得：kx2+ （1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[ （1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的两根，

∴①，

∴AB= = ，

= ，

= ，

将①代入得，AB= = （k＜0），

∴ = ，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=﹣2，或 k=﹣

（3）解：∵y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）过定点F，

∴x= ，y= ，

∴F（ ， ），

设P（x， ），则M（﹣ + ， ），

则PM=x+ ﹣ = = ，

∵PF= = ，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2 ，

由（1）知P（ ﹣1， +1），

∴当P（ ﹣1， +1）时，PM+PN最小，此时四边形QMPN是周长最小的平行四边形，

∴Q（﹣ ，2 ）

17．【答案】（1）-2

（2）解：

根据题意得：，

.

设点C的坐标为，则，，

，

解得：，或（舍去）.

故答案为：.

18．【答案】（1）平行

（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，

∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）

将x= 代入y=k1x得y= ，

故A点的坐标为（ ， ）同理则B点坐标为（ ， ），

又∵OA=OB，

∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，

整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，

∵k1≠k2，

所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；

（3）解：∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，

∴y1= ，y2= ，

∴a= = = ，

∴a﹣b= ﹣ = = ，

∵x2＞x1＞0，

∴ ＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，

∴ ＞0，

∴a﹣b＞0，

∴a＞b．