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广东省深圳市福田区华富中学2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷
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这是一份广东省深圳市福田区华富中学2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
福田区华富中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣3）2＝14 D．（x﹣3）2＝9
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．4
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则∠COE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
7．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有（ ）个
A．25 B．20 C．15 D．10
8．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝400
B．100（1+x）（1+2x）＝400
C．100（1+x）（2+x）＝400
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝400
10．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．方程x（x+2）＝（x+2）的根为 ．
12．若x＝2是方程x2+3x﹣2m＝0的一个根，则m的值为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
14．若一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，则m的取值范围 ．
15．已知α、β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2α2+3α+β的值是 ．
三．解答题（共55分）
16．（12分）用指定方法解下列一元二次方程
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0；
（3）x2+x﹣1＝0； （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0．
17．（7分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是C粽的概率．
18．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
19．（6分）已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
20．（7分）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
21．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ ，CD＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．
22．（8分）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系： ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②求出四边形BCGE的面积．
华富中学10月月考参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣3）2＝14 D．（x﹣3）2＝9
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝4，
（x﹣3）2＝4．
故选：B．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DO＝BO，
∵点E是CD的中点，OE＝3，
∴BC＝2OE＝6，
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，符合题意；
D、对角线平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），
∴OB＝1，AO＝2，
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝，AD∥BC，
∴点D坐标为（，2），
故选A．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝8，
∴AC＝BD＝8，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝4，
∴AD＝＝4，
故选：D．
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则∠COE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC＝70°，
∴∠BOC＝90°，∠COB＝∠ABC＝35°，
∴∠OCB＝90°﹣35°＝55°，
∵E为BC的中点，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝55°．
故选：C．
7．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有（ ）个
A．25 B．20 C．15 D．10
【解答】解：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴＝0.2，
解得：x＝20，
即袋中的白球大约有20个；
故选：B．
8．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
红
蓝
红
（红，红）
（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
由表格知共有6种等可能出现的结果数，其中能配成紫色的结果数有3种，
则P（配成紫色）＝＝，
故选：C．
9．某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝400
B．100（1+x）（1+2x）＝400
C．100（1+x）（2+x）＝400
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝400
【解答】解：设平均每月增长率为x，
100[（1+x）+（1+x）2]＝400．
即：100（1+x）（2+x）＝400，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正确；
由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，
即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，
解得：x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，故③正确；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正确；
∵S△GCE＝GC•CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，故⑤正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．方程x（x+2）＝（x+2）的根为 x1＝1，x2＝﹣2 ．
【解答】解：x（x+2）﹣（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
x＝﹣2或1．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
12．若x＝2是方程x2+3x﹣2m＝0的一个根，则m的值为 5 ．
【解答】解：把x＝2代入，得
22+3×2﹣2m＝0，
解得：m＝5．
故答案为：5．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
14．若一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，则m的取值范围 m＜且m≠0 ．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×m×5＝16﹣20m＞0，
解得：m＜，
∵m≠0，
∴m的取值范围为：m＜ 且m≠0．
故答案为：m＜ 且m≠0．
15．已知α、β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2α2+3α+β的值是 3 ．
【解答】解：∵α、β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，α2+α﹣2＝0，
∴α2+α＝2，
∴2α2+3α+β
＝2（α2+α）+α+β
＝2×2﹣1
＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共7小题）
16．用指定方法解下列一元二次方程
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0；
（3）x2+x﹣1＝0；
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0．
【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，
移项，得 3（2x﹣1）2＝12，
两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，
两边开平方，得2x﹣1＝±2，
移项，得2x＝1±2，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，
移项，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
解得：x﹣1＝±，
即x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2+x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，
方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
17．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是C粽的概率．
【解答】解：（1）60÷10%＝600（人）
答：本次参加抽样调查的居民由600人；
（2）600﹣180﹣60﹣240＝120，120÷600×100%＝20%，100%﹣10%﹣40%﹣20%＝30%
补全统计图如图所示：
（3）8000×40%＝3200（人）
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图：
共有12种等可能情形，第二个恰好吃到的是C粽有3种情形，
P（C粽）＝．
18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
19．已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；
（2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下：
当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，
解得，x1＝x2＝2，
又∵（2）2+（2）2＝（2）2，
∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．
20．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为＝12，
故答案为：12．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ 3tcm ，CD＝ （8﹣4t）cm ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，
∴CE＝3tcm，
∵动点D从点A出发向点C移动，
∴CD＝（8﹣4t）cm，
故答案为：3tcm，（8﹣4t）cm．
（2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，
根据题意得×3t（8﹣4t）＝××8×6，
整理得t2﹣2t+1＝0，
解得t1＝t2＝1，
答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的．
（3）不可以，理由如下：
如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（8﹣4t）2＝42，
整理得25t2﹣64t+48＝0，
∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0，
∴该方程没有实数根，
∴DE的长不可以是4cm．
22．小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 菱形、正方形
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系： AC•BD ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②求出四边形BCGE的面积．
【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）解：如图1所示：
∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝AC•BO+AC•DO＝AC（BO+DO）＝AC•BD；
故答案为：AC•BD；
（3）①证明：连接CG、BE，如图2所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠F＝∠CAG＝∠BAE＝90°，FG＝AG＝AC＝CF，AB＝AE，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
∴∠BNM＝90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE为垂美四边形；
②解：∵FG＝CF＝AC＝4，∠ACB＝90°，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∴BF＝BC+CF＝7，
在Rt△BFG中，BG＝＝＝，
∴CE＝BG＝，
∵四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积＝BG•CE＝．
福田区华富中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣3）2＝14 D．（x﹣3）2＝9
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．4
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则∠COE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
7．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有（ ）个
A．25 B．20 C．15 D．10
8．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝400
B．100（1+x）（1+2x）＝400
C．100（1+x）（2+x）＝400
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝400
10．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．方程x（x+2）＝（x+2）的根为 ．
12．若x＝2是方程x2+3x﹣2m＝0的一个根，则m的值为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
14．若一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，则m的取值范围 ．
15．已知α、β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2α2+3α+β的值是 ．
三．解答题（共55分）
16．（12分）用指定方法解下列一元二次方程
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0；
（3）x2+x﹣1＝0； （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0．
17．（7分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是C粽的概率．
18．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
19．（6分）已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
20．（7分）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
21．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ ，CD＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．
22．（8分）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系： ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②求出四边形BCGE的面积．
华富中学10月月考参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣3）2＝14 D．（x﹣3）2＝9
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝4，
（x﹣3）2＝4．
故选：B．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DO＝BO，
∵点E是CD的中点，OE＝3，
∴BC＝2OE＝6，
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，符合题意；
D、对角线平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），
∴OB＝1，AO＝2，
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝，AD∥BC，
∴点D坐标为（，2），
故选A．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝8，
∴AC＝BD＝8，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝4，
∴AD＝＝4，
故选：D．
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则∠COE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC＝70°，
∴∠BOC＝90°，∠COB＝∠ABC＝35°，
∴∠OCB＝90°﹣35°＝55°，
∵E为BC的中点，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝55°．
故选：C．
7．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有（ ）个
A．25 B．20 C．15 D．10
【解答】解：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴＝0.2，
解得：x＝20，
即袋中的白球大约有20个；
故选：B．
8．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
红
蓝
红
（红，红）
（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
由表格知共有6种等可能出现的结果数，其中能配成紫色的结果数有3种，
则P（配成紫色）＝＝，
故选：C．
9．某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝400
B．100（1+x）（1+2x）＝400
C．100（1+x）（2+x）＝400
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝400
【解答】解：设平均每月增长率为x，
100[（1+x）+（1+x）2]＝400．
即：100（1+x）（2+x）＝400，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正确；
由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，
即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，
解得：x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，故③正确；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正确；
∵S△GCE＝GC•CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，故⑤正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．方程x（x+2）＝（x+2）的根为 x1＝1，x2＝﹣2 ．
【解答】解：x（x+2）﹣（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
x＝﹣2或1．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
12．若x＝2是方程x2+3x﹣2m＝0的一个根，则m的值为 5 ．
【解答】解：把x＝2代入，得
22+3×2﹣2m＝0，
解得：m＝5．
故答案为：5．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
14．若一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，则m的取值范围 m＜且m≠0 ．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×m×5＝16﹣20m＞0，
解得：m＜，
∵m≠0，
∴m的取值范围为：m＜ 且m≠0．
故答案为：m＜ 且m≠0．
15．已知α、β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2α2+3α+β的值是 3 ．
【解答】解：∵α、β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，α2+α﹣2＝0，
∴α2+α＝2，
∴2α2+3α+β
＝2（α2+α）+α+β
＝2×2﹣1
＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共7小题）
16．用指定方法解下列一元二次方程
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0；
（3）x2+x﹣1＝0；
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0．
【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，
移项，得 3（2x﹣1）2＝12，
两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，
两边开平方，得2x﹣1＝±2，
移项，得2x＝1±2，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，
移项，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
解得：x﹣1＝±，
即x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2+x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，
方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
17．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是C粽的概率．
【解答】解：（1）60÷10%＝600（人）
答：本次参加抽样调查的居民由600人；
（2）600﹣180﹣60﹣240＝120，120÷600×100%＝20%，100%﹣10%﹣40%﹣20%＝30%
补全统计图如图所示：
（3）8000×40%＝3200（人）
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图：
共有12种等可能情形，第二个恰好吃到的是C粽有3种情形，
P（C粽）＝．
18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
19．已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；
（2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下：
当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，
解得，x1＝x2＝2，
又∵（2）2+（2）2＝（2）2，
∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．
20．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为＝12，
故答案为：12．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ 3tcm ，CD＝ （8﹣4t）cm ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，
∴CE＝3tcm，
∵动点D从点A出发向点C移动，
∴CD＝（8﹣4t）cm，
故答案为：3tcm，（8﹣4t）cm．
（2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，
根据题意得×3t（8﹣4t）＝××8×6，
整理得t2﹣2t+1＝0，
解得t1＝t2＝1，
答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的．
（3）不可以，理由如下：
如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（8﹣4t）2＝42，
整理得25t2﹣64t+48＝0，
∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0，
∴该方程没有实数根，
∴DE的长不可以是4cm．
22．小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 菱形、正方形
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系： AC•BD ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②求出四边形BCGE的面积．
【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）解：如图1所示：
∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝AC•BO+AC•DO＝AC（BO+DO）＝AC•BD；
故答案为：AC•BD；
（3）①证明：连接CG、BE，如图2所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠F＝∠CAG＝∠BAE＝90°，FG＝AG＝AC＝CF，AB＝AE，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
∴∠BNM＝90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE为垂美四边形；
②解：∵FG＝CF＝AC＝4，∠ACB＝90°，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∴BF＝BC+CF＝7，
在Rt△BFG中，BG＝＝＝，
∴CE＝BG＝，
∵四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积＝BG•CE＝．
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