广东省深圳市宝安区文汇学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区文汇学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了一元二次方程x2﹣9＝0的解是，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

宝安区文汇学校2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝81
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE＝3，则DF的长是（　　）

A． B．4 C． D．7
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
4．过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝380
C．2x（x﹣1）＝380 D．x（x+1）＝380
5．若四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结该四边形中点所得的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对
6．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．cm2 D．2cm2
7．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB
8．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（　　）

A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
9．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（　　）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤

二．填空题（每题3分，共15分）
11．若，则的值为　 　．
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为　 　．
13．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 　 　．
14．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有黄羊　 　只．
15．如图，△ABC的面积为40cm2，DE＝2AE，CD＝3BD，则四边形BDEF的面积等于 　cm2．

三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程．
（1）2x2+3x﹣1＝0； （2）3x+6＝（x+2）2．




17．（8分）某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是 　 　；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．





18．（6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值．





19．（8分）如图，在▱ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE交AB于点F，若DC＝6，DC：DE＝3：4，求AD的长．






20．（8分）据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？







21．（10分）阅读与思考：
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．

解决问题：
（1）写出正确的比例式及后续解答．
（2）指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．





22．（9分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片ABCD的边AD上一动点，将正方形沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P．
判断：根据以上操作，图1中AP与EF的数量关系：　 　；
（2）迁移探究
在（1）条件下，若点E是AD的中点，如图2，延长CF交AB于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段BQ的长度；如果不确定，说明理由；
（3）拓展应用
在（1）条件下，如图3，CE，DF交于点G，取CG的中点H，连接BH，则BH的最小值是 　 　．

参考答案与试题解析
一．选择题
1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝81
【解答】解：x2＝9，
x＝±3，
所以x1＝3，x2＝﹣3．
故选：C．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE＝3，则DF的长是（　　）

A． B．4 C． D．7
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝．
∵＝，AC＝AB+BC，
∴＝＝，
∴EF＝DE＝4，
∴DF＝DE+EF＝7．
故选：D．
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【解答】解：A、对角线互相平分平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
4．过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝380
C．2x（x﹣1）＝380 D．x（x+1）＝380
【解答】解：设全班有x名同学，由题意得：
x（x﹣1）＝380，
故选：B．
5．若四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结该四边形中点所得的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对
【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是矩形．
故选：A．
6．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．cm2 D．2cm2
【解答】解：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长2，
则菱形的面积＝2×2÷2＝2cm2
故选：D．
7．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB
【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
8．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（　　）

A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，
∵小玲与大树都与地面垂直，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝，
即＝，
解得BD＝8．
故选：A．

9．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作CH⊥BD于点H，连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OC＝OB，
∵∠BCD＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12，
∴BD＝＝＝13，
∴OC＝OB＝×13＝，
∵BD•CH＝BC•CD＝S△BCD，
∴×13CH＝×12×5，
解得CH＝，
∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，S△COE+S△BOE＝S△BOC，
∴OC•EF+OB•EG＝OB•CH，
∴×EF+×EG＝××，
∴EF+EG＝，
故选：C．

10．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（　　）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；

∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；

∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴＝＝＝2，
∴AM＝2EM，MD＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；

设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，
即＝，
解得AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，故⑤正确；

如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK＝a﹣a＝a，MK＝a﹣a＝a，
在Rt△MKO中，MO＝＝a，
根据正方形的性质，BO＝2a×＝a，
∵BM2+MO2＝（ a）2+（a）2＝2a2，
BO2＝（ a）2＝2a2，
∴BM2+MO2＝BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：C．

二．填空题
11．若，则的值为　　．
【解答】解：由合比性质，得
＝＝．
故答案为：．
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为　﹣1　．
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，
解得：a＝±1，
∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
即a≠1，
∴a的值是﹣1．
故答案为：﹣1．
13．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 　13　．
【解答】解：∵x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝1+9，
∴（x﹣3）2＝10，
∴m＝3，n＝10，
∴m+n＝3+10＝13，
故答案为：13．
14．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有黄羊　600　只．
【解答】解：20 ＝600（只）．
故答案为600．
15．如图，△ABC的面积为40cm2，DE＝2AE，CD＝3BD，则四边形BDEF的面积等于 　cm2．

【解答】解：连接DF，
∵DE＝2AE，
∴S△FDE＝2S△FAE，S△CDE＝2S△CAE，
∵CD＝3BD，
∴S△CDF＝3S△BDF，S△ACD＝3S△ABD，
∵△ABC的面积等于40cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝30cm2，S△ABD＝S△ABC＝10cm2，
∴S△CDE＝S△ACD＝20cm2，S△CAE＝S△ACD＝10cm2，
设S△FAE＝x，S△FBD＝y，
则S△FDE＝2S△FAE＝2x，
∴，解得，
∴四边形BDEF的面积为S△ABD﹣S△FAE＝10﹣＝（cm2）．


三．解答题
16．解方程．
（1）2x2+3x﹣1＝0；（2）3x+6＝（x+2）2．
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∵△＝b2﹣4ac＝9+8＝17＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：3（x+2）﹣（x+2）2＝0，
分解因式得：（x+2）[3﹣（x+2）]＝0，
所以x+2＝0或3﹣（x+2）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1．
17．某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是 　　；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【解答】解：（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是，
故答案为： ；
（2）由题意得：



A


B


C


D


A



（A，B）


（A，C）


（A，D）


B


（B，A）



（B，C）


（B，D）

C


（C，A）


（C，B）



（C，D）


D


（D，A）


（D，B）


（D，C）

∵总共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率＝．
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为．
18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3．
∵x1+x2＝6，
∴2m＝6，
解得：m＝3．
19．如图，在▱ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE交AB于点F，若DC＝6，DC：DE＝3：4，求AD的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BD＝AD，BE＝BD，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：如图所示，

∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，
∴∠EFB＝90°，
∵四边形ABCD是平行是四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，
∴∠EDC＝∠EFB＝90°，
∵DC＝6，DC：DE＝3：4，
∴DE＝＝8，
∴CE＝＝10，
∵BE＝AD，AD＝BC，
∴AD＝BE＝BC＝．
20．据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2＝7200，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）设售价应降低m元，
则每天的销量为（500+m）个．
根据题意可得（10﹣m﹣5）（500+m）＝2800，
解得m1＝，m2＝1（舍去）．
答：售价应降低元．
21．阅读与思考：
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．

解决问题：
（1）写出正确的比例式及后续解答．
（2）指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．


【解答】解（1）正确比例式是：＝，
∴DE＝＝＝＝；
（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，

又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴DE＝＝＝，
综合以上可得：DE为或；
（3）分两种情况：
①当△ADC∽△MAN时，＝，
即＝，
解得：t＝；
②当△ADC∽△NAM时，＝，
即＝，
解得：t＝；
当t＝或t＝时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
22．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片ABCD的边AD上一动点，将正方形沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P．
判断：根据以上操作，图1中AP与EF的数量关系：　AP＝EF　；
（2）迁移探究
在（1）条件下，若点E是AD的中点，如图2，延长CF交AB于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段BQ的长度；如果不确定，说明理由；
（3）拓展应用
在（1）条件下，如图3，CE，DF交于点G，取CG的中点H，连接BH，则BH的最小值是 　2﹣3　．
【解答】解：（1）如图1，

设CE，DF交于点G，
由轴对称性质可得：CE⊥DF，DE＝EF，
∴∠CGD＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠A＝90°，CD＝AD，
∴∠ADP+∠CDG＝90°，
∴∠ADP＝∠DCG，
∴△ADP≌△DCE（ASA），
∴DE＝AP，
∴AP＝EF，
故答案为：AP＝EF；
（2）如图2，

点Q的位置确定，BQ＝9，理由如下：
连接EQ，
由折叠可知：EF＝DE，CF＝CD＝12，∠EFQ＝∠EFC＝∠ADC＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴AE＝EF，
∵∠A＝∠EFQ＝90°，QE＝QE，
∴△AEQ≌△FEQ（HL），
∴AQ＝FQ，
设BQ＝x，则FQ＝AQ＝12﹣x，
在Rt△BCQ中，CQ＝CF+FQ＝12+（12﹣x）＝24﹣x，BQ＝x，BC＝12，
∴（24﹣x）2﹣x2＝122，
∴x＝9，
∴BQ＝9；
（3）如图3，

取CD的中点O，再取OC的中点I，连接OG，HI，BI，
∵∠CGD＝90°，
∴OG＝CD＝6，
∵点H是CG的中点，
∴HI＝OG＝3，
∵∠BCD＝90°，BC＝AB＝12，CI＝OC＝3，
∴BI＝＝3，
∵BH≥BI﹣HI＝3﹣3，
∴当B、H、I共线时，BH的最小值为：3﹣3，
故答案为：3．