2024锦州渤海大学附属高级中学高三上学期第二次考试数学图片版含解析

 2024高三第二次考试数学试题参考答案

一、单选题

1．【详解】对于集合，；对于集合，，所以.故选：A

2．【详解】,

则 ，即z的共轭复数在复平面内所对应的点位于第三象限，故选：C

3．【详解】四张电影票编号为1，2，3，4，任取2张的基本事件有：12，13，14，23，24，34，共6种，其中相邻的是12，23，34共3种，所求概率为．故选：A.

4．【详解】由，

得，故是以为周期的函数，

则，又当时，，则，

所以.故选：C.

5．【详解】，，，成等比数列，故，，，，成等差数列，故，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值是4.故选：D

6．【详解】若“，使得”为假命题，可得当时，恒成立只需又函数在上单调递增，所以.故选：B

7．【详解】由题设，，即在R上为奇函数；在上，故在上递增，易知：在R上递增，

又，则，即上；

令，则，故上，递增；上，递减，而，，此时；综上，的最小值为.故选：A

8．【详解】，而，

令，则，，

∴时，递减；而，，

∴上，即递减，则在上，

∴由，则，即.综上，.故选：D

二、多选题

9．【详解】对A：由可得，

所以或，所以A错误.对B：由可得，所以，

所以是的充分不必要条件，所以B正确.

对C：由，当且仅当时取等号，

但是，所以，所以C错误.

对D：若当时，不等式恒成立，①当时，不等式为恒成立，满足题意；②当时，只要，解得；

所以不等式的解集为，则实数的取值范围为，D错.选：ACD

10．【详解】A. ，故错误；

B. ，故正确；

C. ，故正确；

D. 因为，所以 ，所以，故错误.选：BC

11．【详解】为奇函数，，且，函数关于点，偶函数，，函数关于直线对称，

，即，，

令，则，，，故的一个周期为4，故A正确；则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；当时，，，，

又，，解得，，，

当时，，故C不正确；

，故D正确.故选：AD.

12【详解】，

∴上，即上递减，则，∴A错误，B正确；

令，则在上，即递减，

∴时，有，C正确；

，则等价于，等价于，

令，则，，

∴当时，，则递增，故；

当时，，则递减，故；

当时，存在使，∴此时，上，则递增，；上，则递减，∴要使在上恒成立，则，得.综上，时，上恒成立，时上恒成立，∴若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1，正确.故选：BCD

三、填空题

13．【详解】在处的切线与直线垂直，，

又，，解得：.答案为：.

14.【详解】因为是函数的两个零点，

可得，由，可得，即，解得或，

因为，所以，

即，所以

15.【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为，则由题意得

，即，所以，，

，所以，

因为，，所以，所以，

因为，所以的最小值为8，

16.【详解】∵，①

∴，又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，

∴，②由①②得，，

不等式为，（*），

设，这是一个增函数，当时，，

（*）变为，，

若存在，使不等式成立，则为：存在，使成立，由于，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是．∴．

四、解答题

17．（满分10分）

【详解】（1）解：（1）设等差数列的公差为，由已知得

                                            ------2分

解得，                                                    ------4分

所以数列的通项公式为；                                 ------5分

（2）解：由（1）得，               ------6分

所以

                                             ------8分

                                                ------10分

18．（满分12分）

【详解】（1）由，

因为，                                     ------2分

所以，                           ------4分

 ------6分

（2）∵，，∴，                        ------7分

 ∴，                                         ------9分

，                                       ------11分

∴．                    ------12分

19．（满分12分）

【详解】（1）根据题中信息可得如下列联表：

，                              ------4分

注意：填表1分，计算结果准确值2分，保留小数点后三位的结果1分，共4分

因此，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”； -----5分

（2）根棉花纤维中“短纤维”共根，其中，地的“短纤维”共根，

所以，随机变量的可能取值有、、，

，                                                ------6分

，                                               ------7分

，                                                ------8分

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，；                              ------10分

（3）从地棉花（大量的棉花）中任意抽取根是“长纤维”的频率是，所以，，故.                                ------12分

20．（满分12分）

【详解】（1）解：已知①，

则，                                               ------1分

且②，

，得，整理得，                  ------2分

∴，，，，

由累乘法可得，                           ------4分

又，，符合上式，                                         ------5分

所以数列的通项公式为.                                  ------6分

（2）由（1）可知，，

因为，所以，                         ------7分

则数列是首项为1，公比为的等比数列，                       ------8分

∴，                                             ------10分

，即，得证.                                    ------12分

21．（满分12分）

【详解】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量

由已知结论可知，                                    ------2分

由附①数据知，

                                      ------4分

（ii），由附②知，事件“”为小概率事件，

由题25个面包质量的平均值，

小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报 ------6分

（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2

设“所取两个面包来自第箱”，所以               ------7分

设“所取两个面包有个黑色面包”，由全概率公式

，        ------8分

，    ------9分

，      ------10分

所以黑色面包个数的分布列为

所以                           ------12分

22．（满分12分）

【详解】（1）设，

则，                                     ------1分

故在上单调递减．

因为（1），                                                   ------2分

所以当时，；当时，；当时，．

即当时，；                                         ------3分

当时，；                                             ------4分

当时，．                                             ------5分

（2）①因为，所以，

令，得；令，得，

则在上单调递减，在上单调递增，                       ------6分

故．

因为有两个零点，所以，即．

因为，，                             ------7分

所以当有两个零点时，的取值范围为．                     ------8分

②证明：因为，是的两个零点，

不妨设，则．

因为，，                                 ------9分

所以，，

即，，                                    ------10分

则，即，

即．                                         

因为，所以，则，即．          ------12分

参考答案，仅供参考

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