2024昆明一中高三第二次双基检测试题数学含解析

这是一份2024昆明一中高三第二次双基检测试题数学含解析，共25页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， “”是“数列为等差数列”的， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
昆明市第一中学2024届高中新课标高三第二次双基检测
数学试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数是的根，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
3. 已知平面向量，，向量与的夹角为，则（ ）
A. 2或 B. 3或 C. 2或0 D. 3或
4. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. “”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8. 函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知个数据的第百分位数是，则下列说法错误的是（ ）
A. 这个数据中一定有个数小于
B. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据
C. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
D. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
10. 下列命题正确的是（ ）
A.
B 若，则
C. 若正数，满足，则
D. 是的必要不充分条件，其中均为正数
11. 已知在正三棱台中，，则下列叙述正确的是（ ）
A. 该三棱台的高为2
B.
C. 该三棱台的侧面积为
D. 该三棱台外接球的半径长为
12. 已知函数满足：，且在上的导数，则不等式的整数解可以为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
三､填空题：本题共4小题，小题5分，共20分.
13. 从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中恰有两个面平行的不同选法共有__________种（用数字作答）.
14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆､则该圆锥的体积为__________.
15. 若函数，且，则__________.
16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查､来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约､以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表.
人数万







频数（天）
8
8
16
24

48
32

（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出的值和这组数据的分位数；

（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，（单位：个）为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人，则取8000.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记为该店每日的利润（单位：元），求和的函数关系式；
（3）以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
18. 在中.内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，求的面积的最大值.
19. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
20. 如图，在三棱锥中，平面分别为棱的中点.

（1）证明：；
（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
21. 已知函数
（1）判断的单调性；
（2）若函数存在极值，求这些极值和的取值范围.
22. 已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.
（1）证明：；
（2）设，当时，求的面积的最小值.昆明市第一中学2024届高中新课标高三第二次双基检测
数学试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合和，从而可求出
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，
故选：D.
2. 若复数是的根，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先用求根公式得出 ，再根据定义求出z的模即可.
【详解】解：由复数求根公式，有，所以.
故选：B.
3. 已知平面向量，，向量与夹角为，则（ ）
A. 2或 B. 3或 C. 2或0 D. 3或
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的模的坐标公式求，，根据数量积的坐标公式求，结合夹角公式列方程求
【详解】因为，，
所以，，
所以，
，
又向量与的夹角为，
所以，
所以，
所以或，
故选：A.
4. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，所以.
故选：A.
5. 已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得以为直径的圆与椭圆相交，所以，即可求出答案.
【详解】解：由已知，以为直径的圆与椭圆相交，所以，
所以，
故选：D.
6. 已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出四边形的面积最小时点的位置，再由两圆公共弦所在直线方程的求法即可求解.
【详解】由题意可得，，，
所以四边形的面积
，
所以当最小时，四边形面积最小，此时直线与直线垂直，
的斜率为，则直线的斜率为1，所以此时直线的方程为，
由得，即得点的坐标为，
则，，
以为圆心，为半径的圆方程为，
即，与方程两式相减，并化简得，
即直线的方程为.
故选：A.

7. “”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列和充分性、必要性的概念求解即可.
【详解】若“”，则数列不一定是等差数列，如，
若“数列为等差数列”，则由等差中项可知，
所以“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件，
故选：B
8. 函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将原问题转化为函数在区间上恰有三个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，
由正弦函数的性质可知，，
所以，
故选：C.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知个数据的第百分位数是，则下列说法错误的是（ ）
A. 这个数据中一定有个数小于
B. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据
C. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
D. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据百分位数的概念可知.
【详解】因为为整数，
所以根据百分位数的定义，可知将这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数，
所以这个数据中一定有个数小于或等于，
故A，B，D错误，C正确，
故选：ABD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若正数，满足，则
D. 是的必要不充分条件，其中均为正数
【答案】AB
【解析】
【分析】由基本不等式结合函数的奇偶性可判断A；由不等式的性质可判断B；由基本不等式和对数的运算性质可判断C；由基本不等式结合充分必要条件的定义可判断D.
【详解】解：对于A，当时，，当且仅当时取等号，
由于为奇函数，所以当时，，所以，A正确：
对于B，若，所以，所以，所以，B正确：
对于C，因为且，所以，所以错误；
对于D，因为时，有，所以；反之，当时，满足，但是错误.
故选：.
11. 已知在正三棱台中，，则下列叙述正确的是（ ）
A. 该三棱台的高为2
B.
C. 该三棱台的侧面积为
D. 该三棱台外接球的半径长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据三棱台的图形特点，利用直角三角行中勾股定理求解即可；对于B，根据线面垂直的相关知识，结合图形特点进而证明即可；对于C，根据梯形面积计算方法直接计算即可；对于D，根据图形特点找到外接球的球心，进而得到半径即可判断.
【详解】解：如图所示，延长正三棱台的三条侧棱相交于点，设的中心分别是和，连接

对于A，在中，根据正弦定理得，
得外接圆半径，即，同理，
在平面中，过点作交与点，
显然，四边形为矩形，则，
所以，
在直角中，，
所以，即该三棱台的高为2，故A正确；
对于B，由正三棱锥的性质可知，平面，
因为平面，所以，
因为是等边的中心，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，故正确：
对于C，如图所示，在梯形中，过点作交于点，

过点作交于点，
根据梯形性质易知，四边形是矩形，则，则
，
在直角中，，
所以梯形的面积为，
所以该三棱台的侧面积为，故C错误；
对于D，因为，则，
则点是三棱台外接球的球心，则该三棱台外接球的半径长为，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数满足：，且在上的导数，则不等式的整数解可以为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】CD
【解析】
【分析】通过，结合，构造函数，从而得到函数的单调性。问题可以转化为，通过，可得，从而解出关于的不等式，并找到区间中的整数解。
详解】由，得，令，
由不等式得，所以取，
则函数在上是减函数，且，
所以当时，，
由，即，得，所以，
因为题目求不等式的整数解，所以整数解为1和2.
故选：
三､填空题：本题共4小题，小题5分，共20分.
13. 从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中恰有两个面平行的不同选法共有__________种（用数字作答）.
【答案】12
【解析】
【分析】使用间接法，先算出从六个面中任意选取三个面的数目，然后算三个面彼此相邻的数目，由此即可求解.
【详解】从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有种，
若其中有三个面彼此相邻，则当且仅当这三个面都交于这颗骰子的同一个顶点，
而骰子一共有8个顶点，所以其中有三个面彼此相邻的有8种，
所以由间接法可知恰有两个面平行的不同选法共有种.
故答案为：12.
14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆､则该圆锥的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的高为，底面圆的半径为，则，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，求出 ，最后根据圆锥的体积公式即可得出答案.
【详解】解：设圆锥高为，底面圆的半径为，则，由题意可知半圆的弧长为，所以，，
所以，所以圆锥体积.
故答案为： .
15. 若函数，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由，可知 是 的一条对称轴，再根据正弦函数的图象的对称性，得出a的值即可.
【详解】解：由，可知 是 的一条对称轴，
因为
所以 ， ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线定义可以首先求出，然后由可以求出，最终由直角三角形内切圆半径公式即可求解.
【详解】如图所示：

设内切圆半径为，切点分别为，
由题意，则，所以，
由双曲线定义有；
又因为，即，所以，
因此，
从而直角三角形的内切圆半径是，
所以的内切圆周长为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：熟练双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式，并合理转换已知条件是解题的关键.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查､来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约､以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表.
人数万







频数（天）
8
8
16
24

48
32

（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出的值和这组数据的分位数；

（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，（单位：个）为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人，则取8000.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记为该店每日的利润（单位：元），求和的函数关系式；
（3）以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
【答案】（1），分位数为，频率分布直方图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据总天数为即可求出，再根据百分位数的的定义求出分位数即可，画出频率分布直方图即可；
（2）根据题意分和两种情况计算即可；
（3）利用古典概型求解即可.
【小问1详解】
由题意，，解得，
因为，，
所以分位数在区间上，
则分位数为；
画出频率分布直方图如图所示：
【小问2详解】
由题意知，当时，元，
当时，，
所以；
【小问3详解】
设销售的利润不少于7000元的事件记为，实际上得到人数，
此时.
18. 在中.内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；
（2）利用三角形面积公式、余弦定理，结合辅助角公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得：，
即，即
即：，
由正弦定理得：；
【小问2详解】
设，则，
由余弦定理得：，所以

令，则
，其中
则，整理得，即
所以，的面积的最大值为.
19. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）运用累乘法求出的通项公式；
（2）先运用裂项法求出的解析式，再运用缩放法证明.
【小问1详解】
由已知，
所以，
当时，满足条件，所以；
【小问2详解】
由于，
所以，
所以，
所以，显然在上为增函数，，又，
所以；
综上，.
20. 如图，在三棱锥中，平面分别为棱的中点.

（1）证明：；
（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间角的向量求法结合二面角的余弦值，求出PA的长，根据棱锥体积公式即可求得答案.
【小问1详解】
因为，点是的中点，所以.
因为平面平面，所以.
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
取中点，连接，则.
因为平面，所以平面.
故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

设，得，
所以.
设平面的法向量，则，
得，令，得.
设平面的法向量，
则由，得，令，得.
依题意，，
因为，所以解得，所以，
所以三棱锥的体积.
21. 已知函数
（1）判断的单调性；
（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，，对（），用判别式进行分类讨论，以确定的零点与符号，从而确定的单调区间；
（2）题意说明在上有解，且在解的两侧符号相反.
【详解】（1）因为，所以，令．
，即时，恒成立，此时，
所以函数在上为减函数；，即或时，有不相等的两根，
设为（），则，．
当或时，，
此时，所以函数在和上为减函数；
当时，，此时，所以函数在上为增函数．
（2）对函数求导得. 因为存在极值，
所以在上有解，即方程在上有解，
即.显然当时，无极值，不合题意，
所以方程必有两个不等正根.
设方程的两个不等正根分别为，则，
由题意知
，
由得，
即这些极值和的取值范围为．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值．掌握用导数研究函数的方法是解题基础.，特别要注意不是为极值点的充分条件（即使在可导情况下），还必须满足在的两侧符号相反.
22. 已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.
（1）证明：；
（2）设，当时，求的面积的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹为抛物线，设直线方程，根据切线方程可得点坐标，进而可得；
（2）由得，根据弦长公式，可得，根据点坐标得，进而可得，根据单调性可得最小值.
【小问1详解】

由题意得，圆心到点的距离和直线的距离相等，
由抛物线的定义知，曲线的轨迹为抛物线，
由焦点和准线方程，可得方程为，
设的方程为，代入，得，
设，，则①，②
切线方程为：③，切线方程为：④，
由③､④得，所以，
③-④，得，即，所以.
当时，显然有，
当时，，所以，
所以.
【小问2详解】
由题意得：，得，结合①､②得
，，从而，
因为，，
所以.
设，，
当时，，所以在区间上为减函数，
所以，当时，取得最小值，从而可得.