吉林省通榆县第一中学校2024届高三上学期第二次质量检测数学试题（月考）

这是一份吉林省通榆县第一中学校2024届高三上学期第二次质量检测数学试题（月考），共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，若，，且，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
通榆一中2024届高三上学期第二次质量检测数  学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、数列、概率与统计.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的子集的个数为（   ）A.7 B.8 C.15 D.162.已知幂函数的图象过点，则（   ）A.是偶函数，在上是减函数 B.是奇函数，在上是减函数C.是奇函数，在上是增函数 D.是偶函数，在上是减函数3.已知“不等式成立”的一个充分不必要条件是“”，则实数m的取值范围是（   ）A. B. C. D.4.已知函数，则的最大值为（   ）A. B. C. D.5.有5名优秀毕业生到母校的3个班级去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（   ）A.150 B.180 C.200 D.2806.在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766～1834）就提出了自然状态下人口增长模型：（r为人口年自然平均增长率，t为经过的时间，表示当时y的值），截止2020年5月17日，全球人口总数约为76亿，联合国人口基金会人口与发展处的负责人弗朗西斯·法拉赫博士告诉记者，过去10年中，世界人口增长率已呈下降趋势，估计从2020年底开始到2100年底，世界人口将增加一倍，则从2020年底到2100年底这段时间内的人口年自然平均增长率约为（   ）A. B. C. D.参考数据：7.在公差为1的等差数列中，已知，，若对任意的正整数n，恒成立，则实数t的取值范围是（   ）A. B. C. D.8.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（   ）A.3 B.4 C.9 D.16二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，c为非零常数，则（   ）A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同10.若，，且，则下列说法正确的是（   ）A.有最大值  B.有最大值C.有最小值4  D.有最小值11.对于数列，若存在数列满足，则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（   ）A.若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列B.若，则其“倒差数列”有最大值C.若，则其“倒差数列”有最小值D.若，则其“倒差数列”有最大值12.已知函数的定义域为R，且，，且当时，，则下列说法正确的是（   ）A.函数为奇函数B.当时，C.D.若，则恰有4个不同的零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则_____________.14.展开式中的系数为，则_____________.15.已知，，且，则y的最大值为_____________.16.已知正实数x，y满足，则的最大值为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们记录了12月1日至5日的昼夜温差与每天100颗种子的发芽数，数据如下.日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616该农科所确定的研究方案：先从五组数据中选取两组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的两组数据进行检验.（1）若先选取的是12月1日和5日的数据，请根据2日至4日的三组数据，求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试判断（1）中所得到的线性回归方程是否可靠.注：，.18.（本小题满分12分）已知函数是偶函数.（1）求a的值：（2）设，，若对任意的，存在，使得，求m的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数.（1）若的解集为，解关于x的不等式；（2）若对任意的恒成立，求的最大值.20.（本小题满分12分）已知等比数列是递增数列，，，又数列满足，是数列的前n项和.（1）求；（2）若对任意都有成立，求正整数k的值.21.（本小题满分12分）某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：方案一：答题3道，至少有两道答对；方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对.方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这3道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.（1）求甲和乙各自通过第一关的概率；（2）设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的p的值，使得？并说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若在上恒成立，求a的取值范围；（2）设，，为函数的两个零点，证明：.
通榆一中2024届高三上学期第二次质量检测·数学参考答案、提示及评分细则1.B  由题意知，所以，所以的子集的个数为.故选B.2.A  设，则，，.故选A3.D  解不等式，得.又“不等式成立”的充分不必要条件是“”，故，解得.故选D.4.B  当时，，所以在上单调递增.当时，，所以，当时，当时，，所以在上单调递增，在上单调递增，所以.故选B.5.A  人数分配上有两种方式为1，2，2与1，1，3.若是1，1，3，则有种；若是1，2，2，则有种，所以共有150种不同的方法，故选A.6.B  由题意得，，，.故选B.7.D  由题意知，所以，所以点在函数的图象上；由知，为数列的最大项，所以，所以.故选D.8.C  由得，即.记，且设，由知在上单调递减，在上单调递增，，，当时，，所以.函数的图象如图所示：由得（*），当时方程（*）有两个不相等的实数根，，且，，，且，，因此.故选C.9.CD  ；故A错误；，故B错误；；，故C正确；x的极差为；y的极差为，故D正确.故选CD.10.ABC  ，当且仅当，即，时等号成立，故有最大值，故A正确；，当且仅当，时等号成立，所以有最大值，故B正确；，当且仅当，即时等号成立，即有最小值4，故C正确；，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为，故D错误.故选ABC.11.ACD  A.若数列是单增数列，则，虽然有，但当时，，因此不一定是单增数列，A正确；B.，则，易知是递增数列，无最大值，B错；C.，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；D.若，则，首先函数在上是增函数，当n为偶数时，，，当n为奇数时，，显然是递减的，因此也是递减的，即，的奇数项中有最大值为，是数列中的最大值.D正确.故选ACD.12.AC  因为，所以的图象关于中心对称，故A正确；因为的图象关于中心对称，所以，解得.所以当时，，因为，所以，因为，所以，所以，即.当时，，所以，故B错误；因为，所以，所以的周期为8，又，，，，，，，，所以，故C正确；令，即，画出与的图象，如图所示，因为，，所以两函数图象共有5个交点，所以恰有5个不同的零点，故D错误.故选AC.13.4  由题意知.14.6  该展开式中的系数为，解得.15.  因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，又，所以，解得，即y的最大值为.16.  由得，所以，则，因为，，，所以，令，则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以.令，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.17.解：（1）由数据，求得，，由公式，求得，，所以y关于x的线性回归方程为：.（2）当时，，，同样，当时，，.所以该农科所得到的线性回归方程是可靠的.18.解：（1）因为是偶函数，所以，即，即，所以.（2）因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值.因为在上单调递增，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，即m的取值范围是.19.解：（1）因为的解集为，所以，，，所以，，所以等价于，又，所以解得，即关于x的不等式的解集为.（2）因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，，所以，所以；令，又，所以，即，所以，所以，令，当时，；当时，，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.20.解：（1）因为，，且数列是等比递增数列，所以，.所以，.所以.所以.所以.（2）令，则.所以当时，；当时，；当时，，即.所以数列中最大项为和.所以存在或3，使得对任意的正整数n，都有.21.解：（1）设答对题目的个数为，由题意，得.甲通过第一关的概率为；乙通过第一关的概率为.（2）的可能取值为0，1，2，则，，，所以.设，则，从而当时，为增函数，又，，所以存在唯一的p的值，使得，即.22.（1）解：若在上恒成立，即，令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围是.（2）证明：令，即，令，则，令，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，所以，当时，，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.不妨设，则，，因为，所以.设函数，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，即，又函数在上单调递减，所以，所以.