吉林省长春五十二中教育集团2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份吉林省长春五十二中教育集团2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年吉林省长春五十二中教育集团九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知4a＝5b（ab≠0），下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（　　）

A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
4．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可能是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．
5．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则B、C之间的距离为（　　）

A．米 B．1200tanα米 C．1200sinα米 D．1200cosα米
6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△A'B'C'是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点A（1，0），B（1，2），C在A'B'上，则C'点坐标为（　　）

A．（2，4） B．（2，2） C．（4，2） D．（4，4）
7．果园2020年水果产量为50吨，2022年水果产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则方程为（　　）
A．75（1﹣x）2＝50 B．75（1+x）＝50
C．50（1+x）2＝75 D．50（1+x）＝50
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．﹣＝　 　．
10．计算cos60°+sin30°＝　 　．
11．如果函数y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，则m的值为　 　．
12．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为　 　．

13．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　 　．

14．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．
16．某小区某天在广场设置了A、B、C三个核酸检测通道，甲、乙两人这天均随机选择这三条通道中的一条进行核酸检测，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的概率．
17．按照疫情防控的要求，某校计划在学生返校前对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的1.2倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天．求原计划每天可以清扫和消毒的教室个数．
18．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的中线BD．
（2）在图②△ABC的边AB上找到一点E，将AB分成2：3两部分．
（3）在图③△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3．

19．新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为10m，求该建筑BC的高度（结果取整数）．参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31．

20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，交边BC于点D，点E为边AC的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是矩形；
（2）若BC＝DF，且，则＝　 　．

21．为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A——剪纸”、“B——木版画雕刻”、“C——陶艺创作”、“D——皮影制作”、“E——其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图；
（2）本次问卷的这五个选项中，众数是 　 　；
（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数．
22．某食品加工厂的甲、乙两个生产组领到了相同的加工任务．甲、乙两组以相同的工作效率同时开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，提高了工作效率，在完成本组任务后，帮助甲组加工了60kg食品，最后两组同时停工，完成了此次加工任务．两组各自加工的食品量y（kg）与甲组工作时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲组每小时加工食品 　 　kg，乙组升级设备后每小时加工食品 　 　kg；
（2）求乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式；
（3）求m，n的值．

23．【实践与探究】
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　 　．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　 　度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点P，求证：AP＝EF；
（2）若AB＝4，则线段EF的长为 　 　．

24．如图，在△ABC中，tanB＝，∠C＝45°，AD＝6，AD⊥BC于点D，动点E从点D出发沿DB向点B以每秒1个单位长度的速度运动．将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到线段DF，过点F作FG∥AC，交射线DC于点G，以EG、FG为邻边▱EGFP，▱EGFP与△ABC重叠部分面积为S．当点E与点B重合时停止运动，设点E的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求BC的长．
（2）当点P落到AB边上时，求t的值．
（3）当点F在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）▱EGFP的边PE被AB分成1：3两部分时，直接写出t的值．



参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
解：A、化简后不能与合并，不合题意；
B、化简后不能与合并，不合题意；
C、化简后不能与合并，不合题意；
D、化简后能与合并，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
2．已知4a＝5b（ab≠0），下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据比例的性质，即可得出结论．
解：A．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
B．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
C．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
D．由，可得4a＝5b+1，故本选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
3．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（　　）

A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】由▱ABCD证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵EC：DC＝1：3，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴C△DFE：C△BFA＝2：3．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，解决此题的关键是清楚相似三角形的周长之比等于相似比．
4．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可能是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．
【分析】先根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，再解不等式，然后利用m的取值范围对各选项进行判断．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，
解得m＞1，
因为＞1，
所以m＝时，方程没有实数解．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则B、C之间的距离为（　　）

A．米 B．1200tanα米 C．1200sinα米 D．1200cosα米
【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和对边，只需根据正切值即可求出BC．
解：根据题意可得：AC＝1200米，∠ABC＝α，
∵tanα＝，
∴BC＝（米）．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，姐姐本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△A'B'C'是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点A（1，0），B（1，2），C在A'B'上，则C'点坐标为（　　）

A．（2，4） B．（2，2） C．（4，2） D．（4，4）
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，根据位似变换的性质计算即可．
解：∵点A（1，0），B（1，2），
∴AB＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为（2，1），
∵△A'B'C'与△ABC位似，位似比为2：1，
∴C'点坐标为（2×2，1×2），即C'点坐标为（4，2），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键．
7．果园2020年水果产量为50吨，2022年水果产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则方程为（　　）
A．75（1﹣x）2＝50 B．75（1+x）＝50
C．50（1+x）2＝75 D．50（1+x）＝50
【分析】利用该果园2022年水果产量＝该果园2020年水果产量×（1+该果园水果产量的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得50（1+x）2＝75，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】连接OC，如图，根据三角形面积公式，由AB＝3BC得到S△AOB＝3S△BOC，可计算出S△BOC＝4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
解：连接OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB＝3BC，
∴S△AOB＝3S△BOC，
∴S△BOC＝×12＝4，
∴|k|＝4，
而k＞0，
∴k＝8．
故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．﹣＝　　．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
解：原式＝3﹣＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．
10．计算cos60°+sin30°＝　1　．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：原式＝+＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11．如果函数y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，则m的值为　﹣2　．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，
∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为　7　．

【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．
解：∵DE：EA＝3：4，
∴DE：DA＝3：7
∵EF∥AB，
∴，
∵EF＝3，
∴，
解得：AB＝7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
13．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　　．

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠ADC＝90°，由勾股定理得：
AC＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为 　　．

【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．
解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解，得
，
∴P（，），
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
解：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3）
＝a2+2a+1﹣a2+9
＝2a+10，
当a＝时，原式＝2×+10＝15．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
16．某小区某天在广场设置了A、B、C三个核酸检测通道，甲、乙两人这天均随机选择这三条通道中的一条进行核酸检测，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的概率．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的结果有3种，
∴甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．按照疫情防控的要求，某校计划在学生返校前对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的1.2倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天．求原计划每天可以清扫和消毒的教室个数．
【分析】设原计划每天可以清扫和消毒x个教室，则实际每天可以清扫和消毒1.2x个教室，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划完成全部教室消毒的时间缩短了2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
解：设原计划每天可以清扫和消毒x个教室，则实际每天可以清扫和消毒1.2x个教室，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天可以清扫和消毒5个教室．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的中线BD．
（2）在图②△ABC的边AB上找到一点E，将AB分成2：3两部分．
（3）在图③△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3．

【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可．
（2）利用网格线寻找点E即可．
（3）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
解：（1）如图①中，线段BD即为所求．
（2）如图②中，点E即为所求．
（3）如图③中，点F即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为10m，求该建筑BC的高度（结果取整数）．参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31．

【分析】作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可．
解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC＝AD＝10（m），
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，
则AE＝≈≈32（m），
在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，
∴BE＝AE＝32（m），
∴BC＝10+32＝42（m），
则该建筑的高度BC为42m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，交边BC于点D，点E为边AC的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是矩形；
（2）若BC＝DF，且，则＝　　．

【分析】（1）证△AEF≌△CED（AAS），得FE＝DE，再证四边形ADCF是平行四边形，然后证∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）过C作CG⊥AB于G，由锐角三角函数定义得tanB＝＝，设AD＝3a，则BD＝2a，得AB＝a，再证AC＝BC，则BG＝AB＝a，然后由锐角三角函数定义得CG＝a，进而由三角形面积求出BC＝a，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠CDE，
∵点E为边AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴FE＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
（2）解：如图，过C作CG⊥AB于G，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴tanB＝＝，
设AD＝3a，则BD＝2a，
∴AB＝＝＝a，
由（1）可知，四边形ADCF是矩形，
∴AC＝DF，
∵BC＝DF，
∴AC＝BC，
∵CG⊥AB，
∴BG＝AB＝a，
在Rt△BCG中，tanB＝＝，
∴CG＝BG＝a，
∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CG，
∴BC＝＝＝a，
∴CD＝BC﹣BD＝a﹣2a＝a，
∴＝＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A——剪纸”、“B——木版画雕刻”、“C——陶艺创作”、“D——皮影制作”、“E——其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图；
（2）本次问卷的这五个选项中，众数是 　“C——陶艺创作”　；
（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数．
【分析】（1）由“C——陶艺创作”的人数除以所占百分比求出参加问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）由众数的定义求解即可；
（3）由该校共有的学生人数乘以“A——剪纸”的人数所占的比例即可．
解：（1）参加问卷调查的学生人数为：90÷30%＝300（人），
则“D——皮影制作”的人数为：300﹣66﹣54﹣90﹣15＝75（人），
补全条形统计图如下：

（2）本次问卷的这五个选项中，众数是“C——陶艺创作”，
故答案为：“C——陶艺创作”；
（3）估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数为：3600×＝792（人）．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．某食品加工厂的甲、乙两个生产组领到了相同的加工任务．甲、乙两组以相同的工作效率同时开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，提高了工作效率，在完成本组任务后，帮助甲组加工了60kg食品，最后两组同时停工，完成了此次加工任务．两组各自加工的食品量y（kg）与甲组工作时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲组每小时加工食品 　30　kg，乙组升级设备后每小时加工食品 　50　kg；
（2）求乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式；
（3）求m，n的值．

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲组每小时加工食品多少千克和乙组升级设备后每小时加工食品多少千克；
（2）先设出函数解析式，然后根据点（4，60）和点（7，210）在该函数图象上，可以求得该函数的解析式；
（3）根据（2）中的结果和（1）中的结果，可知乙比甲多加工了60×2＝120（个），然后列出关于m的方程求解即可．
解：（1）由图象可得，
甲组每小时加工食品：210÷7＝30（kg），
乙组升级设备后每小时加工食品：（210﹣30×2）÷（7﹣4）＝50（kg），
故答案为：30，50；
（2）设乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（4，60），（7，210）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式是y＝50x﹣140；
（3）由题意可得，
乙比甲多加工了60×2＝120（个），
50m﹣140＝30m+120，
解得m＝13，
∴n＝50×13﹣140＝510，
即m的值是13，n的值是510．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．【实践与探究】
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　45°　．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　60　度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点P，求证：AP＝EF；
（2）若AB＝4，则线段EF的长为 　8﹣8　．

【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；
操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN＝45°，则∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，求出∠NFE＝∠CFE＝30°，即可求解；
（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE＝AB＝4，AE＝2BE＝8，AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．
【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45°；
操作二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（ASA），
∴AP＝EF；
（2）解：由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝＝4，
∴AE＝2BE＝8，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴a+a＝8，
解得：a＝4﹣4，
∴AP＝2a＝8﹣8，
∴EF＝8﹣8
故答案为：8﹣8．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF＝45°是解题的关键，属于中考常考题型．
24．如图，在△ABC中，tanB＝，∠C＝45°，AD＝6，AD⊥BC于点D，动点E从点D出发沿DB向点B以每秒1个单位长度的速度运动．将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到线段DF，过点F作FG∥AC，交射线DC于点G，以EG、FG为邻边▱EGFP，▱EGFP与△ABC重叠部分面积为S．当点E与点B重合时停止运动，设点E的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求BC的长．
（2）当点P落到AB边上时，求t的值．
（3）当点F在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）▱EGFP的边PE被AB分成1：3两部分时，直接写出t的值．

【分析】（1）解直角三角形分别求解BD，CD即可．
（2）如图2中，当点P落在AB上时，根据＝，构建方程求解即可．
（3）分两种情形：当0＜t≤3时，如图1中，重叠部分是平行四边形PFEG，S＝2t•t＝2t2，当3＜t≤6，如图3中，重叠部分是五边形MNFGE，过点M作MH⊥PN于H，则有PH＝MH，NH＝2MH，求出MH，PN，即可解决问题．
（4）如图4中，由题意PM：ME＝1：3或PM：ME＝3：1，分两种情形，分别构建方程求解即可．
解：（1）如图1中，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝∠C＝45°，
∴AD＝DC＝6，
∵tanB＝＝，
∴BD＝12，
∴BC＝BD+CD＝18．

（2）如图2中，当点P落在AB上时，＝

则有＝，
解得t＝3．

（3）当0＜t≤3时，如图1中，重叠部分是平行四边形PFEG，S＝2t•t＝2t2．
当3＜t≤6，如图3中，重叠部分是五边形MNFGE，过点M作MH⊥PN于H，则有PH＝MH，NH＝2MH，

∴MH＝PN＝[2t﹣2（6﹣t）]＝（4t﹣12），
∴S＝S平行四边形PFEG﹣S△MPN＝2t2﹣×（4t﹣12）2＝﹣t2+16t﹣24．

（4）如图4中，由题意PM：ME＝1：3或PM：ME＝3：1，

∵PN∥BE，
∴＝，
∴＝或＝3，
解得t＝或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．