江苏省南京市金陵汇文学校2023_2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省南京市金陵汇文学校2023_2024学年九年级上学期10月月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市金陵汇文学校2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为　　
A．3，5 B．3，1 C．， D．3，
2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．为任意实数
3．关于的一元二次方程无实数根，则可能是　　
A．0 B． C．2 D．3
4．下列说法正确的个数有　　
①长度相等的两条弧是等弧；②相等的弦所对的圆心角相等；③垂直于弦的直径平分弦；④任意一个三角形有且只有一个外接圆；⑤90°的角所对的弦是直径；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等；
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，一块长，宽的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为．设石子路的宽度为，则下面所列方程正确的是　　

A． B．
C． D．
6．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　

A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．方程的解是 　　．
8．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是：点在　　．（填“上”、“内”、“外”
9．已知、是一元二次方程的两根，则的值是 　　．
10．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　．
11．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是　 　．
12．如图，是的直径，、是上的两点，若，则　 　．

13．如图，已知的半径为7，是的弦，点在弦上．若，，则的长为 　　．

14．用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的、两点．若点、对应的刻度分别为，，则的度数为 　　．

15．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品，使产量增长到．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，设今年平均亩产量的增长率为，则可列方程　　．（无需化简）
16．如图，已知，为平面直角坐标系内两点，以点圆心的经过原点，轴于点，点为上一动点，为的中点，则线段长度的最大值为　　．

三、解答题（共88分）
17．（16分）解下列方程：
（1）； . （2）．



（3） （4）



18．（4分）如图，是的直径，点在上，是中点，若，求．
下面是小雯的解法，请帮他补充完整．
解：在中，
是的中点
，
　　（填推理的依据）


是的直径，
　　（填推理的依据）

、、、四个点都在上，
　　（填推理的依据）
　　（填计算结果）

19．（6分）已知是关于的一元二次方程的一个根．
（1）求．
（2）求此方程的另一个根．




20．（6分）解关于的方程：．




21．（8分）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．




22．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若，满足．求的值．



23．（8分）作图探究：如图，点是直角坐标系第三象限内一点．
（1）尺规作图：请在图中作出经过、两点且圆心在轴的；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点的坐标为．
①请求出的半径；
②填空：若是上的点，且，则点的坐标为　 　．

24．（8分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．

25．（8分）如图，是的内接三角形，是的一个外角，、的平分线分别交于点、．请你在图上连接．
（1）证明：是的直径；
（2）请你判断与有怎样的位置关系？并请证明你的结论．





26.（8分）某水果店购进成本价为14元/kg的A、B两种水果，经市场调研发现，若A、B两种水果售价分别为20元/kg、18元/kg，这两种水果每天可分别销售200kg，400kg，由于B水果更受大众喜欢，该店为了增加利润，准备提高B种水果的售价，同时降低A种水果的售价（不低于成本价），若A种水果售价降低1元每天可多卖20kg，B种水果售价每提高1元每天就少卖10kg，如果这两种水果每天销售的总量不变，且进货当天全部售完，该店计划销售这两种水果一天的总利润为4180元，则A、B两种水果每天进货量各为多少？



27．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点坐标为，过点．与轴、轴分别交于、两点，N为弧的中点．连接BN并延长交轴于点D，连接AN并延长，使得，连接BC．
（1）求点D的坐标，连接AB、CD，四边形ABCD的形状是
（2）点从点出发发以每秒2个长度单位的速度沿折线段运动，同时点也从A点出发以相同的速度沿射线AD运动，当点P到达C点两点同时停止，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若点Q在线段AO上运动且，直接写出直线与相交所得的弦长．







江苏省南京市金陵汇文学校2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷
答案与解析
一、选择题
1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为　　
A．3，5 B．3，1 C．， D．3，
【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论．
【解答】解：一元二次方程化成一般式为：，
故二次项系数是3，一次项系数是．
故选：．
【点评】本题考查是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．为任意实数
【考点】：一元二次方程的定义；
【分析】由一元二次方程的定义可求得答案．
【解答】解：
方程是关于的一元二次方程，
∴，解得，
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
3．关于的一元二次方程无实数根，则可能是　　
A．0 B． C．2 D．3
【考点】根的判别式
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：关于的一元二次方程无实数根，
△，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
4．下列说法正确的个数有　　
①长度相等的两条弧是等弧；②相等的弦所对的圆心角相等；③垂直于弦的直径平分弦；④任意一个三角形有且只有一个外接圆；⑤90°的角所对的弦是直径；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等；
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①长度相等的两条弧是等弧，能够完全重合的弧是等弧，故错误；②相等的弦所对的圆心角相等，未说在同一个圆中，错误；③垂直于弦的直径平分弦，未强调弦不能是直径，故错误，；④任意一个三角形有且只有一个外接圆，不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确；⑤90°的角所对的弦是直径，正确；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等，正确；
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，角平分线的性质，垂径定理，确定圆的条件，正确的理解题意是解题的关键．
5．如图，一块长，宽的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为．设石子路的宽度为，则下面所列方程正确的是　　

A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设小路的宽为，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设小路的宽为，则草坪的总长度为，总宽度为，
根据题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．
6．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　

A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：为的中点，
，
∴故①正确，
，
，，
，
，故③错误，
，，
，
，，
，
，故②正确，
，
，
的度数的度数，
的度数的度数，
，故④正确，
故选：B．

【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
7．方程的解是 　　．．
【考点】解一元二次方程
【分析】根据已知方程得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
8．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是：点在　外　．（填“上”、“内”、“外”
【考点】点与圆的位置关系
【分析】先求出圆的半径，再根据点与圆的位置关系的内容得出答案即可．
【解答】解：的直径为，
的半径为，
点到圆心的距离为，
点与的位置关系是：点在外．
故答案为：外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在圆内，②当时，点在圆上，③当时，点在圆外．
9．已知、是一元二次方程的两根，则的值是 　　．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出两根之和，两根之积，再代值计算即可．
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．
10．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　且　．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故答案为且．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
11．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是　或　．
【考点】：圆心角、弧、弦的关系
【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
【解答】解：
连接、，
一条弦把圆分成两部分，如图，
弧的度数是，弧的度数是，
，
，
，
故答案为：或．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．如图，是的直径，、是上的两点，若，则　　．

【考点】：圆周角定理
【分析】根据圆周角定理的推论由是的直径得，再利用互余计算出，然后再根据圆周角定理求的度数．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
13．如图，已知的半径为7，是的弦，点在弦上．若，，则的长为 　5　．


【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】过作于，连接，求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
【解答】解：过作于，连接，则，

，，
，
，过圆心，
，
，
，
，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
14．用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的、两点．若点、对应的刻度分别为，，则的度数为 　　．

【考点】圆周角定理
【分析】先图形抽象出来，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答．
【解答】解：连接、、、，设的直径为，如图：

由题意可知，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键．
15．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品，使产量增长到．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，设今年平均亩产量的增长率为，则可列方程　　．（无需化简）
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】根据增长后的产量增长前的产量增长率），设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为，列出方程．
【解答】解：设今年平均亩产量的增长率为，则今年种植面积的平均增长率为．
根据题意，得．
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．
16．如图，已知，为平面直角坐标系内两点，以点圆心的经过原点，轴于点，点为上一动点，为的中点，则线段长度的最大值为　　．

【考点】：三角形三边关系；：点与圆的位置关系；：三角形中位线定理；：坐标与图形性质
【分析】如图，作点关于点的对称点，连接，，．因为，，所以，求出的最大值即可解决问题．
【解答】解：如图，作点关于点的对称点，连接，，．

由题意，，，
，
，，
，
，
，
的最大值为，
的最大值为，
故答案为．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
三、解答题
17．选择合适的方法解下列方程：
解下列方程：
（1）； . （2）．
（3） （4）
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，；
（2）
，
，
，
或，
，．
（3）

∴，
（4）

∴
∴
∴，
18．如图，是的直径，点在上，是中点，若，求．
下面是小雯的解法，请帮他补充完整．
解：在中，
是的中点
，
　等弧所对的圆周角相等　（填推理的依据）


是的直径，
　　（填推理的依据）

、、、四个点都在上，
　　（填推理的依据）
　　（填计算结果）

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出即可解决问题；
【解答】解：在中，
是的中点
，
（等弧所对的圆周角相等）


是的直径，
（直径所对的圆周角是直角）

、、、四个点都在上，
（圆内接四边形的对角互补）

故答案为：等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补，．

【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．已知是关于的一元二次方程的一个根．
（1）求．
（2）求此方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【分析】（1）将代入解析式即可求出的值；
（2）把的值代入方程，从而解出另一根．
【解答】解：（1）是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
即，
解得，．
故的值是0或8；
（2）当时，
，即，
解得，．
当时，
，即，
解得，．
故另一根为．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，要知道，一元二次方程的解使得方程左右两边相等．
20．解关于的方程：．
【解答】（1）当时，原方程为，解得
（2）当时，原方程可因式分解为：
∴，

21．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．

【考点】：勾股定理；：圆周角定理
【分析】（1）由是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，又由，，即可求得的度数，继而求得答案；
（2）由，，可求得的长，然后由垂径定理，可知是的中位线，则可求得的长，继而求得答案．
【解答】解：（1）是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；

（2），，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若，满足．求的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】（1）根据△，解不等式即可；
（2）由根与系数的关系得出和的值，再代入得到关于的方程计算可得．
【解答】解：（1）由题意得△，
．
故实数的取值范围为；
（2）依题意有，，
，
，
解得，（舍去）．
故的值是．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
23．作图探究：如图，点是直角坐标系第三象限内一点．
（1）尺规作图：请在图中作出经过、两点且圆心在轴的；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点的坐标为．
①请求出的半径；
②填空：若是上的点，且，则点的坐标为　，或，　．

【考点】：一次函数综合题；：勾股定理；：垂径定理；：作图复杂作图
【分析】（1）连接，作的垂直平分线交轴于点，以我半径作，即为所求；
（2）①连接，作轴，垂足为，设的半径为，则，，，在中，由勾股定理求即可；
②过点作的垂线，交于，，再过，，作轴的垂线，利用三角形全等求点坐标．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）①连接，作轴，垂足为，设的半径为，则，，，
在中，，
即，
解得；
②如图，过点作的垂线，交于，，再过，，作轴的垂线，垂足为，，
利用互余关系，，
可证△△，
，，
，或，．
故答案为：，或，．

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，尺规作图的知识．关键是将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理，全等三角形解题．
24．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【解答】解：（1）设边的长为米，则米，
根据题意可得，
解得，，
墙的最大可用长度为30米，且当时，（米，不合题意，
米．
答：边的长为15米；
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得，
整理，得，
△，
羊圈的总面积不能为440平方米．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
25．如图，是的内接三角形，是的一个外角，、的平分线分别交于点、．请你在图上连接．
（1）证明：是的直径；
（2）请你判断与有怎样的位置关系？并请证明你的结论．

【考点】：圆周角定理；：三角形的外接圆与外心
【分析】（1）先利用角平分线定义和平角定义计算出，则利用圆周角定理的推论得到为的直径；
（2）由平分得，根据圆周角定理得，于是根据垂径定理的推论可得垂直平分．
【解答】解：（1）平分，平分，
，，
，即，
为的直径；

（2）平分，
，
，
垂直平分．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
26.（8分）某水果店购进成本价为14元/kg的A、B两种水果，经市场调研发现，若A、B两种水果售价分别为20元/kg、18元/kg，这两种水果每天可分别销售200kg，400kg，由于B水果更受大众喜欢，该店为了增加利润，准备提高B种水果的售价，同时降低A种水果的售价（不低于成本价），若A种水果售价降低1元每天可多卖20kg，B种水果售价每提高1元每天就少卖10kg，如果这两种水果每天销售的总量不变，且进货当天全部售完，该店计划销售这两种水果一天的总利润为4180元，则A、B两种水果每天进货量各为多少？
【解答】设A种水果降价x元，则B种水果提价2x元
根据题意可列方程为：
解得：，
∵A种水果的售价不能低于成本价
∴
∴
∴A种水果的进货量为：；B种水果的进货量为：
答：A种水果的进货量为260kg，B种水果的进货量为340kg.
27．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点坐标为，过点．与轴、轴分别交于、两点，N为弧的中点．连接BN并延长交轴于点D，连接AN并延长，使得，连接BC．
（1）求点D的坐标，连接AB、CD，四边形ABCD的形状是
（2）点从点出发发以每秒2个长度单位的速度沿折线段运动，同时点也从A点出发以相同的速度沿射线AD运动，当点P到达C点两点同时停止，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若点Q在线段AO上运动且，直接写出直线与相交所得的弦长．

【考点】：点的坐标；：三角形的面积；：全等三角形的判定与性质；：勾股定理；：垂径定理；：圆周角定理
【解答】（1）解：由题意可得：
，，，
是直径，，
为弧的中点，
，
，
，，，
∴
的坐标是
∵，，
∴、相互垂直平分
∴
∴四边形时菱形
（2）当在上时，在上，如图所示：

；
当在上时，在上，如图所示：

同法可求；
当在的延长线上时，如图所示：

；
（3）①，解得：或

当时，如图：

，，
，，
连接，由勾股定理得：，
弦；
当时，如图：

同理可求弦长是；
所以直线与相交所得的弦长为或
【点评】本题综合考查了圆周角定理、勾股定理、三角形的面积、点的坐标、全等三角形的性质和判定，垂径定理等知识点，此题是一道难度较大的题目，综合性比较强，对学生提出了较高的要求，分类讨论思想的运用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/17 21:25:59；用户：阳光小屋；邮箱：1158926887@qq.com；学号：20712917