甘肃省张掖市高台县部分校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

这是一份甘肃省张掖市高台县部分校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份），共23页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年甘肃省张掖市高台县部分校联考九年级第一学期月考数学试卷（9月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D．x2﹣3x＝x2+2
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
3．下列图形的性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相垂直平分
B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相平分且相等
4．根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（　　）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是正方形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
6．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形
8．如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（　　）

A．4.8cm B．5cm C．5.8cm D．6cm
9．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440
C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE，其中正确结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．）
11．已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为　 　．
12．在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为　 　．
13．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是　 　．

15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝　 　．

16．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品的频数m
19
47
91
184
462
921
1379
1846
优等品的频率
0.950
0.940
0.910
0.920
0.924
0.921
0.919
0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 　 　．（精确到0.01）
17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 　 　．
18．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程　 　．

三.解答题
19．（16分）按要求解下列方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；（用配方法解）
（2）2x2﹣7x+6＝0；（用公式法解）
（3）2y2+4y＝y+2；（用因式分解法解）
（4）5x+2＝3x2．
20．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．
（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
21．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品，如果每盒的售价为60元时，每天可以销售200盒，通过市场调查发现，每盒售价每提高1元，每天少卖出10盒．该村办企业要想每天获得2240元利润，该有机产品的售价可以定为多少元/盒？
23．学校计划利用一块空地修建一个学生自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，建造车棚的面积为80平方米．已知新建板墙的木板材料的总长为26米．为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么车棚的长与宽分别为多少米？

24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．

25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；
（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是 　 　cm，面积是 　 　cm2．



参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D．x2﹣3x＝x2+2
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论．
解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程整理可得2﹣3x＝0，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．下列图形的性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相垂直平分
B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相平分且相等
【分析】本题主要应用矩形的性质，即对角线平分相等，及是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可．
解：A．矩形对角线互相平分但不垂直．
B．矩形的四个角相等．
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
D．矩形的对角线互相平分且相等．
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
4．根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（　　）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
【分析】利用表中数据得到x＝1.3和x＝1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3＜x＜1.4时，代数式ax2+bx+c的值为3．
解：当x＝1.3时，ax2+bx+c＝2.29，
当x＝1.4时，ax2+bx+c＝3.76，
所以方程的解的范围为1.3＜x＜1.4．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是正方形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
【分析】利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、当∠ABC＝90°时，可以得到平行四边形ABCD是矩形，不能得到正方形，故错误，
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
6．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：列表如下：

1
2
1
2
3
2
3
4
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以两次记录的数字之和为3的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形
【分析】根据四边形的两条对角线相等，由三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD，
∴EH＝FG＝FG＝EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．

【点评】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，难度中等，需要掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，另外要知道四边相等的四边形是菱形．
8．如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（　　）

A．4.8cm B．5cm C．5.8cm D．6cm
【分析】在折叠的过程中，BE＝DE，从而设BE＝DE＝x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．
解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，
即x2＝（10﹣x）2+16．
解得：x＝5.8．
故选：C．

【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．
9．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440
C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
1000（1+x）2＝1000+440，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE，其中正确结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF（故①正确）．
∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°（故②正确），
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC＝x，由勾股定理，得
EF＝x，CG＝x，
AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°＝x，
∴AC＝，
∴AB＝，
∴BE＝﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，（故④错误），
∵S△CEF＝x2，
S△ABE＝x2，
∴2S△ABE＝x2＝S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．）
11．已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为　﹣4　．
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到﹣1+t＝﹣5，然后解一次方程即可．
解：设方程的另一根为t，
根据题意得﹣1+t＝﹣5，解得t＝﹣4，
即方程的另一根为﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：设x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为　20　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：设盒子中有红球x个，
由题意可得：＝0.4，
解得：x＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≤0且k≠﹣1　．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≤0且k≠﹣1．
故答案为：k≤0且k≠﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是　22.5°　．

【分析】根据正方形的性质可得∠CAE＝∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质可求∠ACE度数，最后用∠BCE＝∠ACE﹣45°即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAE＝45°＝∠ACB．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为22.5°．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，解决正方形的角度问题一般会涉及对角线平分对角得到45°．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝　　．

【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
解：∵AC＝8，BD＝6，
∴BO＝3，AO＝4，
∴AB＝5．
AO•BO＝AB•OH，
OH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．
16．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品的频数m
19
47
91
184
462
921
1379
1846
优等品的频率
0.950
0.940
0.910
0.920
0.924
0.921
0.919
0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 　0.92　．（精确到0.01）
【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.92．
解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为0.92．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 　7　．
【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2，然后将+3x1x2+转化为（ x1+x2）2+x1x2，进而整体代入即可得出答案．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2，
+3x1x2+＝（ x1+x2）2+x1x2＝32+（﹣2）＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式的结构特征是解答此题的关键．
18．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程　（80+2x）（50+2x）＝5400　．

【分析】整个挂图的面积＝挂图的长×挂图的宽＝（原矩形风景画的长+2x）×（原库存风景画的宽+2x），把相关数值代入即可求解．
解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，
∴可列方程为（80+2x）（50+2x）＝5400．
故答案为（80+2x）（50+2x）＝5400．
【点评】本题考查用一元二次方程解决实际问题，用x的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键．
三.解答题
19．（16分）按要求解下列方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；（用配方法解）
（2）2x2﹣7x+6＝0；（用公式法解）
（3）2y2+4y＝y+2；（用因式分解法解）
（4）5x+2＝3x2．
【分析】（1）先移常数项，使二次项系数化为1，再配方（方程的两边都加上一次项一半的平方），最后利用直接开平方法求解；
（2）先确定a、b、c的值，再代入求根公式求解；
（3）先移项，再利用提公因式法分解方程的左边，最后解一元一次方程得结论；
（4）利用因式分解法（十字相乘法）求解比较简便．
解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，
移项，得2x2﹣x＝1，
方程的两边都除以2，得x2﹣x＝，
方程的两边都加上（﹣）2，得x2﹣+＝+，
∴（x﹣）2＝．
∴x﹣＝±．
∴x＝．
∴x1＝1，x2＝﹣；
（2）2x2﹣7x+6＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝6．
∴x＝
＝
＝．
∴x1＝2，x2＝；
（3）2y2+4y＝y+2，
移项，得2y2+4y﹣y﹣2＝0，
∴2y（y+2）﹣（y+2）＝0．
∴（y+2）（2y﹣1）＝0．
∴y+2＝0，2y﹣1＝0．
∴y1＝﹣2，y2＝；
（4）5x+2＝3x2，
移项，得3x2﹣5x﹣2＝0，
∴（3x+1）（x﹣2）＝0．
∴3x+1＝0，x﹣2＝0．
∴x1＝﹣，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法的一般步骤是解决本题的关键．
20．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．
（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【分析】（1）利用列表法展示所有有12种等可能的选派方案；
（2）找出恰有一男一女参赛的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）列表如下：

甲
乙
丙
丁

甲

甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲

乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙

丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙

共有12种等可能的选派方案；
（2）恰有一男一女参赛共有8种可能，
所以P（一男一女）＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
21．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，即可求得直角三角形的面积为＝；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；即可求得直角三角形的面积为＝．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2，
则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为＝；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；
综上，该直角三角形的面积为或．
【点评】本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品，如果每盒的售价为60元时，每天可以销售200盒，通过市场调查发现，每盒售价每提高1元，每天少卖出10盒．该村办企业要想每天获得2240元利润，该有机产品的售价可以定为多少元/盒？
【分析】设该有机产品的售价可以定为x元/盒，则销售数量为[200﹣10（x﹣60）]盒，根据利润＝销售数量×（销售价﹣成本价）列出方程并解答．
解：设该有机产品的售价可以定为x元/盒，
根据题意，得（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]＝2240．
解得x1＝66，x2＝64．
答：该有机产品的售价可以定66元/盒或64元/盒．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键的读懂题意，找出等量关系，列出方程．
23．学校计划利用一块空地修建一个学生自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，建造车棚的面积为80平方米．已知新建板墙的木板材料的总长为26米．为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么车棚的长与宽分别为多少米？

【分析】设垂直墙的一边为x米，则其长为26﹣2x+2米，根据长方形面积公式列方程求解可得．
解：设垂直墙的一边为x米，
根据题意，得：x（26﹣2x+2）＝80，
解得：x1＝10，x2＝4（经分析知不合题意，舍去）
∴26﹣2×10+2＝8（米）
答：车棚的长为10米，宽为8米．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，设出其宽根据题意表示出长方形的长是列方程的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠DAC．证出∠ADC＝∠CEA＝90°，由矩形的判定可得出结论；
（2）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．证出DC＝AD，由正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAC+∠CAE＝∠BAD+∠MAE，
∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE＝180°，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：答案不唯一，如：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
故当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
【点评】本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；
（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是 　15　cm，面积是 　　cm2．

【分析】（1）根据题意用t表示出BQ、AP、CQ，根据矩形的判定定理列出方程，解方程得到答案；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形、勾股定理列式计算即可；
（3）根据（2）中求出的t的值，求出CQ，根据菱形的周长公式、面积公式计算即可．
解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，
解得，t＝3，
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，
即＝6﹣t时，四边形AQCP为菱形，
解得，t＝，
故当t＝时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝时，CQ＝6﹣t＝，
∴菱形AQCP的周长为：4CQ＝4×＝15，
菱形AQCP的面积为：CQ•AB＝×3＝，
故答案为：15；．
【点评】本题考查的是矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．