辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了直线的一个方向向量可以是，已知直线l1，已知圆C，方程|x|﹣1＝表示的曲线为，若点A，在下列四个命题中，正确的是，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

2023—2024 学年度上学期 东北育才超常教育实验部
少儿35班 数学学科 阶段检测（一）
考试时间： 120分钟 试卷满分： 150分
一．选择题（共8小题）
1．直线的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
2．已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．向量，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．已知圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（　　）
A． B．6 C． D．
5．方程|x|﹣1＝表示的曲线为（　　）
A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则BE与平面EFG所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．若点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，则的取值范围为（　　）
A． B． C．[0，4] D．
8．若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
（多选）10．已知直线l：ax+（2a﹣3）y﹣3＝0与n：（a+2）x+ay﹣6＝0，则下列选项正确的是（　　）
A．当a＝2时，l∥n B．当时，l⊥n
C．若l∥n，则l，n间的距离为 D．原点到l的距离的最大值为
（多选）11．已知圆C关于x轴对称，经过点（0，1），且被y轴分成两段，弧长之比为2：1，则圆C的方程为（　　）
A．x2+（y+）2＝ B．x2+（y﹣）2＝
C．（x+）2+y2＝ D．（x﹣）2+y2＝
（多选）12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．存在点P，使AC1⊥平面D1EP
B．存在点P，使PE＝PD1
C．四面体EPC1D1的体积为定值
D．二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值取值范围是
三．填空题（共4小题）
13．过点P（1，2）引一直线l，使点A（2，3）和B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是：　 　．
14．点在圆x2+y2﹣2ax﹣2＝0外，则a的取值范围为 　 　．
15．已知直线l1：y＝kx+3k+2，直线l2：y＝+2，其中k＞1，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个凸四边形，则此四边形面积的取值范围是 　 　．
16．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 　 　．

四．解答题（共6小题）
17．已知直线l1：（m+2）x+my﹣8＝0与直线l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．
（1）若l1∥l2，求m的值，并求出两平行线间的距离；
（2）若点P（1，m）在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
18．已知△ABC中，B（0，2），C（﹣2，﹣1），角A的平分线在x轴上．
（1）求点B关于x轴的对称点D的坐标及边AB，边AC所在直线的方程；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
19．求满足下列条件的圆的方程．
（1）若圆C1经过点（6，6），且圆心与点（2，3）关于直线y＝x对称，求圆C1的标准方程；
（2）若圆C2与直线和直线都相切，且圆心在x轴上，求圆C2的标准方程．
20．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求AC与平面AEF所成角的正弦值；
（2）求二面角F﹣AE﹣C的正切值；
（3）求点B到平面AEF的距离．
21．将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB＝OB＝1，AB⊥OB，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形木板钻成△AMN．设直线MN的斜率为k．
（1）求点M，N的坐标（用k表示）及直线MN的斜率k的范围；
（2）令△AMN的面积为S，试求出S的取值范围．
22．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．直线的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
【解答】解：直线l的方程可化为y＝，
所以直线l的方向向量为＝（1，），
又因为与平行的向量即可作为直线的方向向量，且（3，2）＝3，
所以向量（3，2）可以是直线l的一个方向向量．
故选：C．
2．已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a＝2时，直线l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x﹣y+2＝0，可得两条直线的斜率相同，在y轴的截距不同，所以两条直线平行，
即此时“a＝2”是“l1∥l2”的充分条件；
l1∥l2时，则＝≠，整理可得，解得a＝2，此时a＝2”是“l1∥l2”的必要条件，
综上所述：“a＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
3．已知向量，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：设l的方向向量为（x，y），则＝，即（x，y）（1，2）＝（x，y）（3，4），
整理可得：x+2y＝3x+4y，所以x＝﹣y斜率为﹣1．
故选：B．
4．已知圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（　　）
A． B．6 C． D．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），变形可得（x+1）2+（y﹣m）2＝m2+4m+5，
其圆心为（﹣1，m），半径为r，则r2＝m2+4m+5＝（m+2）2+1，
当圆C的面积最小时，必有m＝﹣2，此时r2＝1，
圆C的方程为（x+1）2+（y+2）2＝1，
圆心C到原点为距离d＝＝，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r＝+1，
故选：D．
5．方程|x|﹣1＝表示的曲线为（　　）
A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆
【解答】解：两边平方整理得：（|x|﹣1）2＝2y﹣y2，
化简得（|x|﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
由|x|﹣1≥0得|x|≥1，即x≥1或x≤﹣1，
当x≥1时，方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
表示圆心为（1，1）且半径为1的圆的右半圆；
当x≤﹣1时，方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1，
表示圆心为（﹣1，1）且半径为1的圆的左半圆
综上所述，得方程|x|﹣1＝表示的曲线为两个半圆
故选：A．

6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则BE与平面EFG所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接BD、AC，且EF、BD分别交AC于H、O．
∵四边形ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，
故EF∥BD，H为AO的中点，∵EF⊂平面EFG，BD⊄平面EFG，
∴BD∥平面EFG，∴BD到平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．
∵BD⊥AC，EF∥BD，∴EF⊥AC，即EF⊥HC，∵GC⊥平面ABCD，
EF⊂平面ABCD，∴EF⊥GC，∵HC∩GC＝C，∴EF⊥，∵HC∩GC＝C，HC，GC⊂平面HCG，
∴EF⊥平面HCG，∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，
作OK⊥HG交HG于点K，∵OK⊂平面HCG，平面EFG∩平面HCG＝HG，
∴OK⊥平面EFG，∴线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．
∵正方形ABCD的边长为2，GC＝2，∴．
∵GC⊥平面ABCD，HC⊂平面ABCD，∴GC⊥HC，
∴在Rt△HCG中，，根据Rt△HKO∽Rt△HCG，
有，得，
∵O∈BD，BD∥平面EFG，∴OK的长即为点B到平面EFG的距离，
∴，即BE与平面EFG成角的正弦值为．
故选：D．

7．若点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，则的取值范围为（　　）
A． B． C．[0，4] D．
【解答】解：因为点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，
则的几何意义为圆上点与定点P（﹣4，0）的斜率，
因为圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2＝16，
由题意可知切线的斜率存在且PB的斜率为0，
设圆C的切线方程为y＝k（x+4），
则＝4，
解得k＝0或k＝，
故k的范围为[0，]．
故选：B．

8．若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：在正方形中，由AD⊥DE，AB⊥BF，可得PA⊥PE，PA⊥PF，
设a＝2，则BD＝2，EF＝，PE＝DE＝1，PF＝BF＝1，
则满足PE2+PF2＝EF2，则PE⊥PF，
∵PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，建立空间坐标系如图：
可得P0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），A（0，0，2），
设C（x，y，z），由AC＝2，CE＝FC＝1，
得，得x＝，y＝，z＝﹣，即C（，，﹣），
得＝（1，0，0），＝（，，﹣），
设平面PCE的一个法向量＝（x，y，z），
由•＝0，•＝0，得，得，令y＝1，则x＝0，z＝1，
即＝（0，1，1），
所以平面PCE的一个法向量为＝（0，1，1），
又＝（0，0，2），
设PA与平面PCE所成的角为θ，
则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．
故选：A．

二．多选题（共4小题）
（多选）9．在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
【解答】解：当0°＜α＜90°时，其斜率k＝tanα＞0，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90°时，直线的斜率为tanα，所以 B正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β＝α+k×180°，k∈Z，且0°≤β＜180°，故C不正确；
直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确．
故选：AB．
（多选）10．已知直线l：ax+（2a﹣3）y﹣3＝0与n：（a+2）x+ay﹣6＝0，则下列选项正确的是（　　）
A．当a＝2时，l∥n
B．当时，l⊥n
C．若l∥n，则l，n间的距离为
D．原点到l的距离的最大值为
【解答】解：对于A，l：2x+y﹣3＝0，n：4x+2y﹣6＝0，两直线重合，错误；
对于B，，正确；
对于C，若l∥n，则a2＝（2a﹣3）（a+2），解得a＝2或a＝﹣3．当a＝2时，l，n重合，
当a＝﹣3时，l∥n，∴l的方程为x+3y+1＝0，n的方程为x+3y+6＝0，l，n间的距离为，正确；
对于D，由（x+2y）a﹣3y﹣3＝0，可得l恒过点（2，﹣1），所以原点到l的距离的最大值为，正确．
故选：BCD．
（多选）11．已知圆C关于x轴对称，经过点（0，1），且被y轴分成两段，弧长之比为2：1，则圆C的方程为（　　）
A．x2+（y+）2＝ B．x2+（y﹣）2＝
C．（x+）2+y2＝ D．（x﹣）2+y2＝
【解答】解：设圆C与y轴的交点为A，B，

∵圆C关于x轴对称，经过点（0，1），
∴可设圆C的方程为（x±a）2+y2＝r2（a＞0），圆心C在x轴上，圆C与y轴的交点A（0，1），B（0，﹣1），
∵弧长之比为2：1，
∴，
则，
∴，
故圆心坐标为，，
故圆的方程为．
故选：CD．
（多选）12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（　　）

A．存在点P，使AC1⊥平面D1EP
B．存在点P，使PE＝PD1
C．四面体EPC1D1的体积为定值
D．二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值取值范围是
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则A（2，0，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），E（2，1，2），D1（0，0，2），
则＝（﹣2，2，2），＝（2，1，0），
由•＝﹣2×2+2×1+2×0＝﹣2≠0，即AC1不垂直于D1E，故A错误；
设P（a，2，0）（0≤a≤2），||＝||，即为＝，
化为（a﹣2）2+5＝a2+8，解得a＝，故B正确；
平面C1D1E即为平面B1C1D1A1，而BC∥平面C1D1E，又P在BC上，
可得P到平面C1D1E的距离为棱长，且为定值，
又△C1D1E的面积为定值，所以四面体EPC1D1的体积为定值，故C正确；
由＝（2，1，0），＝（a，2，﹣2），设平面PD1E的法向量为＝（x，y，z），
由，可取x＝1，则y＝﹣2，z＝﹣2，
即有＝（1，﹣2，﹣2）．
由DD1⊥平面C1D1E，可得＝（0，0，2）是平面C1D1E的法向量，
则二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值为＝＝，
由0≤a≤2可得二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值取值范围是[，]，故D错误．
故选：BC．

三．填空题（共4小题）
13．过点P（1，2）引一直线l，使点A（2，3）和B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是：　3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0　．
【解答】解：A，B的中点为Q（3，﹣1），
由几何意义知：l∥AB或l是直线PQ时，满足题意．；
l∥AB时，l方程为y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0，PQ方程为：，即3x+2y﹣7＝0；
故直线l的方程是3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0．
故答案为：3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0．
14．点在圆x2+y2﹣2ax﹣2＝0外，则a的取值范围为 　（﹣，）∪（1，）　．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣2ax﹣2＝0，即（x﹣a）2+（y﹣）2＝3﹣2a2，
∴3﹣2a2＞0，即2a2＜3．可得﹣＜a．
∵点A（2，）在圆x2+y2﹣2ax﹣2＝0外，∴4+3﹣4a﹣6+3a2＞0，∴a＞1或a．
综上可得，﹣＜a＜或1＜a＜．
故答案为：（﹣，）∪（1，）．
15．已知直线l1：y＝kx+3k+2，直线l2：y＝+2，其中k＞1，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个凸四边形，则此四边形面积的取值范围是 　（6，）　．
【解答】解：易知l1：y＝kx+3k+2＝k（x+3）+2，
直线l2：y＝+2＝，其中k＞1，
两直线都过定点A（﹣3，2），作出它们的图象：过A作AN⊥y轴于N，AM⊥x轴于M，
则B（，0），C（0，），M（﹣3，0），N（0，2），
所以S四边形ABOC＝S△ABM+S△ACN+S矩形AMON
＝+3×2
＝（）+6①，由k＞1得，，
则y＝看成关于的二次函数，易知其在（0，1）上递增，
故y∈（0，13），故①式取值范围是（6，）．
故答案为：（6，）．

16．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 　　．

【解答】解：过点E、D分别作直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H，

因为四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，
由平面几何知识易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，
则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，
所以在Rt△EGD和Rt△DHA中，，
∵DC⊥CF，DC⊥CB，且CF∩CB＝C，
∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠BCF＝60°，
则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，
因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，FC⊂平面FCB，BC⊂平面FCB，
所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，所以DC⊥FN，
又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，CB⊂平面ABCD，
所以FN⊥平面ABCD，
过点N作AB平行线NK，以N为原点，以NK，NB，NF分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，
设，则，
∴，
设平面ADE的法向量为，
由，得，
令x＝，则y＝﹣1，z＝，
则，
设直线BM与平面ADE所成角为θ，
∴sinθ＝|cos|＝＝＝＝．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．已知直线l1：（m+2）x+my﹣8＝0与直线l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．
（1）若l1∥l2，求m的值，并求出两平行线间的距离；
（2）若点P（1，m）在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由l1∥l2，得（m+2）×1＝m×m，∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，
检验，当m＝﹣1时，直线l1：x﹣y﹣8＝0与直线l2：x﹣y+4＝0平行，
当m＝2时，直线l1：2x+y﹣4＝0与直线l2：2x+y﹣4＝0重合，
∴m＝﹣1，两直线分别为x﹣y﹣8＝0和x﹣y+4＝0，
则两平行线间距离为．
（2）将点P（1，m）代入直线l2，得m＝2，即点P（1，2），
设所求直线y﹣2＝k（x﹣1）（k≠0），
分别令x＝0、y＝0得直线在两轴截距为2﹣k、，
由题意得，∴k2﹣3k+2＝0，解得k＝1或2，
则所求直线方程为y﹣2＝x﹣1或y﹣2＝2（x﹣1）
即x﹣y+1＝0或2x﹣y＝0．
18．已知△ABC中，B（0，2），C（﹣2，﹣1），角A的平分线在x轴上．
（1）求点B关于x轴的对称点D的坐标及边AB，边AC所在直线的方程；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
【解答】解：（1）点B（0，2）关于x轴的对称点D的坐标为（0，﹣2），
设A（m，0），由题意得kAC+kAB＝0，即．解得m＝﹣4，
所以直线AB的方程为，即x﹣2y+4＝0，
直线AC的方程为，即x+2y+4＝0．
（2）设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，D2+E2﹣4F＞0，
由，解得D＝，E＝﹣，F＝1，
所以所求圆的方程为．
19．求满足下列条件的圆的方程．
（1）若圆C1经过点（6，6），且圆心与点（2，3）关于直线y＝x对称，求圆C1的标准方程；
（2）若圆C2与直线和直线都相切，且圆心在x轴上，求圆C2的标准方程．
【解答】解：（1）∵点（2，3）关于直线y＝x对称的点为（3，2），
∴圆C1的圆心坐标为（3，2），又圆C1经过点（6，6），
∴半径＝5，
∴圆C1的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25；
（2）设圆心C2（a，0），
∵圆C2与直线和直线都相切，
∴，
∴或，
解得a＝2，
∴圆心C2（2，0），又半径＝2，
∴圆C2的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4．
20．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求AC与平面AEF所成角的正弦值；
（2）求二面角F﹣AE﹣C的正切值；
（3）求点B到平面AEF的距离．
【解答】解：（1）由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，BC∥AD，因此AE⊥AD．
由于PA⊥平面ABCD，AD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AE，
故AE，AD，PA两两垂直，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

又E，F分别为BC，PC的中点，则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，
所以，，，
设平面AEF的一个法向量为，
则，令y＝2，则，
设AC与平面AEF所成角为θ，则．
（2）取AC的中点O，连接FO，又F为PC中点，
所以FO∥PA且，又PA⊥平面ABCD，则FO⊥平面ABCD．
过O作OG⊥AE于G，则∠FGO就是二面角F﹣AE﹣C的平面角，
由图及题意得FO＝1，，得．
（3）设点B到平面AEF的距离为d，，由（1）知：面AEF的一个法向量为，
所以．
21．将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB＝OB＝1，AB⊥OB，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形木板钻成△AMN．设直线MN的斜率为k．
（1）求点M，N的坐标（用k表示）及直线MN的斜率k的范围；
（2）令△AMN的面积为S，试求出S的取值范围．

【解答】解：（1）∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，
∴直线OA方程为：y＝x
直线AB方程为：x＝1，
由得M（，）．
∵≥0，
∴k＞1或k≤，
又由得N（1，）且，≥0，
得k≥﹣，
∴﹣≤k≤．∴直线MN的斜率k的范围为[﹣，]；
（2）S△AMN＝•|AN|•h＝[1﹣][1﹣]＝[4（1﹣k）++4]．
设t＝1﹣k∈[，]，f（t）＝4t+．f′（t）＝4﹣．
又t∈[，]，∴f′（t）≥0，
∴f（t）在[，]是单调递增．
∴当t＝，时，f（t）＝，即当1﹣k＝时，即k＝﹣时，
（S△）max＝[+4]＝，t＝，（S△）min＝，
S的取值范围为[，]．
22．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．

（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值．

【解答】解：（1）取CF的中点H，连接GH，OH，如图所示，
∵四边形EBCF是矩形，且CB＝2BE，
∴O为线段BF与CE的中点，∴OH∥BC，且OH＝，
由图1可知，AG∥BC且AG＝，EF∥BC，且EF＝BC，
∴在图2中，AG∥BC且AG＝，
∴AG∥OH且AG＝OH，
∴四边形AOHG是平行四边形，∴AO∥GH，
又∵AO⊄平面GCF，GH⊆平面GCF，
∴AO∥平面GCF．
（2）由图1可知，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，
∴∠AEB即为二面角A﹣EF﹣B的平面角，
∴∠AEB＝，
以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
设CB＝2BE＝2EA＝4，
则E（0，0，0）B（2，0，0），F（0，4，0），O（1，2，0），
又∵EF⊥AE，EF⊥BE，AE∩BE＝E，
∴EF⊥平面ABE，∴点A在xOz平面上，
∴＝（0，4，0）为平面ABE的一个法向量，
又∵∠AEB＝，AE＝2，∴A（﹣1，0，），
∴＝（﹣2，﹣2，），＝（1，﹣2，0），
设平面OAB的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，取y＝1得，
∴，
∴平面OAB与平面ABE夹角的余弦值为|cos＜，＞|＝＝＝．

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