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浙江省杭州市临平区2023-2024学年七年级上学期月考数学试卷（10月份）
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这是一份浙江省杭州市临平区2023-2024学年七年级上学期月考数学试卷（10月份），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省杭州市临平区七年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）。
1．利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
5．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
7．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
8．设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）
A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇
9．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
二、填空题（每小题4分，共24分）。
11．三角形三边长为7、12、a，则a的取值范围是 ．
12．把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式 ．
13．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为 ．
14．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是 ．
15．如图，△ABC中，E为BC边上一点，CE＝2BE，点D为AC的中点，连接DE、AE，取DE的中点F，连接AF，若四边形ABEF的面积是6，则△ABC的面积是 ．
16．邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
三、解答题（本题有7小题，共66分）。
17．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
18．解下列不等式（组）：
（1）2x﹣1＞x﹣3；
（2）．
19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周长．
20．已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的取值范围．
21．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠DMA的度数．
22．一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．
（1）用含x的代数式表示女生人数．
（2）根据题意，列出关于x的不等式组，并求不等式组的解集．
（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
素材1
某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH＝0.8米，DE＝1.5米．
素材2
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DE长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2
确定箭头形指示牌
小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
24．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，BD，CE与DE的数量关系为 ．
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）。
1．利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2．式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，
∴共4个不等式．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
3．如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
解：连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理：SAS，ASA，AAS，SSS是解题的关键．
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
【分析】如果a、b的值满足条件，不满足结论，则这组值能说明这个命题是假命题．
解：因为当a＝﹣3，b＝2时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，
所以利用a＝﹣3，b＝2可说明这个命题是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可．
解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
故A不符合题意；
∵a＞b，
∴，
故B符合题意；
当c＝0时，ac2＝bc2，
故C不符合题意；
∵a＞b，
∴2a＞2b，
∴2a﹣1＞2b﹣1，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【分析】在△ABC中，先根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，再根据BD是△ABC的高线可得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
解：在△ABC中，
∵∠A＝60°，∠ABC＝80°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABC＝40°．
∵BD是△ABC的高线，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
7．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据全等三角形的性质求出∠DBC的度数，计算即可．
解：∵∠A＝80°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠DBC＝∠ACB＝40°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）
A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇
【分析】本题可先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的物体的质量的大小，可知〇＞□，2个Δ＝一个□即△＜□，由此可得出答案．
解：由图（1）可知，1个〇的质量大于1个□的质量，
由图（2）可知，1个□的质量等于2个△的质量，
∴1个□质量大于1个△质量．
故按质量从小到大的顺序排列为△□〇．
故选：D．
【点评】本题考查的是质量的比较大小，解此类题目要注意将相同的质量的物体去掉再比较大小．
9．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，根据“购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，此题得解．
解：设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，
依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得≤x＜4，再根据题意可得0＜≤1，从而求出﹣5＜m≤1，然后解方程可得y＝m+3，再根据题意可得m+3≥0，然后进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜4，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1，
∴﹣5＜m≤1，
由方程得，
y﹣2＝m﹣2+3，
解得：y＝m+3，
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，
∴m≥﹣3，
综上所述，﹣3≤m≤1，
∴符合条件的所有整数m的值为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴符合条件的所有整数m的和为﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）。
11．三角形三边长为7、12、a，则a的取值范围是 5＜a＜19 ．
【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．
解：根据三角形的三边关系，得
12﹣7＜a＜7+12，
即：5＜a＜19．
故答案为：5＜a＜19．
【点评】考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12．把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等 ．
【分析】如果后面的是条件，那么后面跟的是结论，从题意可知条件是线段的垂直平分线上的点，结论是点到这条线段的两个端点的距离相等从而可得出答案．
解：把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式为如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
【点评】本题考查命题，关键知道命题由题设和结论组成，准确地找到题设和结论．
13．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为 15 ．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
解：∵BD垂直平分线段AG，
∴BA＝BG＝BF+FG＝1+3＝4，
∵CE垂直平分线段AF，
∴CA＝CF＝CG+FG＝2+3＝5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+5+6＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是 3＜x≤10 ．
【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可求出x的取值范围．
解：依题意得：，
解得：3＜x≤10，
∴x的取值范围是3＜x≤10．
故答案为：3＜x≤10．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
15．如图，△ABC中，E为BC边上一点，CE＝2BE，点D为AC的中点，连接DE、AE，取DE的中点F，连接AF，若四边形ABEF的面积是6，则△ABC的面积是 12 ．
【分析】设△AEF的面积为x，则△ABE的面积为（6﹣x），由CE＝2BE，得S△AEC＝2S△ABE＝12﹣2x，由F为DE的中点，得S△AEF＝S△AFD＝x，由点D为AC中点，得S△AEC＝2S△AED＝4x，进而列出x的方程12﹣2x＝4x，求得x的值，再由S△ABC＝3S△ABE得出结果．
解：设△AEF的面积为x，则△ABE的面积为（6﹣x），
∵CE＝2BE，
∴S△AEC＝2S△ABE＝12﹣2x，
∵F为DE的中点，
∴S△AEF＝S△AFD＝x，
∴S△AED＝2x，
∵点D为AC中点，
∴S△AEC＝2S△AED＝2×2x＝4x，
∴12﹣2x＝4x，
∴x＝2，
∴S△ABC＝3S△ABE＝3（6﹣x）＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，利用三角形的面积关系列出方程是解题关键．
16．邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 5.6 元．
【分析】设第一个信封内装x份答卷（1≤x≤5且x为整数），则第二个信封内装（11﹣x）份答卷，第一个信封的重量为（12x+4）克，第二个信封的重量为[12（11﹣x）+4]＝（﹣12x+136）克，分别求出当x＝1，2，3，4，5时，所贴邮票的总金额，比较后即可得出结论．
解：设第一个信封内装x份答卷（1≤x≤5且x为整数），则第二个信封内装（11﹣x）份答卷，第一个信封的重量为（12x+4）克，第二个信封的重量为[12（11﹣x）+4]＝（﹣12x+136）克．
当x＝1时，12x+4＝16，﹣12x+136＝124，
∴所贴邮票的总金额＝0.8+4+2＝6.8（元）；
当x＝2时，12x+4＝28，﹣12x+136＝112，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×2+4+2＝7.6（元）；
当x＝3时，12x+4＝40，﹣12x+136＝100，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×2+4＝5.6（元）；
当x＝4时，12x+4＝52，﹣12x+136＝88，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×3+0.8×5＝6.4（元）；
当x＝5时，12x+4＝64，﹣12x+136＝76，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×4+0.8×4＝6.4（元）．
∵5.6＜6.4＜6.8＜7.6，
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元．
故答案为：5.6．
【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出两封信的重量．
三、解答题（本题有7小题，共66分）。
17．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．
解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求，
此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．
P和P1都是所求的点．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．
18．解下列不等式（组）：
（1）2x﹣1＞x﹣3；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵2x﹣1＞x﹣3，
∴2x﹣x＞﹣3+1，
∴x＞﹣2；
（2）解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式＜，得：x＞，
则不等式组的解集为＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周长．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
解：∵MN//BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠MBO，∠ACO＝∠OCB，
∴∠MOB＝∠MBO，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∵AB＝5，AC＝6，
∴C△AMN＝AM+AN+MN
＝AM+AN+MO+ON
＝AM+AN+MB+NC
＝AB+AC
＝5+6
＝11，
∴△AMN的周长为11．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
20．已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的取值范围．
【分析】首先解关于x、y的方程组即可利用m表示出x、y的值，然后根据方程的解是负数即可得到一个关于m的不等式组即可求得．
解：解关于x，y的方程组，
得：，
则根据题意得：，
解得：m＜﹣．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式组的解法，关键是解关于x、y的方程组．
21．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠DMA的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，由SAS可得△ABE≌△DBC；
（2）结合（1），由三角形的内角和和三角形的外角性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
（2）解：由（1）知△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等边三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
22．一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．
（1）用含x的代数式表示女生人数．
（2）根据题意，列出关于x的不等式组，并求不等式组的解集．
（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
【分析】（1）由女生人数＝每间住的人数×宿舍间数+18，即可得出结论；
（2）根据“每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围；
（3）由（2）的结论结合x为整数，即可得出宿舍间数及女生人数．
解：（1）∵一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，
∴女生人数为（4x+18）（人）．
（2）依题意得：，
解得：9＜x＜12．
（3）由（2）知9＜x＜12，
∵x为正整数，
∴x＝10或x＝11．
当x＝10时，女生人数为4x+18＝58（人）；
当x＝11时，女生人数为4x+18＝62（人）．
答：可能有10间宿舍，女生58人；或者有11间宿舍，女生62人．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
素材1
某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH＝0.8米，DE＝1.5米．
素材2
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DE长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2
确定箭头形指示牌
小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
【分析】任务1：过点B作BG⊥DC于点G，可证得△BCG≌△DCE（AAS），据此即可判定；
任务2：设BF＝CE＝x，可得BC＝2x+0.8，△ABC的高为1.2米，列不等式，即可求解．
解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图：过点B作BG⊥DC于点G，
∴∠BGC＝90°，
∵四边形EFHD是长方形，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BGC＝∠DEC，
在△BCG与△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（AAS），
∴BG＝DE，
∴最高点B到地面的距离就是线段DE长；
任务2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴设BF＝CE＝x，则BC＝2x+0.8，△ABC的高为2.7﹣1.5＝1.2（米），
长方形的面积为：DH⋅DE＝0.8×1.5＝1.2（平方米），
三角形ABC的面积为：（平方米），
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：1.2×85+（1.2x+0.48）×100≤180，
解得x≤0.25，
故CE长度的最大值为0.25米．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键．
24．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 BD＝AE ，BD，CE与DE的数量关系为 BD+CE＝DE ．
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，即可解决问题；
（2）同（1）得△ABD≌△CAE（AAS），得BD＝AE，CE＝AD，即可得出结论；
（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题．
解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE+AD＝DE，
∴BD+CE＝DE，
故答案为：BD＝AE，BD+CE＝DE；
（2）成立，BD+CE＝DE，理由如下：
同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∵AE+AD＝DE，
∴BD+CE＝DE；
（3）存在，理由如下：
当△DAB≌△ECA时，AD＝CE，BD＝AE＝7cm，
∵AD+AE＝DE＝10cm，
∴CE＝AD＝DE﹣AE＝3cm，
∴t＝＝，
∴x＝3÷＝2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD＝AE＝DE＝5cm，DB＝EC＝7cm，
∴t＝＝，x＝7÷＝，
综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
2023-2024学年浙江省杭州市临平区七年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）。
1．利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
5．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
7．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
8．设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）
A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇
9．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
二、填空题（每小题4分，共24分）。
11．三角形三边长为7、12、a，则a的取值范围是 ．
12．把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式 ．
13．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为 ．
14．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是 ．
15．如图，△ABC中，E为BC边上一点，CE＝2BE，点D为AC的中点，连接DE、AE，取DE的中点F，连接AF，若四边形ABEF的面积是6，则△ABC的面积是 ．
16．邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
三、解答题（本题有7小题，共66分）。
17．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
18．解下列不等式（组）：
（1）2x﹣1＞x﹣3；
（2）．
19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周长．
20．已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的取值范围．
21．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠DMA的度数．
22．一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．
（1）用含x的代数式表示女生人数．
（2）根据题意，列出关于x的不等式组，并求不等式组的解集．
（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
素材1
某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH＝0.8米，DE＝1.5米．
素材2
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DE长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2
确定箭头形指示牌
小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
24．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，BD，CE与DE的数量关系为 ．
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）。
1．利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2．式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，
∴共4个不等式．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
3．如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
解：连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理：SAS，ASA，AAS，SSS是解题的关键．
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
【分析】如果a、b的值满足条件，不满足结论，则这组值能说明这个命题是假命题．
解：因为当a＝﹣3，b＝2时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，
所以利用a＝﹣3，b＝2可说明这个命题是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可．
解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
故A不符合题意；
∵a＞b，
∴，
故B符合题意；
当c＝0时，ac2＝bc2，
故C不符合题意；
∵a＞b，
∴2a＞2b，
∴2a﹣1＞2b﹣1，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【分析】在△ABC中，先根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，再根据BD是△ABC的高线可得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
解：在△ABC中，
∵∠A＝60°，∠ABC＝80°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABC＝40°．
∵BD是△ABC的高线，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
7．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据全等三角形的性质求出∠DBC的度数，计算即可．
解：∵∠A＝80°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠DBC＝∠ACB＝40°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）
A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇
【分析】本题可先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的物体的质量的大小，可知〇＞□，2个Δ＝一个□即△＜□，由此可得出答案．
解：由图（1）可知，1个〇的质量大于1个□的质量，
由图（2）可知，1个□的质量等于2个△的质量，
∴1个□质量大于1个△质量．
故按质量从小到大的顺序排列为△□〇．
故选：D．
【点评】本题考查的是质量的比较大小，解此类题目要注意将相同的质量的物体去掉再比较大小．
9．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，根据“购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，此题得解．
解：设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，
依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得≤x＜4，再根据题意可得0＜≤1，从而求出﹣5＜m≤1，然后解方程可得y＝m+3，再根据题意可得m+3≥0，然后进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜4，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1，
∴﹣5＜m≤1，
由方程得，
y﹣2＝m﹣2+3，
解得：y＝m+3，
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，
∴m≥﹣3，
综上所述，﹣3≤m≤1，
∴符合条件的所有整数m的值为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴符合条件的所有整数m的和为﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）。
11．三角形三边长为7、12、a，则a的取值范围是 5＜a＜19 ．
【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．
解：根据三角形的三边关系，得
12﹣7＜a＜7+12，
即：5＜a＜19．
故答案为：5＜a＜19．
【点评】考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12．把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等 ．
【分析】如果后面的是条件，那么后面跟的是结论，从题意可知条件是线段的垂直平分线上的点，结论是点到这条线段的两个端点的距离相等从而可得出答案．
解：把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式为如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
【点评】本题考查命题，关键知道命题由题设和结论组成，准确地找到题设和结论．
13．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为 15 ．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
解：∵BD垂直平分线段AG，
∴BA＝BG＝BF+FG＝1+3＝4，
∵CE垂直平分线段AF，
∴CA＝CF＝CG+FG＝2+3＝5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+5+6＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是 3＜x≤10 ．
【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可求出x的取值范围．
解：依题意得：，
解得：3＜x≤10，
∴x的取值范围是3＜x≤10．
故答案为：3＜x≤10．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
15．如图，△ABC中，E为BC边上一点，CE＝2BE，点D为AC的中点，连接DE、AE，取DE的中点F，连接AF，若四边形ABEF的面积是6，则△ABC的面积是 12 ．
【分析】设△AEF的面积为x，则△ABE的面积为（6﹣x），由CE＝2BE，得S△AEC＝2S△ABE＝12﹣2x，由F为DE的中点，得S△AEF＝S△AFD＝x，由点D为AC中点，得S△AEC＝2S△AED＝4x，进而列出x的方程12﹣2x＝4x，求得x的值，再由S△ABC＝3S△ABE得出结果．
解：设△AEF的面积为x，则△ABE的面积为（6﹣x），
∵CE＝2BE，
∴S△AEC＝2S△ABE＝12﹣2x，
∵F为DE的中点，
∴S△AEF＝S△AFD＝x，
∴S△AED＝2x，
∵点D为AC中点，
∴S△AEC＝2S△AED＝2×2x＝4x，
∴12﹣2x＝4x，
∴x＝2，
∴S△ABC＝3S△ABE＝3（6﹣x）＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，利用三角形的面积关系列出方程是解题关键．
16．邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 5.6 元．
【分析】设第一个信封内装x份答卷（1≤x≤5且x为整数），则第二个信封内装（11﹣x）份答卷，第一个信封的重量为（12x+4）克，第二个信封的重量为[12（11﹣x）+4]＝（﹣12x+136）克，分别求出当x＝1，2，3，4，5时，所贴邮票的总金额，比较后即可得出结论．
解：设第一个信封内装x份答卷（1≤x≤5且x为整数），则第二个信封内装（11﹣x）份答卷，第一个信封的重量为（12x+4）克，第二个信封的重量为[12（11﹣x）+4]＝（﹣12x+136）克．
当x＝1时，12x+4＝16，﹣12x+136＝124，
∴所贴邮票的总金额＝0.8+4+2＝6.8（元）；
当x＝2时，12x+4＝28，﹣12x+136＝112，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×2+4+2＝7.6（元）；
当x＝3时，12x+4＝40，﹣12x+136＝100，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×2+4＝5.6（元）；
当x＝4时，12x+4＝52，﹣12x+136＝88，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×3+0.8×5＝6.4（元）；
当x＝5时，12x+4＝64，﹣12x+136＝76，
∴所贴邮票的总金额＝0.8×4+0.8×4＝6.4（元）．
∵5.6＜6.4＜6.8＜7.6，
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元．
故答案为：5.6．
【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出两封信的重量．
三、解答题（本题有7小题，共66分）。
17．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．
解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求，
此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．
P和P1都是所求的点．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．
18．解下列不等式（组）：
（1）2x﹣1＞x﹣3；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵2x﹣1＞x﹣3，
∴2x﹣x＞﹣3+1，
∴x＞﹣2；
（2）解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式＜，得：x＞，
则不等式组的解集为＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周长．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
解：∵MN//BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠MBO，∠ACO＝∠OCB，
∴∠MOB＝∠MBO，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∵AB＝5，AC＝6，
∴C△AMN＝AM+AN+MN
＝AM+AN+MO+ON
＝AM+AN+MB+NC
＝AB+AC
＝5+6
＝11，
∴△AMN的周长为11．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
20．已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的取值范围．
【分析】首先解关于x、y的方程组即可利用m表示出x、y的值，然后根据方程的解是负数即可得到一个关于m的不等式组即可求得．
解：解关于x，y的方程组，
得：，
则根据题意得：，
解得：m＜﹣．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式组的解法，关键是解关于x、y的方程组．
21．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠DMA的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，由SAS可得△ABE≌△DBC；
（2）结合（1），由三角形的内角和和三角形的外角性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
（2）解：由（1）知△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等边三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
22．一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．
（1）用含x的代数式表示女生人数．
（2）根据题意，列出关于x的不等式组，并求不等式组的解集．
（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
【分析】（1）由女生人数＝每间住的人数×宿舍间数+18，即可得出结论；
（2）根据“每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围；
（3）由（2）的结论结合x为整数，即可得出宿舍间数及女生人数．
解：（1）∵一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，
∴女生人数为（4x+18）（人）．
（2）依题意得：，
解得：9＜x＜12．
（3）由（2）知9＜x＜12，
∵x为正整数，
∴x＝10或x＝11．
当x＝10时，女生人数为4x+18＝58（人）；
当x＝11时，女生人数为4x+18＝62（人）．
答：可能有10间宿舍，女生58人；或者有11间宿舍，女生62人．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
素材1
某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH＝0.8米，DE＝1.5米．
素材2
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DE长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2
确定箭头形指示牌
小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
【分析】任务1：过点B作BG⊥DC于点G，可证得△BCG≌△DCE（AAS），据此即可判定；
任务2：设BF＝CE＝x，可得BC＝2x+0.8，△ABC的高为1.2米，列不等式，即可求解．
解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图：过点B作BG⊥DC于点G，
∴∠BGC＝90°，
∵四边形EFHD是长方形，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BGC＝∠DEC，
在△BCG与△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（AAS），
∴BG＝DE，
∴最高点B到地面的距离就是线段DE长；
任务2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴设BF＝CE＝x，则BC＝2x+0.8，△ABC的高为2.7﹣1.5＝1.2（米），
长方形的面积为：DH⋅DE＝0.8×1.5＝1.2（平方米），
三角形ABC的面积为：（平方米），
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：1.2×85+（1.2x+0.48）×100≤180，
解得x≤0.25，
故CE长度的最大值为0.25米．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键．
24．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 BD＝AE ，BD，CE与DE的数量关系为 BD+CE＝DE ．
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，即可解决问题；
（2）同（1）得△ABD≌△CAE（AAS），得BD＝AE，CE＝AD，即可得出结论；
（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题．
解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE+AD＝DE，
∴BD+CE＝DE，
故答案为：BD＝AE，BD+CE＝DE；
（2）成立，BD+CE＝DE，理由如下：
同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∵AE+AD＝DE，
∴BD+CE＝DE；
（3）存在，理由如下：
当△DAB≌△ECA时，AD＝CE，BD＝AE＝7cm，
∵AD+AE＝DE＝10cm，
∴CE＝AD＝DE﹣AE＝3cm，
∴t＝＝，
∴x＝3÷＝2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD＝AE＝DE＝5cm，DB＝EC＝7cm，
∴t＝＝，x＝7÷＝，
综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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