浙江省宁波市鄞州区九年级十二校联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023学年第一学期九年级阶段性检测（数学试卷）

一、   选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．）

1．下列各式中，y是x的二次函数的是（     ）

A．        B．  C．     D．

2．已知⊙O的半径是4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　）

A．3 B．4 C．4.5 D．5

3．已知△ABC∽△DEF，AB=4，DE=8，若△ABC的面积是6，则△DEF的面积是（     ）

A． 12              B．  16        C． 24     D． 32

4．若（），则下列比例式成立的是（　　）

A． B． C． D．

5．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（     ）

A．              B． 

C．              D．

6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE ，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　）

A．45° B．55° C．60° D．100°

7. 如图，AB是⊙O的直径，弦AC，BD交于点E，若弧CD的度数是54°，则∠AED的度数是（　　）

A．54°        B．60°          C．63°           D．72°

8. 如图，△ABC的中线BD，CE交于点F，连结DE，则S△ADE：S△DEF＝（　　）            

A．2：1        B．4：1           C． 5：2 D．3：1

9．已知：点，，都在抛物线上，则的大小关系是（     ）

A．  B．    C．     D．

10．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=8，AB=10，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（　　）

甲：若CP=4，则有3种不同的剪法；乙：若CP=2，则有4种不同的剪法；

丙：若CP=1，则有3种不同的剪法．

A．只有甲错 B．只有乙错 C．只有丙错      D．甲、乙、丙都对

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分．）

11．二次函数的顶点坐标是       ．

12．若，则的值为        ．

13. 如图，AB是⊙O 的弦，C是弧AB的中点，OC交AB于点D．若AB=8cm，CD=2 cm，则⊙O 的半径为 　     　 cm.

14．如图，7个边长为1的正方形拼成一个长方形，连结AC和BD交正方形边长于点E，F，则EF的长是_____．

15．二次函数的图象经过点（1，－1），则a+b的值等于       ，设该函数的顶点为，则的最大值等于 _______.

16．如图，在△ABC中，AB=AC=m， D为BC的中点，BD=n，E，F分别在AB，AC上，若∠EDF=90° －∠A，则△AEF的周长是__________.（用含m，n的代数式表示）

三、   解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本题6分）已知抛物线经过点（－2，0），（6，0）.

（1）求该抛物线的对称轴.

（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

 18．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且位于AB异侧，弧BC，弧AD的度数分别为60°，100°，请仅用直尺按要求作图.

（1）画出一个大小为30°的角，并写出该角.

（2）画出一个以AD为腰的等腰三角形，并写出该等腰三角形.

19. （本题8分）已知：如图，△ABC 中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．

（1）求证：△ABD∽ △CBA  ．

（2）若△ABC的周长为11，请求出AD的长．

20．（本题10分）如图，抛物线与直线相交于点A，B，点A的横坐标为-4，与轴相交于点C（0，-1）．

（1）求出抛物线的解析式．

（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．

（3）根据图象，当时，直接写出自变量的取值范围．

21．（本题10分）跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距AB为8米，手到地面的距离AO和BD均为0.8米，身高为1.5米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为.

（1）求该抛物线的解析式.

（2）当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离.

（3）如果小明站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高.

22．（本题12分）如图1，⊙O的直径AB=，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD．

（1）判断△ABD的形状，并说明理由．

（2）如图2，点F是弧AD上一点，BF交AD于点E．

①求证：FE•EB=AE•DE；

②若AF=0.8，求FE的长．

23．（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且AD=8，BD=2，Rt△FEG的直角顶点E在AC边上运动，一条直角边EG经过点B，且与CD交于点N，另一条直角边EF与AB交于点M．

（1）求证：△AEM∽△CBN；

（2）若E是AC的中点，求的值．

（2）若，求的值（用含k的代数式表示）．

参考答案

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）

三、解答题（本大题有7个小题，第17题6分，第18，19题每题8分，第20，21题每题10分，第22，23题每题12分，共66分）

17.解：（1）把（-2，0），（6，0）代入抛物线解析式得：，

解得：，

则抛物线解析式为，

∴抛物线的对称轴为直线；‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧4分

（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，a＞0，开口向上，

则时，y随x的增大而减小‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧6分

18. （1）∠CAB‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧(3+1)分（2）等腰△DAE‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧(3+1)分

19.（1）证明：∵，，，

∴，

且，

∴．‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧4分

（2）∵△ABC的周长为11，，，

∴AC=5,

∵，

∴

∴AD=2.5‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧8分

20.（1）解：把A（-4，3），C（0，-1）代入抛物线解析式得：，

解得：，

则抛物线解析式为，‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧3分

（2）解：∵抛物线解析式为，当y=0，x=,

∴与x轴交点为，‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧6分

（3）或‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧10分

21．（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，

∵点E和点B均在抛物线的图像上，

∴，

解得

∴该抛物线的解析式为‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧4分

（2）∵抛物线的解析式为，当x=4时，y=3.6‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧6分

（3）解：把代入，

得：，

（米），

即小明的身高是米‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧10分

22．（1）解：△ABD是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴弧AD＝弧BD，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形.‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧4分

（2）证明：∵∠D＝∠F，∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF∽△BED，
∴，

∴FE·EB＝AE·DE.‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧8分

（3）解：∵等腰Rt△ADB，AB＝4，
∴AD＝BD＝4，
∵△AEF∽△BED，
∴，
设EF＝x，
∴DE＝5x，
∴AE＝4-5x，
在Rt△AEF中，
即，
解得x＝0.6．
∴EF＝0.6．‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧12分

23.解：（1）∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°

∴∠A=∠BCD

∵∠MEB=∠ECB=90°

∴∠AEM+∠CEN=∠CEN+∠CBN

∴∠AEM=∠CBN

∴△AEM∽△CBN‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧4分

（2）作EH∥CD交AB于H

∵E为AC的中点

∴

∴

∵BD=2

∴‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧8分

(3)作EH∥CD交AB于H

∵∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB=90°

∴△ACD∽△CBD

∴

∵AD=8，BD=2

∴CD=4,

∵△AEM∽△CBN

∴

∵，

∴

∴

∵EH∥CD

∴

∴‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧12分