
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2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)
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这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析),共30页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校九年级第一学期月考数学试卷(10月份)
一、选择题(有10小题,每小题3分,共30分.)
1.下列函数中,是二次函数的有( )
①y=3(x﹣1)2+1;②y=x+;③y=8x2+1;④y=3x3+2x2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知一个不透明的袋子里装有1个白球,3个黑球,2个红球,每个球除颜色外均相同,现从中任意取出一个球,则下列说法正确的是( )
A.恰好是白球是必然事件
B.恰好是黑球是不确定事件
C.恰好是红球是不可能事件
D.恰好是黑球是不可能事件
3.将抛物线y=﹣(x﹣2)2向右平移1个单位,再向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为( )
A.y=﹣(x﹣1)2+2 B.y=﹣(x﹣1)2﹣2
C.y=﹣(x﹣3)2+2 D.y=﹣(x﹣3)2﹣2
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4,0)和原点,且顶点在第二象限.下列说法正确的是( )
A.a>0
B.当x>﹣1时,y的值随x值的增大而减小
C.b2﹣4ac<0
D.函数值有最小值4a﹣2b+c
5.在同一坐标系中,函数y=ax2与y=ax+a(a<0)的图象的大致位置可能是( )
A. B.
C. D.
6.已知抛物线y=﹣x2+2x+c,若点(0,y1)(1,y2)(3,y3)都在该抛物线上,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y3>y1>y2 B.y3<y2<y1 C.y3>y2>y1 D.y3<y1<y2
7.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点是(﹣1,﹣3),则b,c的值分别是( )
A.2,4 B.2,﹣4 C.﹣2,4 D.﹣2,﹣4
8.若二次函数y=﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3,那么m的值是( )
A.﹣4或 B.﹣2或 C.﹣4 或2 D.﹣2或2
9.如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为y,AE为x,则y关于x的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(﹣1,0),(3,0),直线y=kx+m经过点(﹣1,0),直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c另一个交点的横坐标是4,它们的图象如图所示,有以下结论:
①抛物线对称轴是直线x=1;②a﹣b+c=0;③﹣1<x<3时,ax2+bx+c<0;④若a=,则k=.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本题有8小题,每小题4分,共32分)
11.函数y=x2m﹣1+x﹣3是二次函数,则m= .
12.已知二次函数y=(k﹣1)x2+2x﹣1与x轴有交点,则k的取值范围是 .
13.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:如图是两个可以自由转动的转盘,A盘被分成面积相等的几个扇形,B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°.同学们同时转动两个转盘,如果其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝色,那么可以配成紫色,赢得游戏.若小赵同学同时转动A盘和B盘,她赢得游戏的概率是 .
14.对于竖直向上抛出的物体,在不考虑空气阻力的情况下,有如下的关系式:,其中h是物体上升的高度,v是抛出时的速度,g是重力加速度(g≈10m/s2),t是抛出后的时间.如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出,经过 秒钟后它在离地面20m高的地方.
15.已知y关于x的二次函数y=﹣x2+(m﹣1)x+m,无论m取何值,函数图象恒过定点A,则点A的坐标为 .
16.当今大数据时代,“二维码”广泛应用于我们的日常生活中,某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.在边长为2cm的正方形区域内通过计算机随机掷点,经过大量重复实验,发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右,据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 .
17.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x﹣6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.24m,球场的边界距O点的水平距离为18m.若球一定能越过球网,又不出边界(可落在边界),则h的取值范围是 .
18.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A,B,C三点,连接AC,BC.已知点E坐标为,点D在线段AC上,且.则四边形BCDE面积的大小为 .
三、解答题(本题有7小题,第19~21题每题7分,第22、23题每题8分,第24题9分,第25题12分,共58分)
19.已知:二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)将y=x2﹣4x+3化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值;
(3)当x为何值时,y随x增大而减小,当﹣1≤x<3时,求y的取值范围.
20.如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图,其截面形状可以看作是抛物线的一部分.经测量拱桥的跨度AB为12米,拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米.
(1)在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描出点A,B,C,并用平滑曲线连接;
(2)结合(1)中所画图象,求出该抛物线的表达式;
(3)现有一游船(截面为矩形)宽度为4米,顶棚到水面的高度为2.8米.当游船从拱桥正下方通过时,为保证安全,要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米,请判断该游船能否安全通过此拱桥.
21.我市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图:
(1)直接写出本次随机调查的总人数,并补全条形统计图;
(2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人?
(3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
22.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.中国18岁小将苏翊鸣获得冠军.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0).
这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练.
(1)训练时,苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据,直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0);
(2)训练时,苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米,求着陆点的水平距离为多少?
23.如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点,若直线y=kx+b(k≠0)与抛物线交于A、C两点,已知A(﹣1,0),C(2,m).
(1)求直线AC的函数表达式;
(2)若将直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后,与抛物线只有一个公共点,求此时n的值.
24.供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量,可以帮助农民分配协调农产品,推动全国统一大市场尽快构建完成,给老百姓带来真正的实惠.某供销社指导农民生产和销售当地特产,对该特产的产量与市场需求,成本与售价进行了一系列分析,发现该特产产量y产量(单位:吨)是关于售价x(单位:元/千克)的一次函数,即y产量=200x﹣100;而市场需求量y需求(单位:吨)是关于售价x(单位:元/千克)的二次函数,部分对应值如表.
售价x(元/千克)
…
2
3
4
5
…
需求量y需求(吨)
…
1020
1020
980
900
…
同时还发现该特产售价x(单位:元/千克),成本z(单位:元/千克)随着时间t(月份)的变化而变化,其函数解析式分别为x=t+1,.
(1)直接写出市场需求量y需求关于售价x的函数解析式(不要求写出自变量取值范围);
(2)哪个月份出售这种特产每千克获利最大?最大值是多少?
(3)供销社发挥职能作用,避免浪费,指导农民生产,若该特产的产量与市场需求量刚好相等,求此时出售全部特产获得的总利润.
25.如图,抛物线y=a(x﹣h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点?若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.
参考答案
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分.请选出各题中唯一的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.下列函数中,是二次函数的有( )
①y=3(x﹣1)2+1;②y=x+;③y=8x2+1;④y=3x3+2x2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,进而判断得出答案.
解:①y=3(x﹣1)2+1,是二次函数,故此选项符合题意;
②y=x+,不是二次函数,故此选项不符合题意;
③y=8x2+1,是二次函数,故此选项符合题意;
④y=3x3+2x2,不是二次函数,故此选项不合题意.
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确掌握相关函数定义是解题关键.
2.已知一个不透明的袋子里装有1个白球,3个黑球,2个红球,每个球除颜色外均相同,现从中任意取出一个球,则下列说法正确的是( )
A.恰好是白球是必然事件
B.恰好是黑球是不确定事件
C.恰好是红球是不可能事件
D.恰好是黑球是不可能事件
【分析】根据随机事件,必然事件,不可能事件进行逐项分析即可.
解:A.恰好是白球是随机事件,故该选项错误;
B.恰好是黑球是随机事件,所以是不确定事件,故该选项正确;
C.恰好是红球是随机事件,故该选项错误;
D.恰好是黑球是随机事件,可能发生也可能不发生,故该选项错误.
故选:B.
【点评】本题考查事件的分类,理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键.
3.将抛物线y=﹣(x﹣2)2向右平移1个单位,再向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为( )
A.y=﹣(x﹣1)2+2 B.y=﹣(x﹣1)2﹣2
C.y=﹣(x﹣3)2+2 D.y=﹣(x﹣3)2﹣2
【分析】求出原抛物线的顶点坐标,再根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减,求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可.
解:∵抛物线y=﹣(x﹣2)2的顶点坐标为(2,0),
∴向右平移1个单位,再向下平移2个单位后的顶点坐标是(3,﹣2)
∴所得抛物线解析式是y=﹣(x﹣3)2﹣2,
故选:D.
【点评】主要考查的是函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4,0)和原点,且顶点在第二象限.下列说法正确的是( )
A.a>0
B.当x>﹣1时,y的值随x值的增大而减小
C.b2﹣4ac<0
D.函数值有最小值4a﹣2b+c
【分析】采用形数结合的方法解题,根据抛物线的开口方向,对称轴的位置判断a、b、c的符号,把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题.
解:∵抛物线的开口方向下,
∴a<0.故A错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4,0)和原点,且顶点在第二象限,
对称轴x==﹣2,
∴当x>﹣1时,y的值随x值的增大而减小,
故B正确;
∵y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,故③不正确;
∵a<0,对称轴x=﹣2,
∴x=﹣2时,函数值有最大值4a﹣2b+c,
故④不正确;
故选:B.
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,根的判别式的熟练运用.
5.在同一坐标系中,函数y=ax2与y=ax+a(a<0)的图象的大致位置可能是( )
A. B.
C. D.
【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限,然后作出选择.
解:∵a<0,
∴二次函数y=ax2的图象的开口方向是向下;
一次函数y=ax+a(a<0)的图象经过第二、三、四象限;
故选:B.
【点评】应该熟记正比例函数y=kx在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
6.已知抛物线y=﹣x2+2x+c,若点(0,y1)(1,y2)(3,y3)都在该抛物线上,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y3>y1>y2 B.y3<y2<y1 C.y3>y2>y1 D.y3<y1<y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴,根据A,B,C三点与对称轴的距离大小关系求解.
解:∵y=﹣x2+2x+c=﹣(x﹣1)2+1+c,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∵0﹣1<1﹣1<3﹣1,
∴y2>y1>y3,
故选:D.
【点评】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,明确抛物线开口向下时离对称轴越近y最大是解题的关键.
7.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点是(﹣1,﹣3),则b,c的值分别是( )
A.2,4 B.2,﹣4 C.﹣2,4 D.﹣2,﹣4
【分析】根据二次函数y=﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向,由二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点是(﹣1,﹣3)确定该函数的顶点坐标,然后根据顶点坐标公式解答b、c的值.
解:∵二次函数y=﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1<0,
∴该函数的图象的开口方向向下,
∴二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标(﹣1,﹣3)就是该函数的顶点坐标,
∴﹣1=,即b=﹣2;①
﹣3=,即b2+4c+12=0;②
由①②解得,b=﹣2,c=﹣4;
故选:D.
【点评】本题考查对二次函数最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.
8.若二次函数y=﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3,那么m的值是( )
A.﹣4或 B.﹣2或 C.﹣4 或2 D.﹣2或2
【分析】表示出对称轴,分三种情况,找出关于m的方程,解之即可得出结论.
解:∵y=﹣x2+mx,
∴抛物线开口向下,抛物线的对称轴为直线x=﹣=,
①当≤﹣1,即m≤﹣2时,当x=﹣1时,函数最大值为3,
∴﹣1﹣m=3,
解得:m=﹣4;
②当≥2,即m≥4时,当x=2时,函数最大值为3,
∴﹣4+2m=3,
解得:m=(舍去).
③当﹣1<<2,即﹣2<m<4时,当x=时,函数最大值为3,
∴﹣+=3,
解得m=2或m=﹣2(舍去),
综上所述,m=﹣4或m=2,
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程,解题的关键是:分三种情况,找出关于m的方程.
9.如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为y,AE为x,则y关于x的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x,根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CGF﹣S△DHG,求函数关系式,判断函数图象即可.
解:根据题意,正方形ABCD的边长为1,AE=BF=CG=DH=x,
∴BE=CF=DG=AH=1﹣x,
∴y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CGF﹣S△DHG
=
=2x2﹣2x+1(0≤x≤1),
该函数图象开口向上,对称轴为,
所以,四个选项中B符合题意,A、C、D不符合题意.
故选:B.
【点评】本题主要考查了二次函数的综合运用,正方形的性质,解题关键是根据题意,列出函数关系式,判断图形的自变量取值范围,开口方向及对称轴.
10.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(﹣1,0),(3,0),直线y=kx+m经过点(﹣1,0),直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c另一个交点的横坐标是4,它们的图象如图所示,有以下结论:
①抛物线对称轴是直线x=1;②a﹣b+c=0;③﹣1<x<3时,ax2+bx+c<0;④若a=,则k=.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】①根据抛物线与x轴的两个交点的横坐标求出对称轴方程;
②观察x=﹣1时,抛物线的位置,便可判断;
③由函数图象在﹣1<x<3时的位置特征进行判断;
③由对称轴求得b的值,再把(﹣1,0)代入抛物线的解析式,求得c的值,从而得出抛物线的解析式,再求出直线与抛物线的另一个交点坐标,最后用待定系数法求得k.
解:①由题意得,抛物线对称轴是直线x=,
故①正确;
②当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,
故②正确;
③由函数图象可知,当﹣1<x<3时,抛物线在x轴下方,
∴ax2+bx+c<0,
故③正确;
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣,
∴b=﹣2a,
∵a=,
∴b=﹣1,
∵x=1时,y=a﹣b+c=0,即,
∴,
∴抛物线的解析式为:,
当x=4时,=,
∴直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c另一个交点为(4,),
把(﹣1,0)和(4,)代入y=kx+m,得
,
解得,k=,
故④正确.
故选:D.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法,一次函数的性质,逐一分析各条结论的正误是解题的关键.
二、填空题(本题有8小题,每小题4分,共32分)
11.函数y=x2m﹣1+x﹣3是二次函数,则m= .
【分析】根据二次函数的定义得到2m﹣1=2,解方程求出m即可.
解:∵函数y=x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数,
∴2m﹣1=2,
∴m=.
故答案为:.
【点评】本题考查了二次函数.解题的关键是掌握二次函数的定义:函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)叫二次函数.
12.已知二次函数y=(k﹣1)x2+2x﹣1与x轴有交点,则k的取值范围是 k≥0且k≠1 .
【分析】根据抛物线与x轴有交点,可得相应方程有实数根,根据根的判别式,可得答案.
解:y=(k﹣1)x2+2x﹣1为二次函数,
∴k﹣1≠0.
∴k≠1,
由二次函数y=(k﹣1)x2+2x﹣1与x轴有交点,得
(k﹣1)x2+2x﹣1=0有实数根,
Δ=b2﹣4ac=4k≥0,
解得k≥0,
故答案为:k≥0且k≠1.
【点评】本题考查了了抛物线与x轴的交点,利用根的判别式得出不等式是解题关键.
13.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:如图是两个可以自由转动的转盘,A盘被分成面积相等的几个扇形,B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°.同学们同时转动两个转盘,如果其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝色,那么可以配成紫色,赢得游戏.若小赵同学同时转动A盘和B盘,她赢得游戏的概率是 .
【分析】画树状图,共有9种等可能的结果,其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况,然后由概率公式求解即可.
解:转盘B红色部分圆心角为240°,相当于2个蓝色部分,
画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况,
∴小李同学同时转动A盘和B盘,她赢得游戏的概率是=.
【点评】本题考查了树状图法求概率,正确画出树状图是解题的关键;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
14.对于竖直向上抛出的物体,在不考虑空气阻力的情况下,有如下的关系式:,其中h是物体上升的高度,v是抛出时的速度,g是重力加速度(g≈10m/s2),t是抛出后的时间.如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出,经过 1或4 秒钟后它在离地面20m高的地方.
【分析】把v=25,g=10,h=20代入所给关系式求t的值即可.
解:由题意得:20=25t﹣×10t2.
t2﹣5t+4=0,
解得t1=1,t2=4.
∴1秒或4秒后,物体处在离抛出点20m高的地方.
故答案为:1或4.
【点评】考查二次函数的应用;只需把相关数值代入所给关系式即可.
15.已知y关于x的二次函数y=﹣x2+(m﹣1)x+m,无论m取何值,函数图象恒过定点A,则点A的坐标为 (﹣1,0) .
【分析】把二次函数化简,再把含有m的项提公因式m,然后令m的系数为0求得横坐标,最后求出对应的纵坐标即可得到定点A的坐标.
解:∵y=﹣x2+(m﹣1)x+m=﹣x2+mx﹣x+m=﹣x2+m(x+1)﹣x,
∴当x+1=0,即x=﹣1时,函数图象恒过定点,
此时y=﹣1+1=0,
∴定点A的坐标为(﹣1,0).
故答案为:(﹣1,0).
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是会根据函数的性质求解即可.
16.当今大数据时代,“二维码”广泛应用于我们的日常生活中,某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.在边长为2cm的正方形区域内通过计算机随机掷点,经过大量重复实验,发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右,据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 1.2cm2 .
【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可.
解:根据题意,估计这个区域内白色部分的总面积约为2×2×(1﹣0.7)=1.2(cm2),
故答案为:1.2cm2.
【点评】本题主要考查利用频率估计概率,大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
17.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x﹣6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.24m,球场的边界距O点的水平距离为18m.若球一定能越过球网,又不出边界(可落在边界),则h的取值范围是 h≥ .
【分析】抛物线的表达式为y=(x﹣6)2+h,由题意得:当x=9时,y>2.24,当x=18时,y≤0,即可求解.
解:点A(0,2),将点A的坐标代入抛物线表达式得:2=a(0﹣6)2+h,解得:a=,
故抛物线的表达式为y=(x﹣6)2+h,
由题意得:当x=9时,y=(x﹣6)2+h=(9﹣6)2+h>2.24,解得:h>2.32;
当x=18时,y=(x﹣6)2+h=(18﹣6)2+h≤0,解得:h≥,
故h的取值范围是为h≥,
故答案为h≥.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用题,根据题意求出两个不等式是解题关键.
18.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A,B,C三点,连接AC,BC.已知点E坐标为,点D在线段AC上,且.则四边形BCDE面积的大小为 .
【分析】根据二次函数的解析式求出A,B,C三点的坐标,然后再求出AC所在直线的解析式,设D(x,﹣x﹣3)(﹣3<x<0),根据,求出D点坐标,再利用割补法即可求出四边形BCDE的面积.
解:∵二次函数y=x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A,B,C三点;
∴A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3);
容易求出AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3;
设D(x,﹣x﹣3)(﹣3<x<0),
∵,
∴;
∵;
∴;AB=4,OC=3;
∴;
故答案为:.
【点评】本题考查了二次函数综合问题,涉及到了求二次函数与坐标轴的交点,利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积,熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键.
三、解答题(本题有7小题,第19~21题每题7分,第22、23题每题8分,第24题9分,第25题12分,共58分)
19.已知:二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)将y=x2﹣4x+3化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值;
(3)当x为何值时,y随x增大而减小,当﹣1≤x<3时,求y的取值范围.
【分析】(1)利用配方法把一般式转化为顶点式;
(2)利用(1)的解析式求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值;
(3)以对称轴为界叙述其增减性即可;分别令x=﹣1和2求得函数值后即可确定y的取值范围.
解:(1)y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣4+3=(x﹣2)2﹣1.
(2)由(1)知,该抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1),
抛物线开口朝上,有最小值,最小值为﹣1.
(3)当x<2时 y随x的增大而减小:
∵当x=﹣1时,y=8,
当x=2时,y=﹣1,
∴当﹣1≤x<3时,﹣1≤y≤8.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与性质,顶点坐标的求法,顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h,也考查了学生的应用能力.
20.如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图,其截面形状可以看作是抛物线的一部分.经测量拱桥的跨度AB为12米,拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米.
(1)在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描出点A,B,C,并用平滑曲线连接;
(2)结合(1)中所画图象,求出该抛物线的表达式;
(3)现有一游船(截面为矩形)宽度为4米,顶棚到水面的高度为2.8米.当游船从拱桥正下方通过时,为保证安全,要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米,请判断该游船能否安全通过此拱桥.
【分析】(1)过点A作垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系即可;
(2)待定系数法求抛物线的表达式即可;
(3)游船从拱桥正下方通过时,抛物线的对称轴为 x﹣6.游船也关于直线x=6 对称,宽度为4米,对称轴左右两边各2米,当 x﹣6﹣2=4时,求出y的值,再进行比较即可
解:(1)以点A为原点,AB所在的直线为x轴,过点A作垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
(2)根据题意得:A(0,0),B(12,0),
根据交点式,设抛物线的表达式为 y=a(x﹣0)(x﹣12)=ax2﹣12ax,
代入点C(6,4)得:36a﹣72a=4,
解得a=﹣,
∴抛物线的表达式为 ;
(3)能安全通过,理由如下:
游船从拱桥正下方通过时,抛物线的对称轴为x=6,游船也关于直线x﹣6对称,
宽度为4米,对称轴左右两边各2米,
当x﹣6﹣2=4时,,
∵﹣2.8≈0.76>0.5,
∴该游船能安全通过此拱桥.
【点评】本题考查二次函数的实际应用,熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
21.我市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图:
(1)直接写出本次随机调查的总人数,并补全条形统计图;
(2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人?
(3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
【分析】(1)用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再计算想去B景区的百分比得到m的值;
(2)用1200乘以B区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数;
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数,找出选到A,C两个景区的结果数,然后根据概率公式计算.
解:(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200(人),
C景区人数为200﹣(20+70+20+50)=40(人),
补全条形图如下:
(2)估计去B地旅游的居民约有1200×=420(人);
(3)画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能结果,其中选到A,C两个景区的有2种结果,
所以选到A,C两个景区的概率为.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键.
22.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.中国18岁小将苏翊鸣获得冠军.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0).
这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练.
(1)训练时,苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据,直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0);
(2)训练时,苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米,求着陆点的水平距离为多少?
【分析】(1)根据图表,可以找出最值以及顶点坐标,代入即可求出函数关系表达式;
(2)将y=7代入函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0),求出x的解,即可求出着陆点的水平距离.
解:(1)根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为:(8,23.20),
∴h=8,k=23.20,
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m,
根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00,代入y=a(x﹣8)2+23.20得:
20.00=a(0﹣8)2+23.20,
解得:a=﹣0.05,
∴函数关系式为:y=﹣0.05(x﹣8)2+23.20;
(2)把y=7代入y=﹣0.05(x﹣8)2+23.20,
解得:x=26或x=﹣10(不符合题意舍去),
∴着落点的水平距离为26米.
【点评】本题考查了二次函数的应用,综合性较强,解本题重在读懂题意获取有用信息,求出二次函数关系式,难度较大.
23.如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点,若直线y=kx+b(k≠0)与抛物线交于A、C两点,已知A(﹣1,0),C(2,m).
(1)求直线AC的函数表达式;
(2)若将直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后,与抛物线只有一个公共点,求此时n的值.
【分析】(1)把A(﹣1,0)代入y=﹣x2+2x+c求出抛物线,代入x=2,求出C(2,3),把A(﹣1,0)、C(2,3)代入y=kx+b求直线AC的函数表达式;
(2)直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后的直线为y=x+1+n,联立直线与抛物线,让含x的方程Δ=0.
解:(1)把A(﹣1,0)代入y=﹣x2+2x+c,得c=3,
∴y=﹣x2+2x+3,代入x=2,m=3,
∴C(2,3),
把A(﹣1,0)、C(2,3)代入y=kx+b得,
∴,
∴直线AC的函数表达式为y=x+1;
(2)直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后的直线为y=x+1+n,则﹣x2+2x+3=x+1+n,
∴x2﹣x+n﹣2=0,
∵直线y=x+1+n与抛物线只有一个公共点,
∴Δ=(﹣1)2﹣4×1×(n﹣2)=0,
∴n=.
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质,并与图象平移结合,难度不大.
24.供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量,可以帮助农民分配协调农产品,推动全国统一大市场尽快构建完成,给老百姓带来真正的实惠.某供销社指导农民生产和销售当地特产,对该特产的产量与市场需求,成本与售价进行了一系列分析,发现该特产产量y产量(单位:吨)是关于售价x(单位:元/千克)的一次函数,即y产量=200x﹣100;而市场需求量y需求(单位:吨)是关于售价x(单位:元/千克)的二次函数,部分对应值如表.
售价x(元/千克)
…
2
3
4
5
…
需求量y需求(吨)
…
1020
1020
980
900
…
同时还发现该特产售价x(单位:元/千克),成本z(单位:元/千克)随着时间t(月份)的变化而变化,其函数解析式分别为x=t+1,.
(1)直接写出市场需求量y需求关于售价x的函数解析式(不要求写出自变量取值范围);
(2)哪个月份出售这种特产每千克获利最大?最大值是多少?
(3)供销社发挥职能作用,避免浪费,指导农民生产,若该特产的产量与市场需求量刚好相等,求此时出售全部特产获得的总利润.
【分析】(1)设,将(2,1020),(3,1020),(4,980)代入解方程组即可得到结论;
(2)设每千克获利为w(元/千克),得到w=,根据二次函数的性质即可得到结论;
(3)令y产量=y需求,列方程即可得到结论.
解:(1)设,
将(2,1020),(3,1020),(4,980)代入得:
,
解得:,
∴,
经检验,表内数据符合该解析式,
∴市场需求量y需求关于售价x的函数解析式为;
(2)设每千克获利为w(元/千克),
则
=
=,
∴当t=4时,w有最大值,最大值为,
∴四月份出售这种特产每千克获利最大,最大值为(元/千克);
(3)令y产量=y需求,即200x﹣100=﹣20x2+100x+900,
解得:x=5或﹣10(舍去),
此时x=t+1=5,y产量=y需求=900,
∴t=4,
∴,
∴此时出售全部特产获得的总利润为(元).
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用,利用待定系数法求出函数解析式,掌握二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是关键.
25.如图,抛物线y=a(x﹣h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点?若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.
【分析】(1)由抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标是B(1,2)知:h=1,k=2,则y=a(x﹣1)2+2,再把A点坐标代入此解析式即可;
(2)易知△OAC是等腰直角三角形,可得AC的垂直平分线是直线y=x,根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P,解方程组即可求出P点坐标;
(3)先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标,再与P点的坐标比较进行判断.满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的,易求出直线AC的解析式,设出与AC平行的直线的解析式,令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解,求出交点坐标,通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.
解:(1)∵抛物线y=a(x﹣h)2+k顶点坐标为B(1,2),
∴y=a(x﹣1)2+2,
∵抛物线经过点A(0,1),
∴a(0﹣1)2+2=1,
∴a=﹣1,
∴此抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+2或y=﹣x2+2x+1;
(2)∵A(0,1),C(1,0),
∴OA=OC,
∴△OAC是等腰直角三角形.
过点O作AC的垂线l,根据等腰三角形的“三线合一”的性质知:l是AC的中垂线,
∴l与抛物线的交点即为点P.
如图,直线l的解析式为y=x,
解方程组,
得,(不合题意舍去),
∴点P的坐标为(,);
(3)点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.
由(1)知,点C的坐标为(1,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,
则,解得,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1.
设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m.
解方程组,
代入消元,得﹣x2+2x+1=﹣x+m,
∵此点与AC距离最远,
∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点,
即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根.
整理方程得:x2﹣3x+m﹣1=0,
△=9﹣4(m﹣1)=0,解之得m=.
则x2﹣3x+﹣1=0,解之得x1=x2=,此时y=.
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为(,).
【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式,等腰直角三角形的判定与性质,两函数图象交点坐标的求法,二次函数与一元二次方程的关系,综合性较强,难度适中.
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