2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（有10小题，每小题3分，共30分.）
1．下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y＝3（x﹣1）2+1；②y＝x+；③y＝8x2+1；④y＝3x3+2x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（　　）
A．恰好是白球是必然事件
B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件
D．恰好是黑球是不可能事件
3．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣3）2+2 D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（　　）

A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小
C．b2﹣4ac＜0
D．函数值有最小值4a﹣2b+c
5．在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＜y1＜y2
7．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（　　）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
8．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（　　）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
9．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
10．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），直线y＝kx+m经过点（﹣1，0），直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线x＝1；②a﹣b+c＝0；③﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜0；④若a＝，则k＝．
其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝　 　．
12．已知二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是 　 　．
13．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 　 　．

14．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是抛出后的时间．如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过 　 　秒钟后它在离地面20m高的地方．
15．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 　 　．
16．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动．在边长为2cm的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 　 　．
17．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　 　．

18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为 　 　．

三、解答题（本题有7小题，第19～21题每题7分，第22、23题每题8分，第24题9分，第25题12分，共58分）
19．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值；
（3）当x为何值时，y随x增大而减小，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围．
20．如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．

（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；
（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；
（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．
21．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）直接写出本次随机调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）

22．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．中国18岁小将苏翊鸣获得冠军．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练．
（1）训练时，苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）训练时，苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米，求着陆点的水平距离为多少？
23．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点，若直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于A、C两点，已知A（﹣1，0），C（2，m）．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若将直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时n的值．

24．供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠．某供销社指导农民生产和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量y产量（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的一次函数，即y产量＝200x﹣100；而市场需求量y需求（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的二次函数，部分对应值如表．
售价x（元/千克）
…
2
3
4
5
…
需求量y需求（吨）
…
1020
1020
980
900
…
同时还发现该特产售价x（单位：元/千克），成本z（单位：元/千克）随着时间t（月份）的变化而变化，其函数解析式分别为x＝t+1，．
（1）直接写出市场需求量y需求关于售价x的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
（2）哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？
（3）供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售全部特产获得的总利润．
25．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．



参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y＝3（x﹣1）2+1；②y＝x+；③y＝8x2+1；④y＝3x3+2x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，进而判断得出答案．
解：①y＝3（x﹣1）2+1，是二次函数，故此选项符合题意；
②y＝x+，不是二次函数，故此选项不符合题意；
③y＝8x2+1，是二次函数，故此选项符合题意；
④y＝3x3+2x2，不是二次函数，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确掌握相关函数定义是解题关键．
2．已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（　　）
A．恰好是白球是必然事件
B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件
D．恰好是黑球是不可能事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可．
解：A．恰好是白球是随机事件，故该选项错误；
B．恰好是黑球是随机事件，所以是不确定事件，故该选项正确；
C．恰好是红球是随机事件，故该选项错误；
D．恰好是黑球是随机事件，可能发生也可能不发生，故该选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键．
3．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣3）2+2 D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（3，﹣2）
∴所得抛物线解析式是y＝﹣（x﹣3）2﹣2，
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（　　）

A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小
C．b2﹣4ac＜0
D．函数值有最小值4a﹣2b+c
【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．
解：∵抛物线的开口方向下，
∴a＜0．故A错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限，
对称轴x＝＝﹣2，
∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，
故B正确；
∵y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③不正确；
∵a＜0，对称轴x＝﹣2，
∴x＝﹣2时，函数值有最大值4a﹣2b+c，
故④不正确；
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．
5．在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．
解：∵a＜0，
∴二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向下；
一次函数y＝ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限；
故选：B．
【点评】应该熟记正比例函数y＝kx在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＜y1＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．
解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵0﹣1＜1﹣1＜3﹣1，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近y最大是解题的关键．
7．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（　　）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值．
解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，
∴﹣1＝，即b＝﹣2；①
﹣3＝，即b2+4c+12＝0；②
由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4；
故选：D．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
8．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（　　）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
9．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由已知得BE＝CF＝DG＝AH＝1﹣x，根据y＝S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CGF﹣S△DHG，求函数关系式，判断函数图象即可．
解：根据题意，正方形ABCD的边长为1，AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∴BE＝CF＝DG＝AH＝1﹣x，
∴y＝S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CGF﹣S△DHG
＝
＝2x2﹣2x+1（0≤x≤1），
该函数图象开口向上，对称轴为，
所以，四个选项中B符合题意，A、C、D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合运用，正方形的性质，解题关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．
10．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），直线y＝kx+m经过点（﹣1，0），直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线x＝1；②a﹣b+c＝0；③﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜0；④若a＝，则k＝．
其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线与x轴的两个交点的横坐标求出对称轴方程；
②观察x＝﹣1时，抛物线的位置，便可判断；
③由函数图象在﹣1＜x＜3时的位置特征进行判断；
③由对称轴求得b的值，再把（﹣1，0）代入抛物线的解析式，求得c的值，从而得出抛物线的解析式，再求出直线与抛物线的另一个交点坐标，最后用待定系数法求得k．
解：①由题意得，抛物线对称轴是直线x＝，
故①正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
故②正确；
③由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴下方，
∴ax2+bx+c＜0，
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∵a＝，
∴b＝﹣1，
∵x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，即，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
当x＝4时，＝，
∴直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c另一个交点为（4，），
把（﹣1，0）和（4，）代入y＝kx+m，得
，
解得，k＝，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，一次函数的性质，逐一分析各条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝　　．
【分析】根据二次函数的定义得到2m﹣1＝2，解方程求出m即可．
解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，
∴2m﹣1＝2，
∴m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数．
12．已知二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是 　k≥0且k≠1　．
【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
解：y＝（k﹣1）x2+2x﹣1为二次函数，
∴k﹣1≠0．
∴k≠1，
由二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，得
（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，
Δ＝b2﹣4ac＝4k≥0，
解得k≥0，
故答案为：k≥0且k≠1．
【点评】本题考查了了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式得出不等式是解题关键．
13．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 　　．

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可．
解：转盘B红色部分圆心角为240°，相当于2个蓝色部分，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是抛出后的时间．如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过 　1或4　秒钟后它在离地面20m高的地方．
【分析】把v＝25，g＝10，h＝20代入所给关系式求t的值即可．
解：由题意得：20＝25t﹣×10t2．
t2﹣5t+4＝0，
解得t1＝1，t2＝4．
∴1秒或4秒后，物体处在离抛出点20m高的地方．
故答案为：1或4．
【点评】考查二次函数的应用；只需把相关数值代入所给关系式即可．
15．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 　（﹣1，0）　．
【分析】把二次函数化简，再把含有m的项提公因式m，然后令m的系数为0求得横坐标，最后求出对应的纵坐标即可得到定点A的坐标．
解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣x2+mx﹣x+m＝﹣x2+m（x+1）﹣x，
∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，函数图象恒过定点，
此时y＝﹣1+1＝0，
∴定点A的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会根据函数的性质求解即可．
16．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动．在边长为2cm的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 　1.2cm2　．
【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可．
解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为2×2×（1﹣0.7）＝1.2（cm2），
故答案为：1.2cm2．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　h≥　．

【分析】抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＞2.24，当x＝18时，y≤0，即可求解．
解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；
当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，解得：h≥，
故h的取值范围是为h≥，
故答案为h≥．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意求出两个不等式是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为 　　．

【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出AC所在直线的解析式，设D（x，﹣x﹣3）（﹣3＜x＜0），根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形BCDE的面积．
解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）；
容易求出AC所在直线的解析式为y＝﹣x﹣3；
设D（x，﹣x﹣3）（﹣3＜x＜0），
∵，
∴；
∵；
∴；AB＝4，OC＝3；
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，第19～21题每题7分，第22、23题每题8分，第24题9分，第25题12分，共58分）
19．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值；
（3）当x为何值时，y随x增大而减小，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围．
【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式；
（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值；
（3）以对称轴为界叙述其增减性即可；分别令x＝﹣1和2求得函数值后即可确定y的取值范围．
解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
（2）由（1）知，该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
抛物线开口朝上，有最小值，最小值为﹣1．
（3）当x＜2时 y随x的增大而减小：
∵当x＝﹣1时，y＝8，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴当﹣1≤x＜3时，﹣1≤y≤8．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与性质，顶点坐标的求法，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，也考查了学生的应用能力．
20．如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．

（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；
（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；
（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．
【分析】（1）过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系即可；
（2）待定系数法求抛物线的表达式即可；
（3）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为 x﹣6．游船也关于直线x＝6 对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米，当 x﹣6﹣2＝4时，求出y的值，再进行比较即可
解：（1）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

（2）根据题意得：A（0，0），B（12，0），
根据交点式，设抛物线的表达式为 y＝a（x﹣0）（x﹣12）＝ax2﹣12ax，
代入点C（6，4）得：36a﹣72a＝4，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为 ；
（3）能安全通过，理由如下：
游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为x＝6，游船也关于直线x﹣6对称，
宽度为4米，对称轴左右两边各2米，
当x﹣6﹣2＝4时，，
∵﹣2.8≈0.76＞0.5，
∴该游船能安全通过此拱桥．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
21．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）直接写出本次随机调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）

【分析】（1）用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去B景区的百分比得到m的值；
（2）用1200乘以B区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，C两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%＝200（人），
C景区人数为200﹣（20+70+20+50）＝40（人），
补全条形图如下：

（2）估计去B地旅游的居民约有1200×＝420（人）；
（3）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，
所以选到A，C两个景区的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．
22．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．中国18岁小将苏翊鸣获得冠军．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练．
（1）训练时，苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）训练时，苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米，求着陆点的水平距离为多少？
【分析】（1）根据图表，可以找出最值以及顶点坐标，代入即可求出函数关系表达式；
（2）将y＝7代入函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），求出x的解，即可求出着陆点的水平距离．
解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20，
解得：a＝﹣0.05，
∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
（2）把y＝7代入y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
解得：x＝26或x＝﹣10（不符合题意舍去），
∴着落点的水平距离为26米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，综合性较强，解本题重在读懂题意获取有用信息，求出二次函数关系式，难度较大．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点，若直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于A、C两点，已知A（﹣1，0），C（2，m）．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若将直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时n的值．

【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c求出抛物线，代入x＝2，求出C（2，3），把A（﹣1，0）、C（2，3）代入y＝kx+b求直线AC的函数表达式；
（2）直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后的直线为y＝x+1+n，联立直线与抛物线，让含x的方程Δ＝0．
解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，得c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3，代入x＝2，m＝3，
∴C（2，3），
把A（﹣1，0）、C（2，3）代入y＝kx+b得，
∴，
∴直线AC的函数表达式为y＝x+1；
（2）直线AC沿y轴的正方向向上平移n个单位长度后的直线为y＝x+1+n，则﹣x2+2x+3＝x+1+n，
∴x2﹣x+n﹣2＝0，
∵直线y＝x+1+n与抛物线只有一个公共点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（n﹣2）＝0，
∴n＝．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，并与图象平移结合，难度不大．
24．供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠．某供销社指导农民生产和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量y产量（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的一次函数，即y产量＝200x﹣100；而市场需求量y需求（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的二次函数，部分对应值如表．
售价x（元/千克）
…
2
3
4
5
…
需求量y需求（吨）
…
1020
1020
980
900
…
同时还发现该特产售价x（单位：元/千克），成本z（单位：元/千克）随着时间t（月份）的变化而变化，其函数解析式分别为x＝t+1，．
（1）直接写出市场需求量y需求关于售价x的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
（2）哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？
（3）供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售全部特产获得的总利润．
【分析】（1）设，将（2，1020），（3，1020），（4，980）代入解方程组即可得到结论；
（2）设每千克获利为w（元/千克），得到w＝，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）令y产量＝y需求，列方程即可得到结论．
解：（1）设，
将（2，1020），（3，1020），（4，980）代入得：
，
解得：，
∴，
经检验，表内数据符合该解析式，
∴市场需求量y需求关于售价x的函数解析式为；
（2）设每千克获利为w（元/千克），
则
＝
＝，
∴当t＝4时，w有最大值，最大值为，
∴四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为（元/千克）；
（3）令y产量＝y需求，即200x﹣100＝﹣20x2+100x+900，
解得：x＝5或﹣10（舍去），
此时x＝t+1＝5，y产量＝y需求＝900，
∴t＝4，
∴，
∴此时出售全部特产获得的总利润为（元）．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式，掌握二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键．
25．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．

【分析】（1）由抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是B（1，2）知：h＝1，k＝2，则y＝a（x﹣1）2+2，再把A点坐标代入此解析式即可；
（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y＝x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y＝x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标；
（3）先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线AC的解析式，设出与AC平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标为B（1，2），
∴y＝a（x﹣1）2+2，
∵抛物线经过点A（0，1），
∴a（0﹣1）2+2＝1，
∴a＝﹣1，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2或y＝﹣x2+2x+1；

（2）∵A（0，1），C（1，0），
∴OA＝OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，
∴l与抛物线的交点即为点P．
如图，直线l的解析式为y＝x，
解方程组，
得，（不合题意舍去），
∴点P的坐标为（，）；

（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
由（1）知，点C的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1．
设与AC平行的直线的解析式为y＝﹣x+m．
解方程组，
代入消元，得﹣x2+2x+1＝﹣x+m，
∵此点与AC距离最远，
∴直线y＝﹣x+m与抛物线有且只有一个交点，
即方程﹣x2+2x+1＝﹣x+m有两个相等的实数根．
整理方程得：x2﹣3x+m﹣1＝0，
△＝9﹣4（m﹣1）＝0，解之得m＝．
则x2﹣3x+﹣1＝0，解之得x1＝x2＝，此时y＝．
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中．