海南省儋州市鑫源中学2020-2021学年高二下学期期中考试普高班数学试卷

这是一份海南省儋州市鑫源中学2020-2021学年高二下学期期中考试普高班数学试卷，共16页。
2020-2021学年海南省儋州市鑫源中学普高班高二（下）期中数学试卷
一．单项选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）抛物线y＝2x2的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知f（x）＝lnx+ex，则f′（1）＝（　　）
A．2 B．1+e C．e D．e﹣1
3．（5分）函数f（x）＝sin2x的导数是（　　）
A．2cos2x B．﹣2cos2x C．2sin2x D．﹣2sin2x
4．（5分）椭圆+y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（5分）等差数列1，2a，4a2，…的第五项等于（　　）
A． B．1 C．5 D．16
6．（5分）函数y＝x2（x﹣3）的减区间是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣2，2）
7．（5分）设函数f（x）＝xlnx，则f（x）（　　）
A．﹣e B． C．e2 D．﹣
8．（5分）P为双曲线）上的点，F1、F2为其焦点，若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝60°，则该双曲线的离心率为（　　）
A．+1 B． C．2 D．4
二、多项选择题（每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，则a6的值可以为（　　）
A．﹣2 B．64 C．﹣32 D．﹣64
（多选）10．（5分）下列求导的结果正确的是（　　）
A． B．（1﹣2x）′＝﹣2
C．（xcosx）′＝cosx﹣xsinx D．（e﹣x）′＝e﹣x
（多选）11．（5分）如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象（　　）

A．f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是增函数
B．x＝﹣1是f（x）的极小值点
C．f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数
D．x＝1是f（x）的极大值点
（多选）12．（5分）已知点A（﹣1，﹣3）、B（2，0）和P（x，y）（﹣1＜x＜2，y＜0）＝1（m＞0，n＞0）上，则（　　）
A．C的焦点为（±2，0） B．C的离心率为
C．直线PA的斜率小于1 D．△PAB的面积最大值为3
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）双曲线2x2﹣y2＝8的实轴长是　 　．
14．（5分）设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝　 　．
15．（5分）已知曲线y＝2x2+4x在点P处的切线斜率为16．则P点坐标为　 　．
16．（5分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为　 　．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数，
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x2﹣4x+5
（1）求f（x）的增区间；
（2）求f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．
19．（12分）设数列{an}满足a1＝1，____．请在①an+1＝2an，②其前n项和Sn满足Sn+1＝3Sn+1，③其前n项和Sn满足an+1＝2Sn+1这三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答下列问题：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝an+3n，求数列{bn}的前n项Tn．
20．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a4＝﹣1，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝﹣处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）若g（x）＝f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
22．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2＝1上，求m的值．

2020-2021学年海南省儋州市鑫源中学普高班高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．单项选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）抛物线y＝2x2的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的性质得出准线方程．
【解答】解：∵抛物线方程可化为，∴，
∴抛物线y＝3x2的准线方程为．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
2．（5分）已知f（x）＝lnx+ex，则f′（1）＝（　　）
A．2 B．1+e C．e D．e﹣1
【分析】由题意，先对函数f（x）进行求导，再将x＝1代入即可求解．
【解答】解：已知f（x）＝lnx+ex，函数定义域为（0，+∞），
可得f′（x）＝+ex，
所以f′（1）＝5+e．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运算，属于基础题．
3．（5分）函数f（x）＝sin2x的导数是（　　）
A．2cos2x B．﹣2cos2x C．2sin2x D．﹣2sin2x
【分析】根据复合函数和三角函数的求导公式进行求导即可．
【解答】解：f′（x）＝（sin2x）′＝（2x）′cos5x＝2cos2x．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）椭圆+y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】求得椭圆的a＝2，再由椭圆的定义可得△AF1B的周长为c＝4a＝8．
【解答】解：椭圆 +＝1的a＝4，
由椭圆的定义可得，
△AF8B的周长为c＝|AB|+|AF2|+|BF2|
＝（|AF7|+|AF1|）+（|BF1|+|BF3|）
＝2a+2a＝2a＝8．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
5．（5分）等差数列1，2a，4a2，…的第五项等于（　　）
A． B．1 C．5 D．16
【分析】由等差数列的性质列方程求出a＝．从而等差数列为1，1，1，•••，由此能求出结果．
【解答】解：等差数列1，2a5，…，中，
2×2a＝4+4a2，
解得a＝．
∴等差数列为1，7，1，•••，
∴等差数列1，2a2，…的第五项等于1．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
6．（5分）函数y＝x2（x﹣3）的减区间是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣2，2）
【分析】求出y′，要求函数的减函数，即要y′小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的减区间．
【解答】解：y′＝3x2﹣4x，由y′＜02﹣3x＜0，
因式分解得3x（x﹣2）＜0，可化为或
解得0＜x＜8．
故选：C．
【点评】此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的增减性，会求一元二次不等式的解集，是一道中档题．
7．（5分）设函数f（x）＝xlnx，则f（x）（　　）
A．﹣e B． C．e2 D．﹣
【分析】确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）．
∵f（x）＝xlnx，
∴f′（x）＝lnx+1＝8，可得x＝，
∴0＜x＜，f′（x）＜0，f′（x）＞3，
∴x＝时，f（x）的极小值为﹣．
故选：D．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8．（5分）P为双曲线）上的点，F1、F2为其焦点，若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝60°，则该双曲线的离心率为（　　）
A．+1 B． C．2 D．4
【分析】由直角三角形的锐角三角函数的定义和双曲线的定义、离心率公式，可得所求值．
【解答】解：设双曲线的半焦距为c，则|F1F2|＝7c，
在直角三角形PF1F2中，PF8⊥PF2，且∠PF1F7＝60°，
可得|PF1|＜|PF2|，|PF7|＝2csin60°＝c，|PF2|＝2csin60°＝c，
由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF2|＝2a，即c﹣c＝2a，
可得e＝＝＝+1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
二、多项选择题（每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，则a6的值可以为（　　）
A．﹣2 B．64 C．﹣32 D．﹣64
【分析】根据题意，设数列{an}的公比为q，根据a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6即可计算出a1与q的值，从而可计算出a6的值．
【解答】解：根据题意，由{an}是等比数列，得a2a6＝a4a7＝﹣2a2，解得a1＝﹣2，
设数列{an}的公比为q，则S5＝﹣2﹣2q﹣4q2＝﹣6，解得q＝﹣3或q＝1，
当q＝﹣2时，a7＝（﹣2）6＝64；
当q＝5时，a6＝﹣2．
故选：AB．
【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列求导的结果正确的是（　　）
A． B．（1﹣2x）′＝﹣2
C．（xcosx）′＝cosx﹣xsinx D．（e﹣x）′＝e﹣x
【分析】由题意，根据导数的运算法则，对选项进行逐一分析，进而即可求解．
【解答】解：对于选项A：＝0；
对于选项B：（4﹣2x）′＝﹣2，故选项B正确；
对于选项C：（xcosx）′＝cosx﹣xsinx，故选项C正确；
对于选项D：（e﹣x）′＝（﹣x）′e﹣x＝﹣e﹣x，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了导数的运算，属于基础题．
（多选）11．（5分）如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象（　　）

A．f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是增函数
B．x＝﹣1是f（x）的极小值点
C．f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数
D．x＝1是f（x）的极大值点
【分析】由导函数f'（x）的图象，可判断f（x）在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．
【解答】解：由导函数f'（x）的图象可知，
f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是减函数；
在区间[﹣8，2]上是增函数，4]上是减函数，3]上是增函数、C均正确；
故选：BC．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，熟练掌握导函数与原函数单调性与极值的关系是解决问题的关键，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知点A（﹣1，﹣3）、B（2，0）和P（x，y）（﹣1＜x＜2，y＜0）＝1（m＞0，n＞0）上，则（　　）
A．C的焦点为（±2，0） B．C的离心率为
C．直线PA的斜率小于1 D．△PAB的面积最大值为3
【分析】根据题中的条件，可以确定椭圆方程，进而可以作出判断．
【解答】解：有题意可知，∴，
∴，c2＝12﹣4＝4，
所以椭圆的焦点在y轴上，e＝，
故选项A错误，选项B正确；
∵P（x，y）（﹣1＜x＜2，
∴，由题意可知点P只能在A，B，
∴kPA＜kAB＝1，故C正确，
由题意知|AB|＝＝3，
又由kAB＝1，得直线AB方程为y＝x﹣2，
∵点P在椭圆上，∴P（5cosθ，2，
∴点P到直线AB的距离为d＝＝，
∵﹣1＜x＜2，y＜3，
∴时，距离d最大为，
∴△PAB面积最大值为＝3．
故选：BCD．
【点评】本题考查了椭圆的性质，三角形的面积最值，学生的数学运算能力，属于基础题．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）双曲线2x2﹣y2＝8的实轴长是　4　．
【分析】双曲线2x2﹣y2＝8化为标准方程为，即可求得实轴长．
【解答】解：双曲线2x2﹣y5＝8化为标准方程为
∴a2＝4
∴a＝7
∴2a＝4
即双曲线4x2﹣y2＝2的实轴长是4
故答案为：4
【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．
14．（5分）设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝　　．
【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得＝＝代入可求．
【解答】解：∵q＝2，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题．
15．（5分）已知曲线y＝2x2+4x在点P处的切线斜率为16．则P点坐标为　（3，30）　．
【分析】设出P点坐标P（x0，2+4x0），求出原函数的导函数，由函数在x＝x0处的导数值为16求解x0得答案．
【解答】解：设点P（x0，2+4x8），
由y＝2x2+5x，得y′＝4x+4，
则＝4x0+8，
令4x0+7＝16，得x0＝3，
∴P（4，30）．
故答案为：（3，30）．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
16．（5分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为　　．
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n＝1求得n，则答案可得．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（2，0），而双曲线，则a＝，
则有 解得m＝
∴mn＝
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数，
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程．
【分析】（1）根据导数的运算法则计算即可；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式求解即可．
【解答】解：（1）因为，所以y＝（x）′﹣（，即y'＝8+；
（2）因为点（3，0）在切线上x＝1＝8，
所以切线方程为y﹣0＝2×（x﹣4），即2x﹣y﹣2＝5．
【点评】本题考查了导数的四则运算和利用导数研究函数的切线方程，属基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x2﹣4x+5
（1）求f（x）的增区间；
（2）求f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，即可求f（x）的单调增区间；
（2）求出函数的极值点，列出f（x）在[﹣3，1]上的导函数符号，求出函数的极值与端点值，即可求解函数的最大值和最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝x3+2x6﹣4x+5，
∴f′（x）＝6x2+4x﹣3，
令f′（x）＞0，则x＜﹣2或，则﹣2，
∴所求增区间为；
（2）令f′（x）＝0，得x＝﹣4或x＝，
x
[﹣4，﹣2）
﹣2
（﹣5，）


f′（x）
+
0
﹣
8
+
f（x）
增函数
13
减函数

增函数
∵f（﹣3）＝（﹣3）7+2×（﹣3）7+4×3+7＝8．
f（﹣2）＝13，
f（）＝，
f（1）＝13+2×14﹣4×1+5＝4．
∴函数的最大值为13，最小值为．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力．
19．（12分）设数列{an}满足a1＝1，____．请在①an+1＝2an，②其前n项和Sn满足Sn+1＝3Sn+1，③其前n项和Sn满足an+1＝2Sn+1这三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答下列问题：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝an+3n，求数列{bn}的前n项Tn．
【分析】若选①．（1）由已知可得数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则通项公式可求；
（2）由bn＝an+3n，得bn＝2n﹣1+3n，再由数列的分组求和结合等差数列与等比数列的前n项和公式求解；
若选②．（1）由已知可得数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则通项公式可求；
（2）由bn＝an+3n，得bn＝3n﹣1+3n，再由数列的分组求和结合等差数列与等比数列的前n项和公式求解；
若选③．（1）由已知可得数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则通项公式可求；
（2）由bn＝an+3n，得bn＝3n﹣1+3n，再由数列的分组求和结合等差数列与等比数列的前n项和公式求解．
【解答】解：若选①．
（1）a1＝1，an+4＝2an，
则数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则；
（2）bn＝an+7n，则bn＝2n﹣1+6n，
可得
＝（80+26+...+2n﹣1）+2×（1+2+...+n）
＝＝．
若选②．
（1）a1＝2，其前n项和Sn满足Sn+1＝3Sn+2，
则Sn＝3Sn﹣1+4（n≥2），可得an+1＝8an（n≥2），
由a1＝2，Sn+1＝3Sn+4，得a1+a2＝3a1+1，可得a5＝2a1+2＝3，
满足，则数列{an}是以1为首项，以4为公比的等比数列，则；
（2）bn＝an+7n，则bn＝3n﹣1+6n，
可得
＝（40+32+...+3n﹣1）+8×（1+2+...+n）
＝＝．
若选③．
（1）a8＝1，其前n项和Sn满足an+1＝5Sn+1，
则an＝2Sn﹣7+1（n≥2），可得an+2＝3an，
由an+1＝7Sn+1，得a2＝4a1+1＝8，
满足，则数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则；
（2）bn＝an+3n，则bn＝6n﹣1+3n，
可得
＝（37+31+...+3n﹣1）+3×（3+2+...+n）
＝＝．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，考查等差数列与等比数列的前n项和，是中档题．
20．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a4＝﹣1，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a4＝﹣1，S3＝﹣15，可解得公差d，利用通项公式可得an；
（2）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，再利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵S3＝﹣15．
∴3a3＝﹣15，解得a2＝﹣5，
∵a4＝﹣1，
∴2d＝a8﹣a1＝4，解得d＝7，
∴an＝a4+（n﹣4）×d＝﹣2+（n﹣4）×2＝3n﹣9；
（2）由（1）可知，a1＝﹣6，
＝n2﹣2n＝（n﹣4）2﹣16，
当n＝8时，Sn取得最小值﹣16．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+x2（a∈R）在x＝﹣处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）若g（x）＝f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
【分析】（1）求导数，利用f（x）＝ax3+x2（a∈R）在处取得极值，可得f′（﹣）＝0，即可得出答案；
（2）由（1）得g（x）＝（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．
【解答】解：（1）由题意得f′（x）＝3ax2+6x，
因为f（x）＝ax3+x2（a∈R）在处取得极值，
所以f′（﹣）＝0，
所以3a•+2×（﹣，
解得a＝．
（2）由（1）得g（x）＝（x3+x6）ex，
所以g′（x）＝（x6+2x）ex+（x3+x2）ex＝x（8x2+33x+18）ex，
令g′（x）＝0得x＝0，x＝，
当x＜时，g′（x）＜0，
当＜x＜时，故g（x）为增函数，
当＜x＜3时，故g（x）为减函数，
当x＞0时，g′（x）＞0，
综上所述，g（x）在（﹣∞，，0）内为减函数，）和（0．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2＝1上，求m的值．
【分析】（1）直接由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB的中点M的坐标，代入圆的方程求得m的值．
【解答】解：（1）由题意椭圆C：+＝1（a＞b＞4）的离心率为，5），
得a2＝b2+c6．c＝2，可得a＝2，
∴椭圆C的方程为：．
（2）设点A，B的坐标分别为（x4，y1），（x2，y6），线段AB的中点为M（x0，y0），
由，消去y得2+4mx+7m2﹣8＝7，
Δ＝16m2﹣12（2m6﹣8）＝96﹣8m3＞0，∴﹣2，
∵x0＝（x1+x4）＝﹣m，
∴y7＝x0+m＝m，
∵点M（x0，y0）在圆x3+y2＝1上，
∴m2+m2＝6，∴m＝±．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
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