新疆和田地区和田县2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试卷

这是一份新疆和田地区和田县2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试卷，共23页。

2022-2023学年新疆和田地区和田县高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合，y∈R，，则A*B为（　　）

A．{x|0＜x≤4} B．{x|0≤x≤1或x＞4}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}
2．（5分）若z（2+2i）＝6+2i，则z的虚部为（　　）
A． B．﹣1 C．2 D．1
3．（5分）在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sinA：sinB：sinC＝6：5：4（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）在△ABC中，AD⊥BC，＝3，，则＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（　　）

A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
7．（5分）已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（　　）
A．2 B． C．4 D．2
8．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
9．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）

A． B． C． D．
10．（5分）将函数y＝sin（4x+φ）的图象向左平移个单位，则φ的值不可能是（　　）
A．﹣ B． C． D．
11．（5分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，F1，F2分别为C的左，右焦点，P点在该双曲线的右支上且到直线x＝﹣，若|PF1|+|PF2|＝8，则双曲线的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．以上答案都不对
12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的连续函数y＝f（x）满足：xf′（x）（x）＝xex且f（1）＝﹣3，f（2）＝0．则函数y＝f（x）（　　）
A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值
C．既有极小值又有极大值 D．既无极小值又无极大值
二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）设a∈R，则命题p：a≤1，命题q：a2≤1，则p是q的　 　条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）
14．（5分）的展开式中，常数项为 　 　．（用数字作答）
15．（5分）已知，点B的坐标为（﹣2，1），O为坐标原点，则　 　．
16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB＝AC＝1，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 　 　．

三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等比数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足2Sn＝λan+1﹣1，n∈N*，λ≠0．
（1）求实数λ的值及通项公式an；
（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn，并证明：Tn≤n•Sn．
18．（12分）某中学高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，得其频率分布如下表所示：
组序
分组
频数
频率
第一组
[180，210）
5
0.1
第二组
[210，240）
10
0.2
第三组
[240，270）
12
0.24
第四组
[270，300）
a
b
第五组
[300，330）
6
c
（1）求表中的a、b、c的值；
（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析
（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
19．（12分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，BC＝3．
（1）证明：BC∥平面PAD；
（2）求点C到平面PAD的距离．

20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．
（1）若函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），求证：f（x）≤g（x）；
（2）若函数h（x）＝xe1﹣x+af（x）的最小值为2，求实数a的值．
21．（12分）曲线（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴长为，点在曲线Γ上，且PF1⊥QF1．
（1）求曲线Γ的标准方程；
（2）试通过计算判断直线PQ与曲线Γ公共点的个数．
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）在都以线段F1F2为直径的圆上，且，试求x2的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝1经过伸缩变换后得到曲线C2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：．
（1）写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知定义域为R的奇函数f（x）＝x|x+m|．
（1）解不等式f（x）≥x；
（2）对任意x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，求实数a的取值范围．

2022-2023学年新疆和田地区和田县高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合，y∈R，，则A*B为（　　）

A．{x|0＜x≤4} B．{x|0≤x≤1或x＞4}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}
【分析】根据函数的性质先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B＝{x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，最后根据新定义进行求解即可．
【解答】解：A＝{x|y＝}＝[7，
B＝{y|y＝3x，x＞0}＝（5，+∞），
根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B＝{x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，
∴A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于基础题．
2．（5分）若z（2+2i）＝6+2i，则z的虚部为（　　）
A． B．﹣1 C．2 D．1
【分析】利用复数的运算法则化简z，再根据虚部的定义即可得出．
【解答】解：∵z（2+2i）＝2+2i，
∴z＝＝＝＝2﹣i，
故z的虚部为﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sinA：sinB：sinC＝6：5：4（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可直接求解．
【解答】解：由正弦定理可得，sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝6：5：2，
故可设a＝6x，b＝5x，
由余弦定理可得，cosB＝＝＝
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
4．（5分）在△ABC中，AD⊥BC，＝3，，则＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如图所示，由AD⊥BC，可得•cos＝．再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵AD⊥BC，∴•cos＝．
则＝•cos＝．
故选：A．

【点评】本题考查了数量积运算性质及其投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（0，
由z＝2x+y，得y＝﹣4x+z，当直线y＝﹣2x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（　　）

A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．
【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，
又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，
则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．
7．（5分）已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（　　）
A．2 B． C．4 D．2
【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图
由图象可知，当P点在直线x＝1与x+y＝4的交点时，作出直线与圆相交的弦短．
P的坐标为（6，3），
根据公式|AB|＝2，
可得：|AB|＝2．
故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合观察出通过哪一个点的弦最短是解决本题的关键．属于基础题．
8．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果．
【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲
用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，
元素还有一个排列，有A73种，
而甲乙被分在同一个班的有A34种，
∴满足条件的种数是C42A43﹣A32＝30
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．
9．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．
【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形
故该几何体上部分是一个三棱柱
下部分是三个矩形
故该几何体下部分是一个四棱柱
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，考查学生的识图能力，比较基础．
10．（5分）将函数y＝sin（4x+φ）的图象向左平移个单位，则φ的值不可能是（　　）
A．﹣ B． C． D．
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得φ＝kπ+，k∈z，由此可得结论．
【解答】解：将函数y＝sin（4x+φ）的图象向左平移个单位）+φ]＝﹣sin（4x+φ），
再根据所得函数的图象的一条对称轴为x＝，则4×，k∈z，
故φ≠，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
11．（5分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，F1，F2分别为C的左，右焦点，P点在该双曲线的右支上且到直线x＝﹣，若|PF1|+|PF2|＝8，则双曲线的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【分析】根据双曲线的渐近线互相垂直得到双曲线为等轴双曲线，结合双曲线的定义求出|PF2|＝4﹣a，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线C：＝1（a＞2，
∴双曲线为等轴双曲线，则a＝ba，
则|PF1|﹣|PF8|＝2a，又|PF1|+|PF3|＝8，
得|PF2|＝2﹣a≥c﹣a，即0＜c≤4，则，得a≤2，
设P（x，y），
∵P点在该双曲线的右支上且到直线x＝﹣a的距离为3，
∴x+a＝5﹣a，代入﹣2＝x2﹣a2＝（8﹣a）2﹣a2，
由|PF6|＝4﹣a得|PF2|2＝（4﹣a）2，
即（x﹣c）7+y2＝（4﹣a）6，
即（3﹣a﹣8+＝（3﹣a）2﹣a2＝（4﹣a）2，
整理得3a2﹣16a+20＝0得a＝4或a＝（舍），
则双曲线的方程为，
故选：A．

【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程，利用两点间的距离公式以及双曲线的定义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的连续函数y＝f（x）满足：xf′（x）（x）＝xex且f（1）＝﹣3，f（2）＝0．则函数y＝f（x）（　　）
A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值
C．既有极小值又有极大值 D．既无极小值又无极大值
【分析】由题意可得在（0，+∞）上是增函数，从而可得f′（x）在（0，+∞）上是增函数，从而解得．
【解答】解：∵＝＝＞0，
∴在（8，
∵xf′（x）﹣f（x）＝xex，
∴f′（x）＝+ex，
∵y＝ex在（0，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在（0，+∞）上是增函数，
又∵f′（1）＝﹣6+e＜0，f′（2）＝0+e6＞0，
故f′（x）在（0，+∞）上先负值；
故函数y＝f（x）有极小值，无极大值，
故选：A．
【点评】本题考查了导数的综合应用，关键在于构造函数．
二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）设a∈R，则命题p：a≤1，命题q：a2≤1，则p是q的　必要不充分　条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）
【分析】命题q：a2≤1，可化为：﹣1≤a≤1，可得由q⇒p，反之不成立．即可判断出关系．
【解答】解：依题意，
若p成立，即a≤1成立2≤4成立，故充分性不成立；
命题q：a2≤1，可化为：﹣5≤a≤1，
所以q⇒p，故必要性成立，
所以p是q的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
【点评】本题考查了不等式的解法、充分条件和必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）的展开式中，常数项为 　252　．（用数字作答）
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：＝，展开式的通项公式为10﹣r•x﹣r＝，
令10﹣2r＝0，解得r＝5，
故常数项为．
故答案为：252．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
15．（5分）已知，点B的坐标为（﹣2，1），O为坐标原点，则　（﹣2﹣x，1﹣y）　．
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：设A的坐标为（m，n），
，点B的坐标为（﹣2，
则，即，
O为坐标原点，
故的坐标为（﹣7﹣x．
故答案为：（﹣2﹣x，1﹣y）．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB＝AC＝1，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 　　．

【分析】设△ABP，△ABC的外接圆圆心分别为O1，O2，结合平面几何知识及二面角的定义有，，．设球心为O，则OO1⊥O1H，OO2⊥O2H，通过解直角三角形，求出球心O到平面PAB的距离OO1，再利用截面的性质求出球的半径．
【解答】解：易知△ABP是以PB为斜边的等腰直角三角形，△ABC为等腰三角形，，
设△ABP，△ABC的外接圆圆心分别为O5，O2，所以O1为PB中点，△O8AB为等边三角形．
设AB中点为H，连接O1H，O2H，所以O4H⊥AB，O2H⊥AB
则，，，
设球心为O，则OO1⊥O1H，OO4⊥O2H，设∠OHO1＝θ，则，
所以，解得，
设外接球半径为r．则，
所以表面积．
故答案为：．

【点评】本题考查二面角，三棱锥的外接球，属于中档题．
三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等比数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足2Sn＝λan+1﹣1，n∈N*，λ≠0．
（1）求实数λ的值及通项公式an；
（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn，并证明：Tn≤n•Sn．
【分析】（1）当n≥2时，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝（λan+1﹣1）﹣（λan﹣1），得．又由2S1＝λa2﹣1及S1＝a1＝1得，根据{an}为等比数列，故有，解得λ，即可得出．
（2），利用错位相减法与数列的单调性即可得出．
【解答】解：（1）当n≥2时，2an＝5Sn﹣2Sn﹣1＝（λan+8﹣1）﹣（λan﹣1），得．（2分）
又由5S1＝λa2﹣8及S1＝a1＝8得……………（8分）
因{an}为等比数列，故有；
此时，数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列．………………（2分）
（2）………………（8分）
Tn＝1+2×5+3×32+……+n•3n﹣1，
8Tn＝1×34+2×33+…+（n﹣1）×3n﹣6+n×3n，
相减得：＝
所以，又…………（10分）
故
令，则，故f（n）单调递减，
又f（1）＝0，所以f（n）≤3恒成立n≤nSn．…………（12分）
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）某中学高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，得其频率分布如下表所示：
组序
分组
频数
频率
第一组
[180，210）
5
0.1
第二组
[210，240）
10
0.2
第三组
[240，270）
12
0.24
第四组
[270，300）
a
b
第五组
[300，330）
6
c
（1）求表中的a、b、c的值；
（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析
（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）由5+10+12+a+6＝50得a＝17，再求b、c的值；
（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；
（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．
【解答】解：（1）由5+10+12+a+6＝50得a＝17，b＝，34＝0.12；
（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×；
（3）从5名学生中随机抽取8人共有＝10种取法，
恰好抽到7名男生和1名女生的取法有＝6种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．
19．（12分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，BC＝3．
（1）证明：BC∥平面PAD；
（2）求点C到平面PAD的距离．

【分析】（1）由四边形ABCD是长方形可证BC∥AD，进而可证BC∥平面PAD；
（2）先证明AD⊥平面PDC，再取CD的中点E，连接AE和PE，先证PE⊥平面ABCD，再设点C到平面PAD的距离为h，利用V三棱锥C﹣PDA＝V三棱锥P﹣ACD可得h的值，进而可得点C到平面PAD的距离．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，
因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD；
（2）解：因为四边形ABCD是长方形，
所以BC⊥CD，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，
所以BC⊥平面PDC，
因为BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD，

如图，CD的中点E，
因为PD＝PC＝4，
所以PE⊥CD，
所以，在Rt△PED中，＝，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，
所以PE⊥平面ABCD．
设点C到平面PAD的距离为h，
因为V三棱锥C﹣PDA＝V三棱锥P﹣ACD，
所以，即，
所以点C到平面PAD的距离为．
【点评】本题考查线面平行的判定和点到平面的距离的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．
（1）若函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），求证：f（x）≤g（x）；
（2）若函数h（x）＝xe1﹣x+af（x）的最小值为2，求实数a的值．
【分析】（1）对f（x）求导，得到f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程g（x），然后构造函数s（x）＝g（x）﹣f（x），再证明s（x）≥0即可；
（2）根据函数h（x）的最小值为2，可得a≤﹣1，然后构造函数t（x）＝xe1﹣x+a，求出t（x）的范围，再结合条件求出a的值．
【解答】解：（1）证明：由f（x）＝lnx﹣x，得，
函数f（x）的图象在点（x4，f（x0））处的切线方程为
，即，
∴，
设，则，
当x∈（0，x8）时，s'（x）＜0；
当x∈（x0，+∞）时，s（x）＞5，
所以s（x）≥s（x0）＝0，即f（x）≤g（x）．
（2）因为函数h（x）的最小值为8，所以h（1）＝1﹣a≥2，
从而有a≤﹣4，又，
设t（x）＝xe4﹣x+a，则t′（x）＝（1﹣x）e1﹣x，
当x∈（6，1）时，t（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，t（x）单调递减，
所以t（x）≤t（1）＝5+a≤0，
故h（x）≥h（1）＝1﹣a＝6，解得a＝﹣1．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
21．（12分）曲线（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴长为，点在曲线Γ上，且PF1⊥QF1．
（1）求曲线Γ的标准方程；
（2）试通过计算判断直线PQ与曲线Γ公共点的个数．
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）在都以线段F1F2为直径的圆上，且，试求x2的取值范围．

【分析】（1）c＝1，b＝⇒a＝2可得；
（2）由PF1⊥QF1得，由此得到Q的坐标，然后求出PQ的方程，再将直线PQ代入椭圆的方程中，得到关于x的一元二次方程，根据方程的根判断公共点的个数；
（3）依题意得x1x2+y1y2＝x1+x2，可得y1y2＝x1+x2﹣x1x2，两边平方后消去后整理成关于x1的二次方程，由判别式大于等于0解关于x2的不等式可得．
【解答】解：（1）∵曲线Γ的左右焦点分别为F1（﹣1，8）、F2（1，6）．
∴，c＝1，
∴曲线Γ的标准方程为．
（2）将P（﹣）代入+，解得y0＝±，
不妨取y0＝，则P（﹣，），
设Q（﹣4，t）1⊥QF3，∴，
又，QF1＝（7，﹣t），
∴，∴，
∴，∴直线PQ的方程为，
由，得，∴，
∴直线PQ与曲线Γ相切，只有一个交点；
同理，当时，直线PQ与曲线Γ相切．
（3）方法一：依题意，得x8x2+y1y7＝x1+x2，可得y3y2＝x1+x8﹣x1x2，
两边平方，得＝+++8x1x2＝5x5﹣2x1，
∴（1﹣）（1﹣+++2x1x8﹣2x2﹣2x7，
∴3﹣﹣+＝+++2x2x2﹣2x2﹣6x1，
∴2+21x2﹣3x1﹣2x2﹣1＝5，
2（1﹣x7）+3x1（x2﹣）+2，
∴Δ＝[2x4（1﹣x2）]2﹣8（1﹣x7）（2﹣1）≥0，
∴（8﹣x2）（﹣﹣3，
∴（1﹣x2）（x5+1）（﹣﹣2x2+4）≥0，
∵﹣1≤x2≤1，﹣1≤x6≤1，∴﹣2+2≥8，
∴+2x2﹣2≤7，（x2+1）6≤3，
∴﹣≤x8+1≤，∴﹣2≤﹣8，
又x2≥﹣1，∴﹣6≤x2≤﹣8，
∴x2的取值范围为．
方法二：因为，∴x1x2+y6y2＝x1+x7，
∴（x2﹣1）x4+y2y1﹣x5＝0，∴，
∴，∴，
又﹣1≤x5≤1，∴，
∴x4的取值范围为．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，是难题．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝1经过伸缩变换后得到曲线C2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：．
（1）写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换和在余弦型函数性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C1：x2+y4＝1经过伸缩变换后得到曲线C7为：，转换为参数方程为．
直线l的极坐标方程为：，根据．
（2）设曲线C2上的点P（2cosθ，sinθ），
所以点P到直线l的距离d＝＝（），
当cos（θ﹣α）＝1时，即θ＝α+2kπ（k∈Z）时，，
即点P（）．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知定义域为R的奇函数f（x）＝x|x+m|．
（1）解不等式f（x）≥x；
（2）对任意x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，求实数a的取值范围．
【分析】由题意先求出m，代入求函数解析式；
（1）由x|x|≥x可得或，从而解不等式；
（2）由f（x）＝可知f（x）在R上单调递增，从而化对任意x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2为f（1+a）﹣f（1）≤2，从而解得．
【解答】解：∵f（x）＝x|x+m|是定义域为R的奇函数，
∴m＝0，
∴f（x）＝x|x|；
（1）由x|x|≥x得，
或；
解得，x≥6或﹣1≤x≤0，
故不等式的解集为{x|x≥2或﹣1≤x≤0}；
（2）f（x）＝，
则f（x）在R上单调递增，
∴f（x）在[1，1+a]上单调递增，
∴f（7+a）﹣f（1）≤2，
即（1+a）|7+a|﹣1≤2，
又∵2+a＞1，
∴0＜a＜﹣1．
【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
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