湖南省部分校2023-2024学年高一数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

绝密★启用前

高一数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知命题：，，则命题的否定为（    ）

A.， B.，

C.， D.，

3.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4.如图所示的Venn图中，集合，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A. B. C. D.

5.若，，且，，则（    ）

A. B. C. D.

6.某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数（）满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（    ）年时，其产出的年平均利润最大.

A.4 B.6 C.8 D.10

7.已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知非空集合，，都是的子集，满足，，则

A.  B.

C.  D.

10.若，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

11.已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A.

B.

C.不等式的解集为

D.不等式的解集为

12.已知，，且，则（    ）

A.

B.的取值可以为10

C.当且仅当，时，取得最小值16

D.当且仅当，时，取得最小值36

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线的顶点坐标为______.

14.给出一个能够说明命题“，”为假命题的数：______.

15.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.

16.已知集合，，则集合中的元素个数为______.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设集合，.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）设，若集合有8个子集，求的取值集合.

18.（12分）

已知关于的不等式.

（Ⅰ）若此不等式的解集为，求，的值；

（Ⅱ）若，求不等式的解集.

19.（12分）

已知一个二次函数当时取得最小值，且其图象过点.

（Ⅰ）求此函数的图象与轴的交点坐标；

（Ⅱ）当时，求此函数的最大值.

20.（12分）

（Ⅰ）设，，，均为正数，且，证明：；

（Ⅱ）已知，且，比较和的大小.

21.（12分）

LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长.经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价为6元.假设该产品每年的销量等于当年的产量.

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析  式.（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本）

（Ⅱ）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

22.（12分）

已知函数，其中，，.

（Ⅰ）若且，设此函数图象与轴的两个交点间的距离为，求的取值范围；

（Ⅱ）若且不等式的解集为，求的最小值.

高一数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. B  2. C  3. B  4. D  5. A  6. B  7. D  8. C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. ABD  10. BC  11. BC  12. CD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.   14. 2（均可）   15.   16. 13

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解析  （Ⅰ）当时，，，…………（2分）

所以，…………（4分）

.…………（5分）

（Ⅱ）因为，集合有8个子集，所以集合中有3个元素，…………（7分）

而，故的取值集合为.…………（10分）

18.解析  （Ⅰ）由不等式的解集为，

可知方程的两根为和1，…………（2分）

则解得，.…………（6分）

（Ⅱ）由，原不等式可化为，

因此.

当时，原不等式等价于，即不等式的解集为；…………（8分）

当时，原不等式等价于，不等式的解集为；…………（10分）

当时，原不等式等价于，即不等式的解集为.…………（12分）

19.解析  （Ⅰ）因为二次函数当时取得最小值，

所以可设其解析  式为（），即（），…………（2分）

又因为函数图象过点，所以，得，

所以函数为.…………（4分）

令，得，，

所以此函数的图象与轴的交点坐标为.…………（6分）

（Ⅱ）函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，…………（8分）

故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，…………（10分）

当时，，当时，，

故当时，函数的最大值5. …………（12分）

20.解析  （Ⅰ），，………（2分）

由，，得，…………（4分）

所以.…………（6分）

（Ⅱ）因为，且，

所以

，…………（10分）

所以.…………（12分）

21.解析  （Ⅰ）因为每件产品售价为6元，所以万件产品的销售收人为万元，…………（1分）

依题意得，当时，

，…………（3分）

当时，.…………（5分）

所以…………（6分）

（Ⅱ）当时，，

当时，取得最大值.…………（8分）

当时，，

当且仅当，即时，取得最大值15. …………（10分）

因为，所以当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元. …………（12分）

22.解析  （Ⅰ）因为且，所以，，…………（1分）

由及，得，所以.…………（3分）

因为，所以方程的一个根为1，

则另一个实根，…………（4分）

所以函数的图象与轴的两个交点间的距离，

可得的取值范围为…………（6分）

（Ⅱ）根据题意得且，

所以且，…………（8分）

所以.…………（9分）

令，

则

，…………（11分）

当且仅当，即，也即时取等号.

所以的最小值为.…………（12分）

高一数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案  B

命题意图  本题考查集合的表示与运算.

解析  集合中满足小于或等于1的元素为0，1，所以.

2.答案  C

命题意图  本题考查全称量词命题的否定.

解析  根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，则命题的否定为“，”.

3.答案  B

命题意图  本题考查不等式的性质、充分条件与必要条件.

解析  由不能推出，比如，但.反过来，由可得，故必要性成立.

4.答案  D

命题意图  本题考查集合的表示与运算.

解析  由已知得，，令，，则阴影部分表示的集合是.

5.答案  A

命题意图  本题考查不等式的性质.

解析  由，，可得.由，可得或.又因为，所以.综上可得.

6.答案  B

命题意图  本题考查二次函数的性质及基本不等式的应用.

解析  由题图可知，抛物线与轴的交点为和，则其顶点为.设二次函数解析式为，将代入得，得，所以，所以，当且仅当时取等号.

7.答案  D

命题意图  本题考查函数的性质.

解析  由的图象关于直线对称，可得，，所以.因为的最小值为2，所以，可得，故.令，解得或.所以最小为，最大为3，则的最大值为4.

8.答案  C

命题意图  本题考查基本不等式的应用.

解析  ，当且仅当，时取等号，所以，由恒成立可得，解得.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.答案  ABD

命题意图  本题考查集合间的基本关系.

解析  由可得，故A正确；由可得，从而，故B正确；结合与可知，所以，故C错误，D正确.

10.答案  BC

命题意图  本题考查不等式的性质.

解析  对于A，，A错误；对于B，，故B正确；对于C，，，，则，C正确；对于D，当，时，，D错误.

11.答案  BC

命题意图  本题考查一元二次不等式的解法.

解析  关于的不等式的解集为，所以二次函数的图象的开口方向向下，即，故A错误；

不满足不等式，所以，即，故B正确；

方程的两根为，3，由根与系数的关系得解得

对于C，，由于，所以，所以不等式的解集为，故C正确；

对于D，，故D错误.

12.答案  CD

命题意图  本题考查基本不等式.

解析  当，时，，故，故A错误；，故B错误；，当且仅当即，时，取得最小值16，故C正确；由可得，因为，所以，所以，即，当且仅当，即，时，取得最小值36，故D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案 

命题意图  本题考查二次函数的性质.

解析  ，故抛物线的顶点坐标为.

14.答案    2（均可）

命题意图  本题考查命题真假的判断.

解析  要说明命题“，”为假命题，只需满足即可，即.

15.答案 

命题意图  本题考查充分、必要条件与集合的关系.

解析  因为是的必要不充分条件，所以，所以，因此.

16.答案  13

命题意图  本题考查集合的表示.

解析  将，及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.命题意图  本题考查集合的表示与运算.

解析  （Ⅰ）当时，，，…………（2分）

所以，…………（4分）

.…………（5分）

（Ⅱ）因为，集合有8个子集，所以集合中有3个元素，…………（7分）

而，故的取值集合为.…………（10分）

18.命题意图  本题考查一元二次不等式的解法与性质.

解析  （Ⅰ）由不等式的解集为，

可知方程的两根为和1，…………（2分）

则解得，.…………（6分）

（Ⅱ）由，原不等式可化为，

因此.

当时，原不等式等价于，即不等式的解集为；…………（8分）

当时，原不等式等价于，不等式的解集为；…………（10分）

当时，原不等式等价于，即不等式的解集为.…………（12分）

19.命题意图  本题考查二次函数的性质.

解析  （Ⅰ）因为二次函数当时取得最小值，

所以可设其解析  式为（），即（），…………（2分）

又因为函数图象过点，所以，得，

所以函数为.…………（4分）

令，得，，

所以此函数的图象与轴的交点坐标为.…………（6分）

（Ⅱ）函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，…………（8分）

故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，…………（10分）

当时，，当时，，

故当时，函数的最大值5. …………（12分）

20.命题意图  本题考查不等式的性质.

解析  （Ⅰ），，…………（2分）

由，，得，…………（4分）

所以.…………（6分）

（Ⅱ）因为，且，

所以

，…………（10分）

所以.…………（12分）

21.命题意图  本题考查函数模型.

解析  （Ⅰ）因为每件产品售价为6元，所以万件产品的销售收人为万元，…………（1分）

依题意得，当时，

，…………（3分）

当时，.…………（5分）

所以…………（6分）

（Ⅱ）当时，，

当时，取得最大值.…………（8分）

当时，，

当且仅当，即时，取得最大值15. …………（10分）

因为，所以当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元. …………（12分）

22.命题意图  本题考查二次函数的性质以及不等式的性质.

解析  （Ⅰ）因为且，所以，，…………（1分）

由及，得，所以.…………（3分）

因为，所以方程的一个根为1，

则另一个实根，…………（4分）

所以函数的图象与轴的两个交点间的距离，

可得的取值范围为…………（6分）

（Ⅱ）根据题意得且，

所以且，…………（8分）

所以.…………（9分）

令，

则

，…………（11分）

当且仅当，即，也即时取等号.