人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步练习题，共24页。试卷主要包含了在平行六面体中，，，则的长为，已知，2，，，，，且，则的值是，已知空间向量，，若，则实数，已知，1，，，，，，1，，则等内容，欢迎下载使用。

空间向量的数量积运算
一．选择题（共18小题）
1．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为　　
A．3 B． C．6 D．
2．已知，2，，，，，且，则的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知，2，，，1，，，1，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　
A． B． C． D．
4．已知向量，1，，，0，且与互相垂直，则　　
A． B． C． D．
5．已知空间向量，，若，则实数　　
A． B． C．1 D．2
6．已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
7．已知正四面体的各棱长为1，点是的中点，则的值为　　
A． B． C． D．
8．已知，1，，，，，，1，，则　　
A．18 B． C． D．
9．已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，
10．若向量，，，，，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为　　
A． B．11 C．3 D．或11
11．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为　　
A． B．1 C． D．
12．在空间直角坐标系中，点，，关于平面的对称点为，则　　
A． B．10 C． D．12
13．向量，2，，，4，夹角的余弦值为，则实数为　　
A．3 B． C．或11 D．3或
14．已知空间向量，0，，，1，，，2，且，则与的夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
15．如图所示，直三棱柱的侧棱长为3，底面边长，且，点在棱上且，点在棱上，则的最小值为　　

A． B． C． D．


16．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为　　
A． B． C． D．
17．若向量，0，与向量，1，的夹角的余弦值为，则等于　　
A．0 B．1 C． D．2
18．已知，，且，则的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
二．多选题（共3小题）
19．定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有　　
A．
B．
C．
D．若，，，，则
20．已知空间三点，0，，，2，，，0，，则下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．，
21．在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，则以下结论正确的有　　
A． B．
C． D．
三．填空题（共11小题）
22．如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为　　．

23．已知空间向量，1，，，3，，则　　．
24．已知空间向量，，，则向量在坐标平面上的投影向量是　　．
25．若，且，则实数　　．
26．已知向量，2，，，5，，则　　
27．点是棱长为4的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是 　　．
28．在三棱锥中，已知，，，则　　．
29．正四面体的各棱长为，点、分别是、的中点，则的值为　　．
30．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是　　．
31．已知空间向量，，，，，，若空间单位向量满足：，则　　
32．若向量，2，，，，，且，夹角的余弦值为　　．
四．解答题（共1小题）
33．已知空间三点，2，，，1，，，，．
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积．

参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为　　

A．3 B． C．6 D．
【分析】由，可得，即可得出．
【解答】解：，
则

．
．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．已知，2，，，，，且，则的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】由题意可得，解方程可得．
【解答】解：，2，，，，，
，
解得
故选：．
【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属基础题．
3．已知，2，，，1，，，1，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】可先设，，，由点在直线上可得，，，则由向量的数量积的坐标表示可得，根据二次函数的性质可求取得最小值时的，进而可求．
【解答】解：设，，，
由点在直线上可得存在实数使得，则有，，，
，，
当，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时．
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量共线定理的应用，解题的关键是由点在直线上可得存在实数使得，进而有，，，然后转化为关于的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．
4．已知向量，1，，，0，且与互相垂直，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据与互相垂直，，列出方程求出的值．
【解答】解：向量，，
，，；
又与互相垂直，
，
即，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．
5．已知空间向量，，若，则实数　　
A． B． C．1 D．2
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，求得的值．
【解答】解：空间向量，，若，
，求得实数，
故选：．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，属于基础题．
6．已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】解：以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
设正方体内切球球心为，是该内切球的任意一条直径，
则内切球的半径为1，
所以，．
所以的取值范围是，．
故选：．

【点评】本题以正方体为载体，考查了线面、面面位置关系，以及空间向量的数量积应用问题，是中档题．
7．已知正四面体的各棱长为1，点是的中点，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用向量的线性运算和数量积运算法则，计算即可．
【解答】解：如图所示，
正四面体的棱长是，是的中点；
；
故选：．

【点评】本题考查了向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题．
8．已知，1，，，，，，1，，则　　
A．18 B． C． D．
【分析】可以求出，然后进行向量数量积的坐标运算即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】本题考查了向量坐标的加法和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
9．已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，
【分析】由向量在向量上的投影向量为，，计算即可求出答案．
【解答】解：向量，0，，，2，，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为
，，0，．
故选：．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
10．若向量，，，，，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为　　
A． B．11 C．3 D．或11
【分析】根据向量的坐标表示与数量积的运算，列出方程求出的值．
【解答】解：向量，，，，，，
，
；，
且与的夹角余弦值为，
；
整理得，
解得或（不合题意，舍去）；
的值为．
故选：．
【点评】本题考查了向量的数量积运算与解根式方程的应用问题，是基础题．
11．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为　　
A． B．1 C． D．
【分析】运用空间向量基本定理，转化为向量，，为基底．
【解答】解：如图，为正四面体，则，是棱中点，
所以，，
所以，
故选：．

【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了分析解决问题的能力，将空间向量的数量积转化为一组空间向量基底的运算是关键．本题属于基础题．
12．在空间直角坐标系中，点，，关于平面的对称点为，则　　
A． B．10 C． D．12
【分析】先求出，1，，由此能求出．
【解答】解：在空间直角坐标系中，点，，关于平面的对称点为，
，1，，
．
故选：．
【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查对称、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．向量，2，，，4，夹角的余弦值为，则实数为　　
A．3 B． C．或11 D．3或
【分析】根据向量的数量积的运算，代入公式得到关于的方程，解出即可．
【解答】解：由题意得：，，
故，，解得：，
故选：．
【点评】本题考查了向量的数量积的运算，考查转化思想，是一道基础题．
14．已知空间向量，0，，，1，，，2，且，则与的夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【分析】根据，求出的值，从而求出，根据向量数量积的运算求出与的夹角的余弦值即可．
【解答】解：由题意得：，，，
则，解得：，
即，1，，而，，，
则，，
故选：．
【点评】本题考查了向量问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题．
15．如图所示，直三棱柱的侧棱长为3，底面边长，且，点在棱上且，点在棱上，则的最小值为　　

A． B． C． D．
【分析】建立如图所示的直角坐标系，设，0，，求出和的坐标，求出，利用二次函数的性质求出它的最小值．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
则，0，，，1，，
设，0，，
则，0，，，1，，
，
故当时， 取得最小值为，
故选：．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
16．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】如图所示，，．代入，利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：如图所示，
，．


．
故选：．

【点评】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．若向量，0，与向量，1，的夹角的余弦值为，则等于　　
A．0 B．1 C． D．2
【分析】利用空间向量夹角余弦公式直接求解．
【解答】解：向量，0，与向量，1，的夹角的余弦值为，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．已知，，且，则的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合空间向量的数量积坐标计算公式可得，计算可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，，
若，则有，
解可得，
故选：．
【点评】本题考查空间向量数量积的运算，关键是掌握空间向量数量积的计算公式．
二．多选题（共3小题）
19．定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有　　
A．
B．
C．
D．若，，，，则
【分析】和需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；由定义验证若，且，结论成立，从而得到原结论不成立；根据数量积求出，，再由平方关系求出，的值，代入定义进行化简验证即可．
【解答】解：对于，，，，，
故恒成立；
对于，，，，
故不会恒成立；
对于，若，，，
，，，，
显然不会恒成立；
对于，，，，，
即有

．
则恒成立．
故选：．
【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模的公式，利用给出的定义进行证明结论，计算量很大．
20．已知空间三点，0，，，2，，，0，，则下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．，
【分析】分别求出，，，依次判断即可．
【解答】解：，0，，，2，，，0，，
，2，，，0，，，，，
故，，，，
故选：．
【点评】本题考查了向量的运算，考查对应思想，是基础题．
21．在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，则以下结论正确的有　　
A． B．
C． D．
【分析】由已知得；，，又，从而．
【解答】解：在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，．
，故正确，排除选项，；
，，
又，故，
，故正确，
故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量运算法则的合理运用．
三．填空题（共11小题）
22．如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为　2　．

【分析】由已知得，，从而由，得，从而，由此入手能求出的最小值．
【解答】解：在三棱锥中，，，设，，
，，

，
，
又，
，①
，②
将①两边平方得，
，
，
代入②中，得，


，
，
又，，，
．
的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形中关于边长的代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．
23．已知空间向量，1，，，3，，则　　．
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可．
【解答】解：空间向量，1，，，3，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
24．已知空间向量，，，则向量在坐标平面上的投影向量是　，，　．
【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可．
【解答】解：根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点，，在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变．
所以空间向量，，在坐标平面上的投影坐标是：，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示应用问题，是基础题．
25．若，且，则实数　　．
【分析】求出向量的坐标，根据，得到关于的方程，解出即可．
【解答】解：，
，，，
由，得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的运算，考查向量的垂直关系，是一道基础题．
26．已知向量，2，，，5，，则　2　
【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．
【解答】解：向量，2，，，5，，
则．
故答案为：2．
【点评】本题考查了空间向量的数量积运算问题，是基础题．
27．点是棱长为4的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是 　　．
【分析】点位于正四面体的顶点时取得最大值，求出即可．
【解答】解：如图示：

设正四面体的棱长为4，
设其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，
则为正三角形的中心，且平面，
连接并延长交于点，则为的中心，且，
，，
平面，平面，
，，
，
正四面体的体积，
设球的半径为，
则，
，，
，，
，
当最大，即点位于正四面体的顶点时，取最大值，
此时，，
故答案为：．
【点评】本题考查正四面体的内切球的知识的应用，以及充分理解数量积的性质“位于正四面体的顶点时，取得最大值”是解题的关键．
28．在三棱锥中，已知，，，则　　．
【分析】用表示，根据已知条件列方程得出，，的关系，使用等量代换计算．
【解答】解：设，，
，
，即．
，
，
，
，


，
．
故答案为：．

【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，涉及到平面向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，属于中档题．
29．正四面体的各棱长为，点、分别是、的中点，则的值为　　．
【分析】把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱长为基地的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱之间的关系，因为棱长和夹角已知，得到结果．
【解答】解：



故答案为：

【点评】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算．
30．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是　，0，　．
【分析】由向量在向量上的投影向量为，，计算即可求出答案．
【解答】解：向量，0，，，2，，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为：
，，0，，0，，0，，
故答案为：，0，．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
31．已知空间向量，，，，，，若空间单位向量满足：，则　　
【分析】设，，，由，可得，即，，令，解得，即可得出．
【解答】解：设，，，，
则，
，，
令，则，．
，，．
．
故答案为：．．
【点评】本题考查了空间向量、数量积运算性质、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
32．若向量，2，，，，，且，夹角的余弦值为　　．
【分析】推导出，由此能求出，夹角的余弦值．
【解答】解：向量，2，，，，，
，
，夹角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查两向量夹角的余弦值的判断，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
四．解答题（共1小题）
33．已知空间三点，2，，，1，，，，．
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积．
【分析】（1）根据，分别求出，在坐标，根据，得到关于的方程，解出即可求出的坐标；
（2）分别求出，，求出其夹角，求出四边形的面积即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
解得：，故．
（2），
，，
，，
所以以，为邻边的平行四边形的面积为．
【点评】本题考查了向量共线，向量的垂直关系，考查向量数量积的运算，是一道常规题