数学2.3 直线的交点坐标与距离公式一课一练

两条平行直线间的距离

一．选择题（共14小题）

1．若直线与平行，则与间的距离为　　

A． B． C． D．

2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为　　

A． B． C． D．

3．两直线与平行，则它们之间的距离为　　

A．4 B． C． D．

4．设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为　　

A． B． C． D．

5．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是　　

A．4 B． C． D．

6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　

A．1 B． C．3 D．4

7．两条平行直线与间的距离为　　

A． B． C． D．

8．两条平行直线与之间的距离为　　

A． B． C．7 D．

9．两条平行直线和之间的距离是　　

A． B． C． D．

10．与直线平行，且它们之间的距离为的直线方程为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

11．直线与直线间的距离为　　

A． B． C．4 D．8

12．平行直线与的距离是　　

A． B． C． D．

13．直线与直线的距离是　　

A． B． C． D．

14．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共17小题）

15．两条平行直线与间的距离是　　．

16．已知直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为　 　．

17．两平行直线与的距离是　　．

18．直线和间的距离是　　．

19．已知直线和，直线分别与，交于，两点，则线段长度的最小值为　　．

20．已知直线与两直线和平行且距离相等，则的方程为 　　．

21．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为　　．

22．直线与直线平行，则两直线间的距离为　　．

23．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　．

24．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为　　．

25．若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则直线的倾斜角为　　．

26．两条平行直线与之间的距离为　　．

27．一条与直线平行且距离大于的直线方程为　　．

28．已知直线与平行，则与的距离为　　．

29．若两条直线与平行，则与间的距离是　　．

30．若直线与直线相互平行，则实数等于　　；这两条平行直线间的距离为　　．

31．两条平行线与的距离为　　．

三．解答题（共4小题）

32．已知三条直线，直线和，且与间的距离是

（1）求的值；

（2）求经过直线与的交点，且与点距离为3的直线的方程．

33．已知直线，，．

（1）若点在上，且到直线的距离为，求点的坐标；

（2）若，求与的距离．

34．已知直线．

（1）若直线过点，且，求直线的方程；

（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程．

35．已知，为直线上两点，且，，直线．

（1）求直线方程；

（2）若，求，之间的距离．

                             参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．若直线与平行，则与间的距离为　　

A． B． C． D．

【分析】先由两直线平行可求得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离即可．

【解答】解：由得：，

解得：，

与间的距离，

故选：．

【点评】本题主要考查了两直线平行，的条件的应用，及两平行线间的距离公式的应用．

2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，直线与直线平行，则有，

则两直线的方程为与直线，

则它们之间的距离；

故选：．

【点评】本题考查直线平行的判断以及平行线间的距离计算，关键是求出的值，属于基础题．

3．两直线与平行，则它们之间的距离为　　

A．4 B． C． D．

【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于的等式解出．再将两条直线化成、的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．

【解答】解：直线与平行，

，解得．

因此，两条直线分别为与，

即与．

两条直线之间的距离为．

故选：．

【点评】本题已知两条直线互相平行，求参数的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．

4．设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．

【解答】解：直线的方程为，转换为，

所以．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是　　

A．4 B． C． D．

【分析】根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．

【解答】解：直线即，根据它和互相平行，可得，故．

可得它们间的距离为，

故选：．

【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．

6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　

A．1 B． C．3 D．4

【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行直线间的距离公式求得结果．

【解答】解：由题意直线与直线平行，可得，即，

则直线可化为，所以两直线之间的距离为，

故选：．

【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．

7．两条平行直线与间的距离为　　

A． B． C． D．

【分析】先把两直线的方程中，的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，求得结果．

【解答】解：直线，即直线，

根据直线与平行，可得，

故两条平行直线与间的距离为，

故选：．

【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中，的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于基础题．

8．两条平行直线与之间的距离为　　

A． B． C．7 D．

【分析】先将两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论．

【解答】解：由题意，，直线可化为

两条平行直线之间的距离为

故选：．

【点评】本题考查两条平行直线之间的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

9．两条平行直线和之间的距离是　　

A． B． C． D．

【分析】先利用两直线平行，求出的值，再利用两平行直线的距离公式即可求出结果．

【解答】解：直线和平行，

，

直线方程为，可化为，

两平行线间的距离，

故选：．

【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

10．与直线平行，且它们之间的距离为的直线方程为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

【分析】设所求直线方程为，运用两平行直线的距离公式，解关于的方程，即可得到所求方程．

【解答】解：设所求直线方程为，

则由两平行直线的距离公式可得，

解得或．

则所求直线方程为或，

故选：．

【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

11．直线与直线间的距离为　　

A． B． C．4 D．8

【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可．

【解答】解：直线与直线，

化为直线，，

则与的距离是．

故选：．

【点评】本题考查平行线之间距离的求法，是基础题．

12．平行直线与的距离是　　

A． B． C． D．

【分析】先把两条直线方程中对应未知数的系数化为相同的，再代入两平行直线间的距离公式进行运算．

【解答】解：两平行直线与间的距离是，即，

两平行直线与间的距离是．

故选：．

【点评】本题考查两条平行线间的距离公式的应用，要注意，使用公式时，一定先把两条直线方程中对应未知数的系数化为相同的，然后才能代入公式运算，是基础题．

13．直线与直线的距离是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．

【解答】解：直线与直线是平行线，

所以它们之间的距离为：．

故选：．

【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，是基本知识的考查．

14．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是　　

A． B． C． D．

【分析】由已知中直线和互相平行，我们易求出满足条件的的值，将两条直线的方程中，化一致后，代入平行直线间的距离公式，即可求出它们之间的距离．

【解答】解：直线和互相平行，

则

将直线的方程化为后

可得，，，

则两条平行直线之间的距离为

故选：．

【点评】本题考查的知识点是两条平行直线间的距离，其中熟练掌握两条平行直线间的距离公式是解答本题的关键．

二．填空题（共17小题）

15．两条平行直线与间的距离是　　．

【分析】通过直线的平行求出，然后利用两条平行线之间的距离求解即可．

【解答】解：因为两条平行直线与，

所以，

由两条平行线之间的距离公式可得：．

故答案为：

【点评】本题考查两条平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．

16．已知直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为　　．

【分析】首先使直线方程中，的系数与直线方程的系数统一，再根据两条平行线间的距离公式可得答案．

【解答】解：由题意可得：直线的方程为，

因为直线的方程为，

所以根据两条平行线间的距离公式可得：直线与的距离为．

故答案为．

【点评】本题主要考查两条平行线之间的距离公式，在利用公式解题时一定要使两条直线方程中，的系数相同，此题也可以在其中一条直线上取一点，根据点到直线的距离公式求此点到另一条直线的距离，即可得到两条平行线之间的距离．

17．两平行直线与的距离是　　．

【分析】在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离．

【解答】解：由直线取一点，令得到，即，

则两平行直线的距离等于到直线的距离．

故答案为：

【点评】此题是一道基础题，要求学生理解两条平行线的距离的定义．会灵活运用点到直线的距离公式化简求值．

18．直线和间的距离是　3　．

【分析】直线 与直线，代入两平行线间的距离公式，即可得到答案．

【解答】解：由题意可得：直线 与，

即直线 与直线，

结合两平行线间的距离公式得：

两条直线的距离是．

故答案为3．

【点评】先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离．

19．已知直线和，直线分别与，交于，两点，则线段长度的最小值为　　．

【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．

【解答】解：由题知，，

两直线间的距离，

故答案为：．

【点评】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

20．已知直线与两直线和平行且距离相等，则的方程为 　　．

【分析】设直线，，利用两平行线间的距离公式，求得的值．

【解答】解：根据直线与两直线和平行且距离相等，可设直线，，

，，

故答案为：．

【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中，的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式．

21．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为　　．

【分析】由，解得．再利用平行线之间的距离公式即可得出．

【解答】解：由，解得．

直线化为：．

经过验证：时，两条直线平行．

它们之间的距离．

故答案为：．

【点评】本题考查了平行线之间的距离公式、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

22．直线与直线平行，则两直线间的距离为　　．

【分析】直接利用两直线平行的充要条件的应用和平行线间的距离公式的应用求出结果．

【解答】解：直线与直线平行，

则，即，

解得或．

当时，两直线重合，

故，

所以两平行线间的距离

故答案为：

【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　2　．

【分析】先把两平行线方程中一次项的系数化为相同的，利用两平行线间的距离公式进行运算．

【解答】解：直线 即，它直线平行，，则它们之间的距离是

，

故答案为：2．

【点评】本题考查两平行线间的距离公式的应用，注意需使两平行线方程中一次项的系数相同．

24．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为　　．

【分析】根据两直线平行求出的值，再计算两平行直线间的距离．

【解答】解：直线与直线平行，

则，解得，

所以直线的方程为；

所以直线，之间的距离为

．

故答案为：．

【点评】本题考查了两平行线间的距离计算问题，也考查了两直线平行的条件应用问题，是基础题．

25．若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则直线的倾斜角为　或　．

【分析】由两平行线间的距离，得直线和两平行线的夹角为．再根据两条平行线的倾斜角为，可得直线的倾斜角的值．

【解答】解：由两平行线间的距离为，直线被平行线截得线段的长为，

可得直线 和两平行线的夹角为．

由于两条平行线的倾斜角为，故直线的倾斜角为或，

故答案为：或．

【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，两角和差的正切公式，属于基础题．

26．两条平行直线与之间的距离为　　．

【分析】利用平行线，求解，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．

【解答】解：两条平行直线与，

可得，

所以，

所以两条平行直线与之间的距离为：．

故答案为：．

【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，平行线的性质，是基本知识的考查．

27．一条与直线平行且距离大于的直线方程为　或　．

【分析】利用平行直线系方程设出所求的直线方程，然后利用两条平行线间的距离公式求解即可．

【解答】解：因为所求直线与平行，故设所求直线方程为，

因为直线与的距离大于，

所以，解得或，

故与直线平行且距离大于的直线方程为或．

故答案为：或．

【点评】本题考查了直线方程的求解，主要考查了平行直线系方程的应用以及平行线间距离公式的应用，属于基础题．

28．已知直线与平行，则与的距离为　　．

【分析】利用两平行线间距离公式直接求解．

【解答】解：直线与平行，

直线

与的距离．

故答案为：．

【点评】本题考查两平行线间的距离，考查两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

29．若两条直线与平行，则与间的距离是　　．

【分析】先求出两直线平行求出的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解．

【解答】解：直线与平行，

，解得，

直线的方程为：，即，

与间的距离为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了两直线平行的位置关系，考查了两平行线间的距离公式，是基础题．

30．若直线与直线相互平行，则实数等于　　；这两条平行直线间的距离为　　．

【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得，解可得的值，即可得直线的方程，由平行线间的距离公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，若直线与直线相互平行，

则有，解可得，

则直线的方程为和，即，

故这两条平行直线间的距离，

故答案为：，．

【点评】本题考查平行线间的距离计算，涉及直线平行的判断方法，属于基础题．

31．两条平行线与的距离为　1　．

【分析】把两条平行线方程中、的系数化为相同的，利用两条平行直线间的距离公式，求得两条平行直线间的距离．

【解答】解：两条平行线与，即两条平行线与，

它们之间的距离为，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．

三．解答题（共4小题）

32．已知三条直线，直线和，且与间的距离是

（1）求的值；

（2）求经过直线与的交点，且与点距离为3的直线的方程．

【分析】（1）由与的距离是，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值；

（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．

【解答】解：（1）即，

与的距离．

．

，．

（2）直线与的交点，由：，解得：交点坐标．

当直线的斜率存在时，设所求的直线方程为：，即：．

点到直线的距离为3，

可得：，

解得，

所求直线方程．

当直线的斜率不存在时，，满足题意．

所求直线方程为：或．

【点评】本题考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法，考查计算能力．

33．已知直线，，．

（1）若点在上，且到直线的距离为，求点的坐标；

（2）若，求与的距离．

【分析】（1）设，两条平行直线之间的距离为求得的值，可得点的坐标．

（2）利用两条直线平行的性质，求得的值，可得两条直线的方程，再根据两条平行直线之间的距离公式求得与的距离．

【解答】解：（1）设，由点在上，且到直线的距离为，可得，

解得，或6，的坐标为或．

（2）由，可得，求得，

；直线，即．

与的距离．

【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线之间的距离公式，属于基础题．

34．已知直线．

（1）若直线过点，且，求直线的方程；

（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程．

【分析】（1）由直线的方程求出斜率，再由可得的斜率，由点斜式求出直线的方程；

（2）直线可设的方程，再由平行线减的距离公式求出参数的值，即求出的的方程．

【解答】解：（1）因为直线 的方程为，所以直线的斜率为．

因为，所以直线的斜率为．

因为直线过点，所以直线的方程为，即．

（2）因为直线与直线 之间的距离为，所以可设直线的方程为，

所以，解得或．

故直线的方程为或．

【点评】本题考查与已知直线垂直及平行的直线的设法，属于基础题．

35．已知，为直线上两点，且，，直线．

（1）求直线方程；

（2）若，求，之间的距离．

【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再用点斜式求直线直线的方程．

（2）由题意利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得，之间的距离．

【解答】解：（1），为直线上两点，且，，直线，，

直线方程为：．

（2），，即，

故直线可化为，

两平行线之间的距离．

【点评】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题