浙江专版2024版高考物理一轮复习第八章磁场第3讲带电粒子在复合场中的运动练习含解析

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第3讲 带电粒子在复合场中的运动考点1　带电粒子在组合场中的运动(d) 【典例1】(杭州模拟)在平面直角坐标系xOy中,第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场,第四象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场,经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场,最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场,如图所示。不计粒子重力,求:              (1)M、N两点间的电势差UMN;(2)粒子在磁场中运动的轨迹半径r;(3)粒子从M点运动到P点的总时间t。 【解析】(1)设粒子过N点时的速度为v,有 =cosθ                   ①故v=2v0                                                          ②粒子从M点运动到N点的过程,有qUMN= mv2- m                    ③UMN= 。                                                       ④(2)粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动,半径为O′N,有qvB=  ⑤r= 。                                                       ⑥(3)由几何关系得ON=rsinθ                                        ⑦设粒子在电场中运动的时间为t1,有ON=v0t1                            ⑧t1=                                                           ⑨粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=          ⑩设粒子在磁场中运动的时间为t2,有t2= T           t2=                                               t=t1+t2,t= 。                答案:见解析 1.如图所示,沿直线通过速度选择器的正离子从狭缝S射入磁感应强度为B2的匀强磁场中,偏转后出现的轨迹半径之比为R1∶R2=1∶2,则下列说法正确的是                                 (　　)A.离子的速度之比为1∶2B.离子的电荷量之比为1∶2C.离子的质量之比为1∶2D.以上说法都不对【解析】选D。因为两离子能沿直线通过速度选择器,则Bvq=Eq,即v= ,所以两离子的速度相同,选项A错误;根据r= ,则 ∶ = = ,所以选项B、C均不对,故选D。2.如图是水平放置的小型粒子加速器的原理示意图,区域Ⅰ和Ⅱ存在方向垂直纸面向里的匀强磁场B1和B2,长L=1.0 m的区域Ⅲ存在场强大小E=5.0×104 V/m、方向水平向右的匀强电场。区域Ⅲ中间上方有一离子源S,水平向左发射动能Ek0=4.0×104 eV的氘核,氘核最终从区域Ⅱ下方的P点水平射出。S、P两点间的高度差h=0.10 m。(氘核质量m=2×1.67×10-27 kg、电荷量q=1.60×10-19 C,1 eV=1.60×10-19 J。 ≈1×10-4)(1)求氘核经过两次加速后从P点射出时的动能Ek2。(2)若B1=1.0 T,要使氘核经过两次加速后从P点射出,求区域Ⅰ的最小宽度d。(3)若B1=1.0 T,要使氘核经过两次加速后从P点射出,求区域Ⅱ的磁感应强度B2。【解析】(1)由动能定理W=Ek2-Ek0电场力做功W=qE·2L得Ek2=Ek0+qE·2L=1.4×105 eV=2.24×10-14 J(2)洛伦兹力提供向心力qvB=m 第一次进入B1区域,半径R0= =0.04 m第二次进入B1区域, m =Ek0+qELR2= =0.06 m,故d=R2=0.06 m(3)氘核运动轨迹如图所示由图中几何关系可知2R2=h+(2R1-2R0)得R1=0.05 m由R1= 得B2= =1.2 T答案:(1)2.24×10-14 J　(2)0.06 m　(3)1.2 T “电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入匀强电场(不计重力)垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)受力情况电场力FE=qE,其大小、方向不变,与速度v无关,FE是恒力洛伦兹力FB=qvB,其大小不变,方向随v而改变,FB是变力轨迹抛物线圆或圆的一部分运动轨迹求解方法利用类似平抛运动的规律求解:vx=v0,x=v0tvy= ·t,y= · ·t2偏转角φ:tanφ= = 半径:r= 周期:T= 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解运动时间t= t= T= 动能变化不变  【加固训练】如图所示,在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场,其竖直边界AB、CD的宽度为d,在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场,现有质量为m、带电量为+q的粒子(不计重力)从P点以大小为v0的水平初速度射入电场,随后与边界AB成45°射入磁场。若粒子能垂直CD边界飞出磁场,穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且碰不到正极板。(1)请画出粒子上述过程中的运动轨迹,并求出粒子进入磁场时的速度大小v。(2)求匀强磁场的磁感应强度B的大小。(3)求金属板间的电压U的最小值。【解析】(1)轨迹如图所示v= = v0(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,设其轨道半径为R,由几何关系可知R= = dqvB=m ,解得B= (3)粒子进入板间电场至速度减为零且恰不与正极板相碰时,板间电压U最小,由动能定理有-qU=0- mv2,解得U= 。答案:(1)轨迹见解析图　 v0　(2) 　 (3) 考点2　带电粒子在复合场中的运动(d) 【典例2】压力波测量仪可将待测压力波转换成电压信号,其原理如图1所示,压力波p(t)进入弹性盒后,通过与铰链O相连的“┤”型轻杆L,驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动,其位移x与压力p成正比(x=αp,α>0)。霍尔片的放大图如图2所示,它由长×宽×厚=a×b×d,单位体积内自由电子数为n的N型半导体制成,磁场方向垂直于x轴向上,磁感应强度大小为B=B0(1-β|x|),β>0。无压力波输入时,霍尔片静止在x=0处,此时给霍尔片通以沿C1C2方向的电流I,则在侧面上D1、D2两点间产生霍尔电压U0。              (1)指出D1、D2两点哪点电势高。(2)推导出U0与I、B0之间的关系式(提示:电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I=nevbd,其中e为电子电荷量)。(3)弹性盒中输入压力波p(t),霍尔片中通以相同的电流,测得霍尔电压UH随时间t变化图象如图3,忽略霍尔片在磁场中运动产生的电动势和阻尼,求压力波的振幅和频率。(结果用U0、U1、t0、α及β表示)【解题思路】解答本题应注意以下两点:-关键点(1)该题中形成电流的是电子的定向移动,电子移向的一方电势低。(2)磁感应强度的变化引起UH的变化。【解析】(1)电流方向为C1C2,则电子运动方向为C2C1,由左手定则可判定电子偏向D2边,所以D1边电势高。(2)当电压为U0时,电子不再发生偏转,故电场力等于洛伦兹力evB0=e     ①由电流I=nevbd得:v=                                                        ②将②代入①得U0= (3)图象结合轻杆运动可知,0～t0内,轻杆向一侧运动至最远点又返回至原点,则轻杆的运动周期为T=2t0,所以,频率为:f= 当杆运动至最远点时,电压最小,即取U1,此时B=B0(1-β|x|)取x正向最远处为振幅A,有: U1= (1-βA)所以: = = 解得:A= 根据压力与位移关系x=αp可得p= 因此压力最大振幅为:pm= = (1- )答案:(1) D1点电势高(2)U0= 　(3) (1- )　 1.如图所示,空间的某个复合场区域内存在着方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场。质子由静止开始经一加速电场加速后,垂直于复合场的界面进入并沿直线穿过场区,质子从复合场区穿出时的动能为Ek。那么氘核同样由静止开始经同一加速电场加速后穿过同一复合场后的动能E′k的大小是              (　　)A.E′k=Ek　　　　　　B.E′k>EkC.E′k<Ek            D.条件不足,难以确定【解析】选B。设质子的质量为m,则氘核的质量为2m。在加速电场中,由动能定理可得eu= mv2,v= ,在复合场里由Bqv=qE得,v= ;同理对于氘核由动能定理可得离开加速电场的速度比质子的速度小,所以当它进入复合场时所受的洛伦兹力小于电场力,将往电场力方向偏转,电场力做正功,故动能增大,B正确。2.如图所示,匀强电场方向水平向右,匀强磁场方向垂直于纸面向里,一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v沿与磁场垂直、与电场成45°角的方向射入复合场中,恰能做匀速直线运动,求电场强度E的大小及磁感应强度B的大小。【解析】由于带电微粒做匀速直线运动,且洛伦兹力与电场力不共线,说明微粒必然还要受到重力作用,且洛伦兹力必然斜向上,即粒子带正电,其受力如图,由qE=mgtan 45°和mg=qvBcos 45°,解得E= ,B= 。答案: 　 3.如图所示,图面内有竖直线DD′,过DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、Ⅱ两区域。区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B(图中未画出);区域Ⅱ有固定在水平地面上高h=2l、倾角α= 的光滑绝缘斜面,斜面顶端与直线DD′距离s=4l,区域Ⅱ可加竖直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出);C点在DD′上,距地面高H=3l。零时刻,质量为m、带电荷量为q的小球P在K点具有大小v0= 、方向与水平面夹角θ= 的速度,在区域Ⅰ内做半径r= 的匀速圆周运动,经C点水平进入区域Ⅱ。某时刻,不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放,在某处与刚运动到斜面的小球P相遇。小球视为质点,不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响。l已知,g为重力加速度。(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小。(2)若小球A、P在斜面底端相遇,求释放小球A的时刻tA。(3)若小球A、P在时刻t=β (β为常数)相遇于斜面某处,求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E,并讨论场强E的极大值和极小值及相应的方向。【解析】(1)由题知,小球P在区域Ⅰ内做匀速圆周运动,有m =qv0B代入数据解得B= (2)小球P在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ,运动到C点的时刻为tC,则有tC= s-hcotα=v0(t1-tC)小球A释放后沿着斜面运动的加速度为aA,与小球P在时刻t1相遇在斜面底端,有mAgsinα=mAaA = aA(t1-tA)2联立方程得tA=(3-2 ) (3)设所求电场方向向下,在tA′时刻释放小球A,小球P在区域Ⅱ运动的加速度为aP,有s=v0(t-tC)+ aA(t-tA′)2cosαmg+qE=maPH-h+ aA(t-tA′)2sinα= aP(t-tC)2联立相关方程解得E= 若小球P与小球A在斜面底端相遇,则有t-tC= 解得t=3 若小球P与小球A在斜面顶端相遇,则有t-tC= 解得t=5 可得3≤β≤5所以- ≤E≤ ,负号表明电场方向向上。所以电场强度最大为 ,方向竖直向上;电场强度最小为0。答案:(1) 　(2)(3-2 ) (3)场强极大值为 ,方向竖直向上;场强极小值为0  带电粒子在复合场中运动的解题思路(1)弄清复合场的组成,一般有磁场、电场的复合,电场、重力场的复合,磁场、重力场的复合,磁场、电场、重力场三者的复合。(2)正确受力分析,除重力、弹力、摩擦力外要特别注意电场力和磁场力的分析。(3)确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的分析。(4)对于粒子连续通过几个不同情况场的问题,要分阶段进行处理。转折点的速度往往成为解题的突破。(5)画出粒子运动轨迹,灵活选择不同的运动规律。①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时,根据受力平衡列方程求解。②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时,应用牛顿运动定律结合圆周运动规律求解。③当带电粒子做复杂曲线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解。④对于临界问题,注意挖掘隐含条件。考点3　带电粒子在复合场中的运动实例应用 【典例3】(天津高考)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件,电脑正常工作;当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件,屏幕熄灭,电脑进入休眠状态。如图所示,一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件,元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子,通入方向向右的电流时,电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中,于是元件的前、后表面间出现电压U,以此控制屏幕的熄灭。则元件的              (　　)A.前表面的电势比后表面的低B.前、后表面间的电压U与v无关C.前、后表面间的电压U与c成正比D.自由电子受到的洛伦兹力大小为 【解析】选D。根据左手定则可知自由电子偏向后表面,元件的后表面带负电,即后表面的电势比前表面的低,A错误;根据稳定时自由电子所受的电场力与洛伦兹力平衡,即e =evB得U=Bva,所以选项B、C均错误;自由电子受到的洛伦兹力与所受电场力大小相等,即F=evB=e ,D正确。 1.磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v 的等离子体垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中,在相距为 d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板和电阻R连接,上、下板就是一个直流电源的两极。若稳定时等离子体在两板间均匀分布,电阻率为ρ。忽略边缘效应,下列判断正确的是              (　　)A.上板为正极,电流I= B.上板为负极,电流I= C.下板为正极,电流I= D.下板为负极,电流I= 【解析】选C。根据左手定则可知,带正电粒子在磁场中受到的力向下,故下板为正极,两板间的电势差为U,则q =Bqv,得U=Bdv,电流I= = ,故选C。2.回旋加速器的工作原理如图甲所示,置于真空中的D形金属盒半径为R,两盒间狭缝的间距为d,磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直,被加速粒子的质量为m,电荷量为+q,加在狭缝间的交变电压如图乙所示,电压值的大小为U0。周期T= 。一束该种粒子在t=0～ 时间内从A处均匀地飘入狭缝,其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间,假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动,不考虑粒子间的相互作用。求:(1)出射粒子的动能Em。(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出,d应满足的条件。【解析】(1)粒子运动半径为R时有qvB=m ,且Em= mv2,解得Em= (2)粒子被加速n次达到动能Em,则Em=nqU0粒子在狭缝间做匀加速运动,设n次经过狭缝的总时间为Δt,加速度a= 匀加速直线运动总长度nd= a(Δt)2由t0=(n-1)· +Δt,解得t0= - (3)只有在 0～( -Δt)时间内飘入的粒子才能每次均被加速,则所占的比例为η= ,由η>99%,解得d< 。答案:(1) 　(2) - (3)d< 3.如图所示,在x轴的上方存在垂直纸面向里,磁感应强度大小为B0的匀强磁场。位于x轴的下方离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子,其初速度大小范围为0～ v0。这束离子经电势差为U= 的电场加速后,从小孔O(坐标原点)垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域,最后打到x轴上,在x轴上2a～3a区间水平固定放置一探测板 。假设每秒射入磁场的离子总数为N0,打到x轴上的离子数均匀分布(离子重力不计)。(1)求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴的区间。(2)调整磁感应强度的大小,可使速度最大的离子恰好打在探测板右端,求此时的磁感应强度大小B1。(3)保持磁感应强度B1不变,求每秒打在探测板上的离子数N;若打在板上的离子80%被吸收,20%被反向弹回,弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍,求探测板受到的作用力大小。【解析】(1)根据动能定理,可得qU= mv2- m v= 可得v0≤v≤2v0离子在磁场中运动qvB0= 　R= 离子打在x轴上的坐标表达式为x=2R= 代入可得2a≤x≤4a(2)当速度最大的离子打在探测板右端3a=2R1R1= 　B1= B0(3)离子束能打到探测板的实际位置范围为2a≤x≤3a对应的速度范围为 v0≤v′≤2v0每秒打在探测板上的离子数为N=N0 = N0根据动量定理吸收的离子受到板的作用力大小F吸= = (2mv0+ mv0)= 反弹的离子受到板的作用力大小F反= = [2m(v0+0.6v0)+ m(v0+0.6v0)]= N0mv0根据牛顿第三定律,探测板受到的作用力大小F= N0mv0答案:(1)[2a,4a]　(2) B0　(3) N0　 N0mv0 1.基本思路:速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象,在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态,从而求出所求物理量。2.解决回旋加速器的方法:(1)交变电压的频率与粒子在磁场中做圆周运动的频率相等。(2)在q、m和B一定的情况下,回旋加速器的半径越大,粒子的能量就越大,最大动能与加速电压无关。