北师大版数学七年级上册【单元测试】第一章丰富的图形世界（B卷）含解析答案

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【单元测试】第一章 丰富的图形世界（B卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，从左边看得到的平面图形是（    ）


A． B． C． D．
2．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（   ）
A． B． C． D．
3．下列各组几何体中是多面体的一组是（      ）
A．三棱柱  四棱台  球   圆锥 B．三棱柱  四棱台  正方体  圆台
C．三棱柱  四棱台  正方体  六棱锥 D．圆锥   圆台   球   半球
4．如下图的正方体纸巾盒，它的平面展开图是（    ）

A． B． C． D．
5．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（    ）

A． B． C． D．
6．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥
7．如图，是一个正方体的平面展开图，原正方体中“利”的对面是（    ）

A．你 B．试 C．考 D．顺
8．下面四组图中，每组左边的平面图形能够折叠成右边的立体图形的是（    ）

A．①② B．①④ C．② D．③
9．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（    ）

A．合 B．同 C．心 D．人
10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ）

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
11．用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有 、 、 还有一种像拱形的门的形状．如图：

12．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上是两个数互为相反数，则 ．

13．如图是一个正方形纸盒的展开图，若正方形的各个面分别标有数字1，2，3，，a，b，相对面上两个数互为相反数，则 ．

14．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是 ．

15．如图，将此长方形绕虚线旋转一周，得到的是 体，其体积是 ．（结果保留π）

16．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A＝40°，则∠1﹣∠2的度数为 度．

17．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是 ．

18．如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是 平方米．


评卷人
得分



三、解答题
19．设棱锥的顶点数为 ，面数为，棱数为．
(1)观察与发现：如图，三棱锥中， ， ， ；五棱锥中， ， ， ．

(2)猜想：①十棱锥中， ， ， ；
② 棱锥中， ， ， ．（用含有 的式子表示）
(3)探究：①棱锥的顶点数（）与面数（）之间的等量关系： ；
②棱锥的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间的等量关系： ．
(4)拓展：棱柱的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．
20．如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：

(1)做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为___，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为___；（直接写出答案）
(2)做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
21．探究：有一长6，宽4的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．

(1)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
(2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
22．如图所示的是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母（字母朝外），回答下列问题：

(1)如果面在长方体的底部放置，那么哪一个面会在它的上面？
(2)如果面在前面，从左面看是面，那么哪一个面会在上面？
(3)从右面看是面，面在左面，那么哪一个面会在上面？
23．
(1)如图所示的平面图形分别是由哪种几何体展开形成的？
①____________；② ___________；③___________；④___________；⑤ ___________；⑥___________．
(2)请你按照下面所给图形数据计算第①个几何体的表面积（结果保留）

24．如图，是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．

                       从正面看                      从左面看
(1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；
(2)若每个小正方体棱长为，请直接写出该几何体的表面积（包含底面）为______．
25．如图①是一张长为18，宽为12的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：

（1）折成的无盖长方体盒子的容积 ；（用含的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？

1
2
3
4
5

160
________
216
________
80
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出的值；如果不是正方形，请说明理由．
26．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
　 　
长方体
8
6
12
正八面体
　 　
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．

参考答案：
1．D
【分析】根据从左边看得到的图形是上下排列的两个正方形，可得答案．
【详解】解：从左边看，是一列两个相邻的小正方形，如图所示，

故选：D．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，解题关键是树立空间观念，准确判断从左边看得到的图形．
2．C
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解.
3．C
【分析】根据多面体、旋转体的定义，对A、B、C、D各项逐个加以判断，可得A、B、D三项中都有旋转体存在，而C项的四个几何体都是多面体，由此可得C项符合题意．
【详解】解：对于A，由于球、圆锥是旋转体，不是多面体，故A不正确；
对于B，由于圆台是旋转体，不是多面体，故B不正确；
对于C，三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥，它们的各个面都是平面多边形，
所以C的各个几何体都是多面体，C项正确；
对于D，圆锥、圆台、球、半球都是旋转体，D项中没有多面体，故D不正确
故选C．
【点睛】本题主要考查了多面体、旋转体的定义的知识，属于基础题．
4．D
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：观察图形可知，正方体纸巾盒的平面展开图是：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
5．D
【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．
【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；
故选D．
【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．
6．A
【解析】根据展开图的侧面与底面图形形状即可判断．
【详解】解：由于该几何体的展开图的三个侧面均是长方形，两个底面是三角形，因此可以判定该几何体是三棱柱．
故选：A
【点睛】本题考查了学生对常见几何体及其展开图的理解与辨别，解决本题的关键是牢记这些几何体的特征，考查了学生对图形的认识与分析的能力．
7．C
【分析】根据正方体展开图中间隔一个小正方形是对面即可求解．
【详解】解：∵展开图中间隔一个小正方形是对面，
∴“你”与“试”是对面；“祝”与“顺”是对面；“利”与“考”是对面，
故选：C
【点睛】本题考查了正方体的展开图中的对面问题，熟记间隔一个小正方形是对面是解题的关键．
8．C
【分析】根据几何体的展开图，可得答案．
【详解】解：①不能折叠成正方体，
②能折叠成长方体，
③不能折成圆锥，
④不能折成四棱锥，
故选：C．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题关键．
9．D
【分析】根据正方体的展开图进行判断即可；
【详解】解：由正方体的展开图可知“地”字所在面相对的面上的汉字是“人”；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．
10．C
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为四边形，只有C符合条件；
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
11． 长方形 圆 椭圆
【解析】略
12．-2
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上是两个数互为相反数解答．
【详解】解：根据题意得：
“1”与“B”是相对面，“2”与“A”是相对面，“3”与“-3”是相对面，
∵相对面上是两个数互为相反数，
∴A=-2．
故答案为：-2.
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．2
【分析】根据正方体表面展开图的特征进判断相对的面，再根据相对面上的两个数互为相反数，求出a、b所表示的数，最后代入计算即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“1”与“b”是相对的面，
“3”与“-3”是相对的面，
“2”与“a”是相对的面，
又因为相对面上的两个数互为相反数，
所以a=-2，b=-1，
所以ab=（-2）×（-1）=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方体展开图中“相对的面”是正确解答的关键．
14．左视图
【分析】根据立体图形作出三视图,求出面积即可.
【详解】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，

左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由5个小正方形组成，
故三种视图面积最小的是左视图．
故答案为左视图
【点睛】本题考查了图形的三视图,属于简单题,画出三视图是解题关键.
15． 圆柱 16π
【分析】将长方形旋转可得出圆柱体，根据圆柱体积公式即可求出该圆柱的体积．
【详解】解：将此长方形绕虚线旋转一周，得到的是圆柱体，其体积为：
V=πr2h=π×22×4=16π．
故答案为圆柱；16π．
【点睛】本题考查了圆柱体的形成，牢记圆柱的体积公式是解题的关键．
16．80
【分析】由折叠得到，继而整理得，由邻补角互补解得，，最后利用角的和差可求出∠1﹣∠2的度数．
【详解】解：如图所示：

折叠







故答案为：80．
【点睛】本题考查三角形与折叠，涉及平角、邻补角的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
17．春
【分析】根据立方体的展开图判断即可．
【详解】根据立方体的展开图的意义，得
点与春是相对的，
故答案为：春．
【点睛】本题考查了立方体的展开图，熟练掌握来立方体的展开图是解题的关键．
18．96
【分析】根据题干分析可得：每切一刀，就增加2个正方体的面的面积，由此只要求出一共切了几刀，即可求出一共增加了几个正方体的面的面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60块长方体的表面积之和．沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以表面积一共增加了9×2=18个正方体的面，由此即可解答问题．
【详解】解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，
所以这60个小长方体的表面积之和是：2×2×6+9×2×2×2=24+72=96（平方米）
故答案是96．
【点睛】此题考查了规则立体图形的表面积，解答此题的关键是明确沿纵向或横向每切一次，都会增加2个原正方体的面的面积．
19．(1)4，4，6，6，6，10；
(2)11，11，20，，，
(3)，
(4)存在，相应的等式为：

【分析】（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可．
（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可，②根据n棱锥的特征的特征填写即可．
（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系，②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．
（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．
【详解】（1）解：三棱锥中，V3=4，F3=4，E3=6，五棱锥中，V5=6，F5=6，E5=10．
（2）解：①十棱锥中，V10=11，F10=11，E10=20；②n棱锥中，Vn=n+1，Fn=n+1，En=2n．
（3）解：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V=F，②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E=V+F﹣2．
（4）解：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F﹣E=2．
【点睛】本题主要考查了立体几何的点、棱、面，熟知对应的立体图形的特征是解决本题的关键．
20．(1)（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2
(2)（8ab+8ac+10bc）平方厘米
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．

【分析】（1）将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm；将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm；再根据长方体的表面积公式计算即可；
（2）利用（1）的结论列式计算解答即可；
（3）利用（1）的结论列式计算解答即可．
【详解】（1）解：将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm，
故做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为：（2ab+2ac+2bc）cm2；
将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm，
故做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为：2×1.5a×2b+2×1.5a×2c+2×2b×2c=（6ab+6ac+8bc）cm2；
故答案为：（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2；
（2）解：做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片：
（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
=（8ab+8ac+10bc）cm2；
（3）解：3（6ab+6ac+8bc）-2（2ab+2ac+2bc）
=18ab+18ac+24bc-4ab-4ac-4bc
=14ab+14ac+20bc（cm2），
即做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
【点睛】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的表面积公式以及整式的混合运算，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．
21．(1)按方案一方法构造的圆柱体积大；
(2)将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3

【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可；
（2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可．
【详解】（1）解：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=3cm，
体积为：cm3，
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=2cm，
体积为：cm3，
按方案一方法构造的圆柱体积大；
（2）解：分两种情况
绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，得到的圆柱体积为cm3;
绕长方形绕长边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为cm3，
综合将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3．
【点睛】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题关键．
22．(1)F面
(2)“C”面或“E面
(3)“B面或“D面

【分析】根据长方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】（1）根据“相间、端是对面”可知，
“”与“”相对，
“”与“”相对，
“”与““相对，
所以面A在长方体的底部，那么面会在它的上面；
（2）若面在前面，左面是面，则“”在后面，“”在右面，此时“”在上面，“”在下面，或“”在上面，“”在下面；
答：如果面在前面，从左面看是面，那么“”面或“”面会在上面；
（3）从右面看是面，面在左面，则“”面或“”面在上面．
【点睛】本题考查长方体的展开与折叠，掌握长方体表面展开图的特征是解决问题的关键．
23．(1)圆柱；圆锥；五棱锥；六棱柱；长方体（或四棱柱）；三棱锥；
(2)．

【分析】（1）根据几何体的展开图逐个分析即可；
（2）先求出圆柱的底面积，再求出圆柱的表面积，两者相加即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
①圆柱；②圆锥；③五棱锥；④六棱柱；⑤长方体（或四棱柱）；⑥三棱锥．
（2）解：，，
，
∴第①个几何体的表面积．
【点睛】本题考查几何体的展开图及其表面积，解题的关键是掌握几何体的的展开图形，会求展开图的表面积．
24．(1)见解析
(2)36

【分析】（1）从正面看有3列，每列小正方形的数目分别为1,4,2；从左面看有2列，每列小正方形的数目分别为4,3
（2）根据上面和下面4个正方体，左边和右边7个正方体，正面和后面7个正方体，进而求得表面积
【详解】（1）从正面、左面看到的这个几何体的形状图，如图

（2）根据从不同方向看的形状图，这个几何体的表面积为
故答案为：36
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体及几何体的表面积，掌握相关知识是解题的关键．
25．（1）；（2）224，160；（3）不可能是正方形，理由见解析
【分析】本题考查的是长方体的构造：
（1）    根据题意，分别表示出来长方体的长、宽、高，即可写出其体积；
（2）    根据给到的x的值求得体积即可；
（3）    列出方程求得x的值后，即可确定能否为正方形．
【详解】（1）
（2）224，160
当取2时，长方体盒子的容积最大
（3）从正面看长方体，形状是正方形时，有
解得
当时，
所以，不可能是正方形
【点睛】本题考查了简单的几何题的三视图的知识，解题的关键是根据题意确定长方体的长、宽、高，之后依次解答题目．
26．（1）填表见解析，V+F-E=2；（2）20；（3）14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
【详解】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F-E=2；
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30

（2）由题意得：F-8+F-30=2，解得F=20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，解得F=14，
∴x+y=14．
【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．