四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题（10月）（Word版附解析）

四川省南充市嘉陵第一中学高2023级10月考试

数学试卷

考试时间：120分钟  总分：150分 

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．已知集合，，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

2．设全集，，，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（    ）

A．         B．         C．          D．

3．不等式的解集是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

4．命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（    ）

A．∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1       B．∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1

C．∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1       D．∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1

5．“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

6．满足条件的集合的个数是

A．2 B．3 C．4 D．5

7．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．         B．         C．         D．

8．已知，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．如果，则下列选项不正确的是（       ）

A．若，则        B．若，则

C．若，则        D．若，则

10．下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（    ）

A． B． C． D．

11．设非空集合P，Q满足，且，则下列选项中错误的是（    ）．

A．，有 B．，使得

C．，使得 D．，有

12．下列结论不正确的是（        ）

A．当时,

B．当时, 的最小值是

C．当时, 的最小值是

D．设,,且,则的最小值是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知集合，若，则          .

14．已知集合，若，则实数的取值范围为        

15．若恒成立，则实数的取值范围为        .

16．设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则            ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知集合，，.

(1)求，；(2)若，求的取值范围.

18．（12分）已知集合,．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

19．（12分）求下列函数的最值

（1）求函数的最小值.

（2）若正数，满足，求的最小值.

20．（12分）已知，，

(1)若，，求证：；

(2)若，求的最小值.

21．（12分）已知关于的不等式的解集为或

(1)求，的值；

(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

22．（12分）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用.公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米元，左右两侧报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司甲的整体报价为元.

(1)试求关于的函数解析式；

(2)那么公司甲怎样设计校园应急室使整体报价最低？最低整体报价是多少？

数学参考答案：

1．D

【分析】求出集合，利用集合的运算以及元素与集合的关系逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】因为，，则，A错；

，B错；

或，则，C错；

，D对.

故选：D.

2．C

【分析】先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解

【详解】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合中，但不在集合中．

又，0，2，4，7，，，，1，3，4，，

则右图中阴影部分表示的集合是：，1，．

故选：C．

3．A

【分析】直接解分式不等式即可.

【详解】由 或，

所以不等式的解集为：或，

故选：A.

4．D

【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的、，然后把结论否定，即可确定答案

【详解】条件中的、，把结论否定

∴“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1”

故选：D

【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的、且否定原结论

5．A

【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】解不等式得：或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6．B

【分析】根据子集和真子集的知识判断出集合的个数.

【详解】由题意可知：M应在{1,2,3,4}的基础上不增加元素或增加5,6中的一个，所以M的个数就是集合{5,6}的真子集个数，即集合的个数是.

故选：B

【点睛】本小题主要考查子集和真子集，属于基础题.

7．D

【分析】利用基本不等式求得最值，可得答案.

【详解】因为，所以，

所以 ，当且仅当时取等号，

故的最小值为3.

因为当时，不等式恒成立，

所以.

故选：D.

8．C

【分析】由，，则，

构造基本不等式即可.

【详解】因为，所以，

则

所以

当且仅当时，不等号成立，

所以的最小值为：4

故选：C.

9．ABD

【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确.

B选项，若，如，则，所以B选项不正确.

C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确.

D选项，若，如，

此时，所以D选项不正确.

故选：ABD

10．BC

【解析】由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解.

【详解】解：，

因为，

，，

，

所以的一个充分不必要条件有：或.

故选：BC.

11．CD

【分析】由两集合交集的结果推出Q是P的真子集，再根据真子集的概念进行判断.

【详解】因为，且，所以Q是P的真子集，

所以，有，，使得，CD错误.

故选：CD

【点睛】本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.

12．BC

【分析】关于选项A,直接利用基本不等式即可判断正误;关于选项B,先将表示为,再用基本不等式,注意取等条件即可判断正误;关于选项C,当时,,所以不能直接用基本不等式,举出反例即可; 关于选项D,先将用把代换掉,即得,再用“1”的代换即可求出最值,注意等号取得的条件.

【详解】解:由题知,关于选项A,当时, ,

,

当且仅当时取等号,

故选项A正确;

关于选项B,当时,

,

当且仅当时取等号,

但此时无解,等号取不到,因此最小值不是,

故选项B错误;

关于选项C,

因为,不妨取,

此时的值为负数,

故选项C错误;

关于选项D,因为,,,

则,

则

当且仅当,即时取等号,故最小值为,

故选项D正确.

故选:BC.

13．1或2；

【解析】由，可得或，注意要满足集合元素的互异性，即可得解.

【详解】由，，

若，，，

此时，符合题意；

若，则，，

当时，，不符题意，

当时，，符合题意，

综上可得：或.

故答案为：1或2.

14．

【分析】根据集合的运算结果可得，再有集合的包含关系即可求出.

【详解】，

由，知，所以，

故实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】本题考查了集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.

15．.

【分析】根据命题恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】由题意，命题恒成立，

可得，解得，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

16．.

【分析】根据定义求出集合，再次利用定义得出.

【详解】由于，，，，则，

由题中定义可得，则，

因此，，故答案为.

【点睛】本题考查集合的计算，涉及新定义，解题的关键在于利用题中的新定义进行计算，考查运算能力，属于中等题.

17．(1)，或；

(2).

【分析】（1）直接利用集合并集、交集和补集的定义求解；

（2）分析即得解.

【详解】（1）解：因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，

所以．

因为A＝{x|3≤x<7}，

所以或

则或.

（2）解：因为A＝{x|3≤x<7}，C＝{x|}，且，

所以.

所以a的取值范围为．

18．(1)

(2)

【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，列不等式求解，即可得实数a的取值范围．

【详解】（1）解：若，则，又

所以；

（2）解：，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，解得，所以实数a的取值范围是．

19．（1）；（2）5.

【分析】（1）化为，再根据基本不等式可求出结果；

（2）化为，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】（1），当且仅当即时等号成立，

故函数的最小值为.

（2）由得，

则，

当且仅当,即，时等号成立，

故的最小值为5.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

20．(1)见详解

(2)

【分析】（1）利用不等式的性质即可证明，（2）利用基本不等式即可求助.

【详解】（1）因为，所以，

又因为，所以

故，所以，

故，即

（2）因为，

故最小值为

当且仅当等号成立.

21．(1)

(2)．

【分析】（1）根据不等式的解集可确定1和是方程的两个实数根且，结合韦达定理即可求得答案；

（2）利用基本不等式可求得的最小值，根据恒成立可得，即可求得答案.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以1和是方程的两个实数根且，

所以，解得，即．

（2）由（1）知，于是有，

故，

当且仅当，结合，即时，等号成立，

依题意有，即，

得，即，

所以的取值范围为．

22．(1),

(2)左右两侧墙的长度为4米时整体报价最低，最低报价为28800元

【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，结合题目条件写出解析式.

（2）由（1）的结论，利用均值不等式求出甲公司报价最小值.

【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，

于是得，

其中.所以y关于x的函数解析式是:

,

（2）由（1）知，对于公司甲，

当且仅当，即时取“=”，则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，