辽宁省辽阳市第一中学协作体2023-2024学年九年级上学期第一次学情调研数学试题（月考）

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九年级第一次学情调研数学试卷一．选择题（每小题2分，共20分）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ）A．    B．C．     D．2．菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则它的面积为（    ）．A．6   B．24   C．36   D．483．若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ）A．1   B．   C．   D．04．如图，矩形ABCD中，，，则AC的长是（    ）第4题图A．2   B．   C．4   D．85．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ）A．   B．   C．   D．6．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF．若，则∠CFD的度数为（    ）第6题图A．45°   B．70°   C．77°   D．80°7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ）A．   B．   C．   D．8．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（    ）第8题图A．    B．C．    D．9．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（    ）A．一组邻边相等的平行四边形    B．一条对角线平分一组对角的四边形C．四条边都相等的四边形     D．对角线互相垂直平分的四边形10．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将沿OP折叠得到，连接CD、AD．则下列结论中：①当时，四边形OBPD为正方形；②当时，的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为；④当时，．其中结论正确的有（    ）A．1个   B．2个   C．3个   D．4个二．填空题（每小题3分，共18分）11．将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是______．12．一元二次方程的解为______．13．如图，在中，AC平分∠DAB，，则的周长为______．第13题图14．当______≥0时，一元二次方程的求根公式为______．15．如图，已知，在中，对角线AC，BD相交于点O，，于点E．若，则______．第15题图16．如图，在中，，，P是斜边BC上一动点，于E，于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值是______．第16题图三．计算题（共8分）17．用适当的方法解下列方程：（1）    （2）四．证明题（每题8分）18．已知：如图，在中，，E，F分别为垂足．（1）求证：；（2）求证：四边形AECF是矩形．19．如图，在中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若，求证：四边形EBFD是菱形．五．解答题（20题8分，21题10分，22题6分）20．列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？21．建设美丽城市，改造老旧小区，某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？22．已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．（1）若，那么平行四边形ABCD的周长是多少？（2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．六．解答题（23题10分，24题12分，25题12分）23．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD．（1）填空：k=______，点A的坐标是______；（2）求证：四边形OADC是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．24．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，于点G．图1                              图2（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得，判断的形状，并说明理由．（3）类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，，求DE的长．25．如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．（1）当点F在线段AD上时，①求证：；②求证：；（2）设正方形ABCD的面积为25，正方形CGFE的面积为13，请直接写出以C，G，D，F为顶点的四边形的面积． 参考答案与试题解析一．选择题1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D 7．D 8．C 9．B 10．D二．填空题11．   12．  13．2814．；   15．2.5   16．三．计算题17．（1），   （2）四．证明题18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∴四边形AECF是矩形．19．证明：（1）在中，，∵，∴，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四边形ABCD为菱形，∴，∴平行四边形EBFD是菱形．五．解答题20．解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，，整理得，∴或．∵要尽可能让顾客得到实惠，∴，∴售价为元/千克．答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．21．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区，依题意得：，解得：，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2023年最多可以改造18个老旧小区．22．解：（1）当时，，解得：，∴，解得：，∴平行四边形的周长为；（2）∵当时，平行四边形ABCD是菱形，即：，∴，解得：，又∵，∴，∴方程为，解得，，∴菱形的边长为．六．解答题23．解：（1），（5，0）；（2）∵线段CD平行于x轴，∴D点的纵坐标与C点一样，又∵D点在直线上，∴当时，，即D（8，6），∴，∵，∴，又∵，∴四边形OADC是平行四边形；（3）t的值为或．24．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴，图1∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等腰三角形；（3）类比迁移：解：延长CB到点H，使，连接AH，图2∵四边形ABCD是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．25．（1）①证明：如图1中，图1∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，∴，，∴，∴，∴．②证明：如图1中，设CD交FG于点O，过点G作交CD于T．∵，∴，∵，∴∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴为等腰直角三角形，．∴．（2）或9