第八单元 数学广角—数与形（知识解读·真题演练） -2023-2024学年六年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

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第八单元 数学广角—数与形1、学会通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会运用所发现的规律解决问题。2、体会数与形的联系，进一步积累数形结合解决问题的经验，培养数形结合的数学思想意识。3、体验数形结合方法的价值，激发用数形结合的方法去解决问题，感受数学的魅力。1、数形结合：通过画示意图来解决问题的方法在数学上叫数形结合。2、有些代数问题通过画图解决起来更直观。图形与数学之间能相互转化，能使计算更直观，更简单。3、对于找规律的题目，先找出哪部分发生变化了，是按照什么样的规律变化的，然后找出规律，最后根据规律解题。一、选择题1．（2023秋·甘肃陇南·六年级统考期末）观察下面的一组数：1，2，4，8，16，32…，第7个数是（    ）。A．128 B．512 C．642．（2021秋·北京丰台·六年级统考期末）按照下面3幅图的规律，如果每个圆的直径都是10厘米，那么第10个图形长（    ）厘米。A．50 B．55 C．95 D．1003．（2023春·四川绵阳·五年级校考期末）在100，95，90，85，80，…，20，15，10，5这一列数中，第12个数是（    ）。A．45 B．60 C．654．（2023秋·湖北荆州·六年级统考期末）观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（    ）个点。  A．29 B．31 C．335．（2023春·河南商丘·五年级统考期末） ……第5个点阵有（    ）个点。A．16 B．18 C．216．（2022春·湖南益阳·六年级校考期末）如下图，用同样长的小木棒摆一摆，照这样摆下去，第（7）幅图需要（    ）根这样的小木棒。A．28 B．34 C．40 D．46二、填空题7．（2022春·河南濮阳·六年级统考期末）按照下面的规律画图形，图（8）中有(        )个，有(        )个。8．（2022春·甘肃庆阳·六年级校考期末）按下图的规律，用小三角形摆图形，摆第⑤个图形共需要小三角形        个，摆第n个图形共需要小三角形        个。9．（2022秋·湖南郴州·六年级统考期末）根据图中四幅图的规律，第5幅图中有(        )个●，第n幅图中有(        )个△。  10．（2023春·河南驻马店·六年级校考期末）用火柴棒连续摆，摆一个这样的正方形需要4根火柴棒，如果像……这样一直摆下去，那么连摆20个这样的正方形需要(        )根火柴棒；用100根火柴棒可以连摆(        )个这样的正方形。11．（2023春·广东东莞·六年级统考期末）聪聪在电脑课上编制了一个计算小程序（如图），输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数，请根据发现的规律解决问题：①输入2，输出7。②输入6，输出19。③输入10，输出31。(1)输入13，输出(        )。(2)输入(        )，输出100。12．（2022春·四川宜宾·五年级统考期末）找规律填空。(1)，，，，，(        )，…(2)，，(        )＝(        )。三、判断题13．（2022秋·辽宁朝阳·五年级统考期末）如图，第五个点阵中点的个数是17个。(      )14．（2021秋·河南许昌·六年级统考期末）…＝1。(      )15．（2022春·云南·六年级统考期末）用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。(        )16．（2023秋·四川乐山·六年级统考期末）。(      )四、计算题17．（2022春·重庆潼南·五年级统考期末）怎样简便就怎样算。（1）        （2）  （3）        （4）  （5）        （6）  五、作图题18．（2022春·重庆渝中·六年级校考期末）下面的每一个图形都是由△、口、○中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。六、解答题19．（2023秋·湖南湘西·六年级统考期末）观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。   20．（2022春·浙江温州·六年级期末）某机器有依次排列的5盏灯，每盏灯可发出红色的光（用■表示），不同位置上的灯光表示一个具体的数，下面是四种情况所表示的数。■□□□□→1；□■□□□→2；■■■□□→7＝1＋2＋4；■□■□■→21＝1＋4＋16（1）通过观察比较发现：5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是（    ）。（2）根据上面的规律，算出下面两种情况所表示的数。（直接填结果）□□■■■→（    ）■■□■□→（    ）（3）根据下面数的大小，涂出相应红灯的位置。□□□□□→6      □□□□□→13   21．（2023秋·北京顺义·五年级统考期末）观察如图，回答问题。（1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？（2）摆第个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。   22．（2023秋·山西朔州·六年级统考期末）一种细胞在培养过程中，每30分钟要分裂一次（1个母细胞一分为二成2个子细胞）。这种细胞如果要由1个分裂成8个，需要多少分钟？（请用画图的方法解释说明）   23．（2022春·重庆大渡口·三年级统考期末）“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。（1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？（2）填出第5行两个括号中的数。   24．（2023秋·浙江杭州·六年级统考期末）李乐用吸管和图钉做三角形图案。（如下图，点表示图钉，线段表示吸管）（1）请根据做三角形图案时，三角形与吸管、图钉的数量关系填写下表。三角形个数12345…吸管的根数3579（    ）…图钉的数量3456（    ）…（2）照这样做，用36个图钉时做成的图案中有（    ）个三角形，用了（    ）根吸管。（3）三角形个数、吸管根数、图钉数量之间有什么关系？选择其中两个，试着写出它们的数量关系。   25．（2023春·江苏·五年级统考期末）如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示：那么左下图表示的数字是（    ），在右下图中画出表示62的图。     参考答案1．C【分析】观察数列，用第1个数1乘2等于第2个数2，用第2个数2乘2等于第3个数4，用第3个数4乘2等于第4个数8，用第4个数8乘2等于第5个数16，用第5个数16乘2等于第6个数32，依次类推，用第6个数32乘2即可求出第7个数。【详解】32×2＝64即第7个数是64。故答案为：C【点睛】寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。2．B【分析】观察题意可知，第1个图形长（5＋1×5）厘米，第2个图形长（5＋2×5）厘米，第3个图形长（5＋3×5）厘米，……以此类推，第n个图形长厘米；据此解答。【详解】第1个图形长10厘米，第2个图形长15厘米，第3个图形长20厘米，……所以第n个图形长：厘米当n＝10时，5＋5×10＝5＋50＝55（厘米）故答案为：B【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。3．A【分析】根据数排列的规律：前一个数比后一个数大5，第二个数加5得到100，第三个数加2个5得到100，第12个数加11个5得到100，据此可得出答案。【详解】第12个数是用100减去11个5，即100－11×5＝45。故答案为：A【点睛】本题主要考查的是数字排列的规律，解题的关键是掌握两数字之间相差5，进而可得出答案。4．A【分析】根据图示，第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）；第4个方框中的点为：1＋4＋4＋4＝12（个）；则第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。据此解答。【详解】第⑧个方框里应画的点数为：4n－3＝4×8－3＝32－3＝29（个）则第⑧个方框里应画29个点。故答案为：A【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。5．B【分析】观察可知，点阵有3行，下边1行比上边1行多1个点，第几个点阵就从几开始依次3个数相加，据此分析。【详解】5＋6＋7＝18（个）第5个点阵有18个点。故答案为：B【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。6．C【分析】观察可知，小木棒根数＝第几幅图就用几×4＋（几－1）×2，据此列式计算。【详解】7×4＋（7－1）×2＝28＋6×2＝28＋12＝40（根）第（7）幅图需要40根这样的小木棒。故答案为：C【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。7．     15     49【分析】观察图形，图（1）中有1个，0个；图（2）中有（个），1个；图（3）中有（个），（个）；图（4）中有（个），（个）……图形的序号每增加1，就增加2个，的个数是前一个图形序号的平方，按照这样的规律接着画，可得图（8）中有（个），（个）。【详解】（个）（个）则图（8）中有15个，有49个。【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。8．     25     n2【分析】由图可得：摆第1个图形需要小三角形1个，摆第2个图形需要小三角形4个，摆第3个图形需要小三角形9个，摆第4个图形需要小三角形16个，由此可得，小三角形的个数等于序数的平方，即两个相同的数相乘，由此找到规律，然后再解答即可。【详解】由分析可知：摆第⑤个图形共需要小三角形的个数为：5×5＝25（个）摆第n个图形共需要小三角形n2个。【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。9．     16     2n－1【分析】第一幅图有（1－1）×（1－1）（个）●；第二幅图有（2－1）×（2－1）（个）●；第三幅图有（3－1）×（3－1）（个）●； .....第5幅图有（5－1）×（5－1）（个）●。第一幅图有（2×1－1）（个）O；第二幅图有（2×2－1）（个）O；第三幅图有（2×3－1）（个）O；⋯⋯第n幅图中的△照此规律即可求。【详解】第5幅图中●的个数为：（5－1）×（5－1）＝4×4＝16则第5幅图中有16个●，第n幅图中有（2n－1）个△。【点睛】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。10．     61     33【分析】第一个正方形需要4根火柴棒，之后每增加一个正方形只需要3根火柴棒，摆20个正方形第一个正方形需要4根火柴棒，剩下的19个正方形只需要19×3根火柴棒，摆n个正方形就需要4＋（n－1）×3根火柴棒；将100根火柴棒代入式子中，求出n即可知道摆多少个正方形需要100根火柴棒。【详解】4＋（20－1）×3＝4＋19×3＝4＋57＝61（根）解：设摆n个正方形需要100根火柴。4＋（n－1）×3＝1004＋3n－3＝1003n＋1＝1003n＝100－13n＝99n＝99÷3n＝33连摆20个这样的正方形需要61根火柴棒，用100根火柴棒可以摆33个这样的正方形。【点睛】此题考查找规律以及利用方程求取未知数，注意分清是摆100个正方形还是使用100根火柴棒。11．(1)40(2)33 【分析】输入2，输出7，；输入6，输出19；输入10，输出31，通过这三个小程序可以看出，输出的数是输入数的3倍还多1，据此解答。【详解】（1）3×13＋1＝39＋1＝40因此输入13，输出40。（2）（100－1）÷3＝99÷3＝33因此输入33，输出100。【点睛】解答本题的关键是从已知条件中找出规律，根据规律解决问题。12．(1)(2)           【分析】（1）根据观察可知，分母依次乘2，分子依次加2，则下一个分数，分母为32×2＝64，分子为9＋2＝11；（2）根据观察可知，分母的排列顺序为前一个分母乘2，分子都是1，这样的分数相加之后的和等于1减去最后一个加上的分数，据此分析解答。【详解】（1），，，，，，…（2）【点睛】找到分数的排列规律是解题的关键。13．√【详解】第一个点阵中点的个数：1个第二个点阵中点的个数：1＋4＝5（个）第三个点阵中点的个数：1＋4＋4＝9（个）……第n个点阵中点的个数：1＋4（n﹣1）＝（4n－3）（个）……第五个点阵中点的个数：4×5－3＝20－3＝17（个）答：第五个点阵中点的个数是23个．所以原说法正确．故答案为：√14．√【分析】根据算式可知，后面一个数是前一个数的，如果把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。所以…＝1，据此解答即可。【详解】…＝1，说法正确；故答案为：√。【点睛】本题采用了数形结合的思想，使题目形象化，再利用极限思想得到结果。15．×【分析】根据题图可知，每增加1个三角形小棒就增加2根，当搭n个三角形时，需要的小棒个数为3＋2（n－1）＝（2n＋1）根，据此解答即可。【详解】用小棒搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用（2n＋1）根小棒，原题说法错误；故答案为：×【点睛】明确每增加1个三角形就增加2根小棒是解答本题的关键，进而总结出规律。16．×【分析】因为＝－；＝－；＝－；＝－；把原式中每个加数化成两个数的差，再加起来，加减抵消，进行简算即可。【详解】故答案为：×【点睛】考查了分数的拆项公式的运用。17．（1）；（2）11；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】（1）按照从左往右的顺序计算；（2）先把除法转化为分数，再利用减法性质简便计算；（3）先把异分母分数化为同分母分数，再按照同分母分数加减法计算；（4）先把小数化为最简分数，再利用加法交换律和减法性质简便计算；（5）利用加法交换律和加法结合律简便计算；（6）利用数形结合的方法简便计算。【详解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）18．见详解【分析】根据图形和数字的排列规律可发现，△＝1，○＝2，□＝3，十位上的数代表的图形在外，个位上的数代表的图形在内，据此推理即可。【详解】据图可得△＝1； 据图和可得○＝2； 据图可得：□＝3；所以；。【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。19．见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6【分析】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。【详解】由分析可得，第六个点阵如图如下：1＋2＋3＋4＋5＋6＝21【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。20．（1）4；（2）28；11；（3）见详解【分析】（1）由已知的四种情况可知有以下规律：左起第一盏发出红光表示1，后面每一盏灯发出红光时表示的数是前一盏灯的2倍，当几盏灯同时发出红光时表示的数是这几盏灯分别表示的数的和；（2）根据第（1）题的规律，第1个涂色表示1，第2个涂色表示2，第3个涂色表示4，第4个涂色表示8，第5个涂色表示16，根据此规律按题目要求把已经涂色的红灯表示的数相加即可得解；（3）根据6＝2＋4，把第2个和第3个涂色，根据13＝1＋4＋8，把第1个、第3个和第4个方框涂色，据此解答即可。【详解】（1）1×2＝22×2＝44×2＝88×2＝16所以5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是4。（2）4＋8＋16＝281＋2＋8＝11所以□□■■■→28，■■□■□→11。（3）6＝2＋413＝1＋4＋8所以发红光的灯的位置如下：□■■□□→6■□■■□→13【点睛】解答此题的关键在于通过已知的例子找出每盏灯发红光时表示的数，再根据规律解答。21．（1）13根（2）（）根，过程见详解【分析】第一个图形需3根小棒，第二个图形需3＋2根小棒，第三个图形需3＋2×2根小棒；第四个图形需3＋2×3根小棒……，（1）摆第6个图形即可求。（2）摆n个图形即可求。【详解】（1）3＋2×5＝3＋10＝13（根）答：第6个图形需要13根小棒。    （2）3＋2×（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋（3－2）＝2n＋1答：摆第n个图形需要2n＋1根小棒。【点睛】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。22．90分钟【分析】一个细胞经过30分钟分裂成2个细胞，2个细胞经过30分钟分裂成4个细胞，4个细胞经过30分钟分裂成8个细胞，据此解答。【详解】画图如下。30×3＝90（分钟）答：需要90分钟。【点睛】解决此题的关键是确定一个母细胞分裂成8个子细胞需要分裂的次数。23．（1）第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；（2）27；52【分析】（1）仔细观察得知，每排的最后一个数都等于下一排的第一个数；（2）其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数。【详解】（1）通过分析可知，第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；（2）20＋7＝27；37＋15＝52【点睛】本题是一道探究规律的题目，根据已知数字确定数形中的规律是解答的关键。24．（1）11；7（2）34；69（3）见详解【分析】（1）观察表格中的数据，三角形个数分别是1、2、3、4、……，吸管的根数分别是3、5、7、9、……，图钉的数量分别是3、4、5、6、……；发现规律：三角形的个数每次增加1，则吸管的根数每次增加2，图钉的数量每次增加1；由此规律把表格补充完整。（2）由上一题的规律推出用36个图钉时做成的图案中三角形的个数、吸管的根数。（3）从表格中选择任意两组数据，找出三角形个数、吸管根数、图钉数量之间的关系。【详解】（1）如下表：三角形个数12345…吸管的根数357911…图钉的数量34567…（2）用36个图钉时做成的图案中有34个三角形，用了69根吸管。（3）选择表格中的第二组、第三组数据；当三角形的个数为2时，吸管的根数为5，5＝2×2＋1；图钉的数量为4，4＝2＋2；当三角形的个数为3时，吸管的根数为7，7＝2×3＋1；图钉的数量为5，5＝3＋2；得出规律：吸管的根数＝三角形个数×2＋1；图钉的数量＝三角形个数＋2。【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。25．20；画图见详解【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则1＋2＝3，2×2＝4，前两列填满表示1＋2×2＝5，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1＋2×2＋6×3＝23，则第四列每个圆表示24，据此解答。【详解】通过分析，左下图表示的数字是2＋6×3＝20；62＝24×2＋6×2＋2，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下：【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。