浙江省杭州第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案

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杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线斜率等于，则该直线的倾斜角为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线的斜率的定义及倾斜角的范围即可求解.【详解】设该直线的倾斜角为，则由，得，又，所以.故选：D.2. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我校坚持每日测温报告，以下是某班8名同学的体温记录：36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.6，36.7(单位：)，则该组数据的第60百分位数为(    )A. 36.3 B. 36.4 C. 36.45 D. 36.5【答案】B【解析】【分析】根据第百分位数的概念和计算方法可得答案.【详解】将8名同学某日上午体温记录从小到大排列为：36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.6，36.7，因为，所以该组数据的第60百分位数为36.4.故选：B.3. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为(    )A.  B. 或 C. 或 D. 【答案】B【解析】【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可.【详解】由题意，设点，为直角，，由，，解得或，所以点的坐标为或故选：B4. 已知数列是递增的等比数列，，，则公比(    )A.  B. 1 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由方程利用等比数列的性质先求，再代入，联立方程组求出.【详解】已知，所以，解得，即①；又，则，即②；又，由①②得，所以，解得或.因为数列是递增的等比数列，所以.故选：C.5. 已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为(    )A. 椭圆 B. 椭圆和一条直线C. 双曲线和一条射线 D. 双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案.【详解】圆，，圆心，，圆，，圆心，，设，因为圆同时与圆及相外切，所以，即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.故选：D6. 已知椭圆，过椭圆的左顶点A作直线，与椭圆和轴分别交于点和点，过原点且平行于的直线与椭圆交于点，则(    )A. ，，始终成等比数列B. ，，始终成等比数列C. ，，始终成等比数列D. ，，始终成等比数列【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求得弦长，由等比中项性质判断等比数列即可.【详解】由题意知，直线l斜率存在，设OP方程为，则AM的方程为，则，.设直线或，则该直线必与椭圆存在交点，设为，由得，则，则直线与椭圆交得的弦长为.当时，该弦长为；当时，该弦长为，即.∵，∴，，成等比数列.故选：A7. 在三棱锥中，，，是的中点，满足，则异面直线，所成角的余弦值为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据三棱锥的对棱相等可以补成长方体，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线，所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥中，由于，，则三棱锥可以补在长方体，则设长方体的长宽高分别为，则，解得，如图以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，则，，所以，则异面直线，所成角的余弦值为.故选：D8. 已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理表达出，结合不等式即可求解最值.【详解】由题意可知： ，左准线方程为 ，故设，则当在轴上，此时为0，时当不在轴时， 在中，由余弦定理得 ，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，由于,故最大为，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则(    )A.  B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件【答案】AD【解析】【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件与是相互独立事件，且，故选：.10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则(    )A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】根据线线平行即可判断A,建立空间直角坐标系，利用向量数量积即可判断线线垂直，即可判断B，根据空间向量求解法向量即可判断C，根据空间距离的向量法即能求出点到平面的距离，从而判断D.【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，对于A，由于分别是的中点，所以,平面,平面,故平面，故A正确，对于B，，故，故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误，对于C,由，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量，故C正确，对于D， 点到平面的距离为,故D正确，故选：ACD11. 如图所示，抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，则(    )A. ，两点的纵坐标之积为定值 B. 以线段为直径的圆与准线相切C. 点在以为直径的圆外 D. 直线经过原点【答案】ABD【解析】【分析】选项A，设出的方程与抛物线联立，求两根之积即可得出结论；选项B，求的中点到准线的距离并与弦长的关系进行比较；选项C，通过斜率的关系证明，得到点在以为直径的圆的关系；选项D，通过斜率的关系证明三点共线.【详解】选项A，设的方程为：，，，联立，整理得，则，故选项A正确；选项B，的中点， 点到准线的距离为,，所以，即以线段为直径的圆与准线相切，故选项B正确；选项C，由，，，得，所以，点在以为直径的圆上，故选项C错误；选项D，由，，，得，，所以，所以三点共线；所以直线经过原点，故选项D正确.故选：ABD.12. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如，，，则(    )A.  B. 数列是递增数列C. 的前10项中最大项为第3项 D. 的前项和，则【答案】ABD【解析】【分析】根据欧拉函数的定义求出，故A正确；根据欧拉函数的定义求出，由可得数列是递增数列，故B正确；根据数列的第一项大于第三项可知C不正确；根据错位相减法求出，可知，故D正确.【详解】对于A，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，故A正确；对于B，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，因为，所以，所以数列是递增数列，故B正确；对于C，由B知，，所以，第一项为，第三项为，，故C不正确；对于D，由C知，，则，，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】依据题意可得，然后根据离心率公式可得结果.【详解】由题可知：，由所以离心率故答案为：14. 已知数列{}的前n项和为，则该数列的通项公式__________.【答案】2n+1【解析】【分析】由计算，再计算可得结论．【详解】由题意时，，又适合上式，所以．故答案为：．【点睛】本题考查由求通项公式，解题根据是，但要注意此式不含，．15. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示，四面体为鳖臑，平面，，，，分别是棱和上的动点，且，则的长最小为____________.【答案】【解析】【分析】作于点，连接，得到直角三角形,设，由对应线段成比例求出，利用勾股定理表示，求其最小值即可.【详解】如图，作于点，连接.因为平面，平面，所以，又，所以，所以平面，又平面，所以.又，，所以,由，得，则，得.设，，得到，， 在中， 由，得到，，当且仅当时，等号成立. 故答案为：.16. 在平面直角坐标系中，点的坐标满足，其中，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】由题可得，由椭圆第二定义有：.则，即椭圆上一点到点距离与到直线距离之和.【详解】因点的坐标满足，则，得，，.则该椭圆的右焦点坐标为，右准线方程为.则由椭圆第二定义，有，故，即椭圆上一点到点距离与到直线距离之和.则距离之和最小值为过的垂直于右准线的垂线段长度，为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列满足，.(1)求，，；(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)    (2)，证明见解析【解析】【分析】(1)首先根据题意得到，再求，，即可.(2)首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可.【小问1详解】由可知，当时，代入，解得；当时，代入，解得；当时，代入，解得；【小问2详解】猜想数列的通项公式为.当时，左边，右边，成立.(2)假设当时，成立.则当时，有，即当时，也成立.所以对任何都成立.18. 在一次期中考试后,学校教学处对数学考试情况进行分析,考生的成绩(单位:分)分布大致如下:考生数学分数区间比例 (1)估计本次数学考试成绩的众数、中位数以及平均数;(2)为了进一步了解学生的数学学习情况,用按比例分配的分层随机抽样方法,在和两组中抽取7名同学,再从这7名同学中随机抽取2名同学进行访谈,求抽取的这2名同学恰好有1人成绩在内的概率.【答案】(1)众数:120;中位数:;平均数:115    (2)【解析】【分析】(1)根据表格,根据数字特征的计算公式,计算结果即可;(2)先根据分组抽样求得和中需要抽取的人数,列举出从中抽取两位同学的所有的可能,找出其中恰好有1人成绩在的结果,利用古典概型的概率公式,即可得出结果.【小问1详解】解:由表格可知:众数:120;中位数:;平均数:;【小问2详解】由表格知:中的学生与中的学生比例为: ,根据分层随机抽样的方法抽取7名学生,则在中抽取2人,分别记作,在中抽取5人,分别记作,把“从样本中抽取2名同学恰好有1人成绩在内”记作事件,用表示抽出的两位同学,则所有的可能性为:共21种,其中满足事件的有:共10种,故.19. VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地(包含边界和内部，为坐标原点)，长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.(1)求成功点的轨迹方程；(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.【答案】(1)    (2)【解析】【分析】(1)设，，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解；(2)设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围.【小问1详解】解：设，，机器人运动速度为，由题意可得，化简得.由于点在矩形场地内，则.所以成功点的轨迹方程为.【小问2详解】解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，直线与点的轨迹没有公共点，由直线与圆的位置关系可得，解得.则点纵坐标，又因为，所以.20. 如图所示，在正方形中，将沿折起至.(1)求证：；(2)记二面角的大小为. 当时，求异面直线和所成角的余弦值的范围.【答案】(1)证明见解析    (2)【解析】【分析】(1)由线线垂直证平面，再证；(2)由向量法求异面直线夹角.【小问1详解】连接正方形的对角线交于点，连接.因为四边形是正方形，所以.由翻折不变性可知.又因为，平面，所以平面.因为平面，所以.【小问2详解】由(1)可知为二面角的平面角，即.法1(坐标法)：如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，垂直于平面且向上为轴正方向，建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，则，.所以，因为，所以.法2(基底法)：不妨设，则，以为基底，，，.因为，，所以，因为，所以.21. 已知数列的首项，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)    (2)【解析】【分析】(1)根据递推公式可得：是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解；(2)结合(1)的结论得出，利用分组求和和错位相减法即可求解.【小问1详解】由可知，两边同减1可得， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，即.【小问2详解】由(1)可知，所以记两式作差可得所以.因此.22. 已知双曲线：与双曲线：的渐近线相同，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点.设，，求的取值范围.【答案】(1)    (2)【解析】【分析】(1)根据共渐近线方程设双曲线，代入点即可求得的值，可得双曲线的方程；(2)根据双曲线与直线的位置关系，求得交点坐标关系，根据向量线性关系列式，即可求得的取值范围.【小问1详解】由双曲线C与双曲线的渐近线相同，可设双曲线，代入，可得，所以求双曲线的方程为，即.【小问2详解】易知直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的方程为，则.设.联立可得，方程有两个不同的正根可得，解得.记点的横坐标为，即.由可得，代入双曲线C的方程，可得.同理可得，由可得.所以是方程的两个根，由韦达定理可得.所以.令，，则令，，则在上单调递增，所以且.因此，.