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浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期12月教学质量检测数学试题及答案
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学军中学高二年级12月教学质量检测数学学科考试试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知直线l的方向向量,平面的一个法向量为,若直线l在平面内,则的值是( )A. B. C. 2 D. 162. 若:,,是三个非零向量;:,,为空间的一个基底,则p是q的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知三条直线为,,,,则下列结论正确的是( )A. B. 三条直线的斜率之和为4.5C. 三条直线的倾斜角之和为135° D. 三条直线在y轴上的截距之和为4. 焦距为,并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为( )A. B. C. D. 或5. 平面直角坐标系中,关于曲线对应图像下列选项错误的是( )A. 若,则曲线C围成的面积B. 若,则曲线C围成的面积C. 若,则曲线C关于原点对称D. 若,则曲线C有2条渐近线6. 已知点,,为直线上一动点,当最大时,点坐标是( )A. B. C. D. 7. 已知椭圆和双曲线有相同焦点、,它们的离心率分别为、,点为它们的一个交点,且,则的范围是( )A. B. C. D. 8. 设不等式的解集为,则的值是( )A. 5 B. C. 6 D. 7二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.9. 曲线,下列结论正确的有( )A. 若曲线表示椭圆,则且不等于0 B. 若曲线表示双曲线,则焦距是定值C. 若,则短轴长为2 D. 若,则渐近线为10. 设椭圆的右焦点为,点为左顶点,点为上顶点,直线过原点且与椭圆交于,两点(在第一象限),则以下命题正确的有( )A. B. 时,三角形面积为C. 直线与直线的斜率之积是定值D. 当与平行时,四边形的面积最大11. 如图,若正方体的棱长为1,点M是正方体的侧面上的一个动点(含边界),P是棱上靠近G点的三等分点,则下列结论正确的有( )A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B. 保持与垂直时,M的运动轨迹是线段C. 若保持,则点M在侧面内运动路径长度为D. 当M在D点时,三棱锥体积取到最大值12. 设双曲线左右焦点分别为,,设右支上一点P与所连接的线段为直径的圆为圆,以实轴为直径的圆为圆,则下列结论正确的有( )A. 圆与圆始终外切 B. 若与渐近线垂直,则与圆相切C. 的角平分线与圆相切 D. 三角形的内心和外心最短距离为2三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 直线将单位圆分成长度的两段弧,则______.14. 在四面体中,,,的长度分别为1,2,3,且,M,N分别为,中点,则的长度为______.15. 已知双曲线,过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线,垂足分别为M,N,则的最小值为______.16. 在椭圆上有点,斜率为1的直线l与椭圆交于不同的A,B两点(且不同于P),若三角形的外接圆恰过点P,则外接圆的圆心坐标为______.四、解答题:本大题共6小题,共70分.17. 学军中学11月在杭州乐园举行了秋游活动,其中“旋转木马”项目受到了师生们的喜爱.假设木马旋转时为逆时针方向的水平匀速圆周运动,圆心为O,半径为5米,周期为1分钟.如图,在旋转木马右侧有一固定相机C(C,O两点分别在AB的异侧),若记木马一开始的位置为点A,与C的直线距离为7米.110秒后木马的位置为点B,与C的直线距离为8米.(1)求弦长的值;(2)求旋转中心O到C点的距离.18. 如图,四棱锥中,△为正三角形,,,,.(1)求证:;(2)求与平面所成角正弦值.19. 已知圆心在轴正半轴上的圆与直线相切,与轴交于两点,且.(1)求圆的标准方程;(2)过点的直线与圆交于不同的两点,若设点为的重心,当的面积为时,求直线的方程.20. 已知焦点在x轴上的椭圆C过定点,离心率为.过点的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,(1)求椭圆C的方程.(2)求的取值范围.21. 如图,已知四边形由和拼接而成,其中,,,,将沿着折起,(1)若,求异面直线与所成角的余弦值;(2)当二面角最大时,求此时二面角的余弦值.22. 在平面直角坐标系中,动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知直线与曲线C交于A,B两点,曲线C上恰有两点P,Q满足,问是否为定值?若为定值,请求出该值;若不为定值,请说明理由.
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