高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案设计

第二章  一元二次函数、方程和不等式

2.2 基本不等式（第1课时）学案

【学习目标】

1．理解并掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

2．进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力；

3．通过赵爽与勾股圆方图，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信。

【学习重点】

应用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

【学习难点】

基本不等式的证明过程

【学习过程】

一、故事情境，引入课题

赵爽与勾股圆方图

二、观察分析，抽象概括

问题1：如图是我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？令                 你能得到一个怎样的不等式？不等式两边可能相等吗？如果相等，应该满足什么条件呢？

（1）四个直角三角形的面积(    )；

（2）直角三角形的直角边（    ）；

（3）大正方形的面积（   ）4个直角三角形的面积和。

    重要不等式：

问题2：如果            我们用       分别代替上式中的     能得到什么结论？

基本不等式：

代数意义：

三、推理论证，提升认识

问题3：上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的           都能成立？请给出证明。

证法一：（分析法-执果索因）                              

要证                        

只需证                           

只需证

只需证

只需证

上式显然成立。

证法三：几何法 

如图,   是圆的直径,   为圆心，点  是    上一点,                 过点   作垂直于

的弦     连接             

（1）                        （2）   

（3）与的大小关系怎样？  

几何意义：

问题4：你能写出基本不等式的几种变形吗？如果            则           

（1）                                       （2）

最值定理：已知都为正数，则

（1）

（2）

四、小试牛刀，初步应用

    例：已知求      的最小值。

五、归纳总结，生成新知

问题5：在利用基本不等式求最值时要注意什么？

六、学以致用，形成技能

1．设且 则的最大值为（     ） 

A． 80                             B．77                           C．81                          D． 82

2．若 则的最小值为（     ） 

A．4                               B．                        C．9                           D．18

3．已知          则函数的最大值为（     ）    

4．已知      则函数            的最小值为（     ）      

七、收获感悟，总结提高

八、课后作业，巩固所学

必做题：《步步高·练透》第213页1-8题；选做题：课本第46页练习第2题；思考题：课本第46页练习第5题。