辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高二上学期10月月考数学（A卷）试题

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2023—2024学年度十月月考高二数学（A）时间：120分钟  分数：150分命题范围：选择性必修一第一章，第二章到2.3结束一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点，，则线段AB的中点坐标为（    ）A． B． C． D．2．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．  D．3．直线的倾斜角是（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°4．已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ）A． B． C． D．5．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B． C． D．6．已知，，，，则点O到平面ABC的距离是（    ）A． B． C． D．7．方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为（    ）A．4，，3 B．，6，3 C．，6， D．4，，8．已知点P为直线上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．在下列四个命题中，正确的是（    ）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大10．设向量可构成空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）A．若，，则B．则两两共面，但不可能共面C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使D．则，，一定能构成空间的一个基底11．已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（    ）A． B．C．  D．12．如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．存在点P，使平面B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知空间向量，，若，则______．14．两条平行直线与之间的距离为______．15．过点作圆的切线l，切线l的方程为______．16．已知的顶点，AB边上的中线CM所在的直线方程为，的平分线BH所在直线方程为，直线BC的方程为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）四边形ABCD为菱形，平面ABCD，，，．（1）设BC中点为G，证明：平面ADE；（2）求平面AFE与平面BFC的夹角的大小．18．（12分）已知的顶点坐标为，，．（1）试判断的形状；（2）求AC边上的高所在直线的方程．19．（12分）已知圆，直线．（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．20．（12分）已知点，______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．（1）求直线的方程：（2）求直线关于直线的对称直线的方程．条件①：点A关于直线的对称点B的坐标为；条件②：点B的坐标为，直线过点且与直线AB垂直；条件③：点C的坐标为，直线过点且与直线AC平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（12分）已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．22．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面ABCD，．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 高二数学A参考答案1．A   2．D   3．A   4．D   5．B   6．A   7．D   8．A9．AB   10．BCD    11．AB   12．BC13．1    14．    15．    16．．17．（1）四边形ABCD为菱形，且，BC中点为G，所以．因为，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以．又，ED，平面ADE，所以平面ADE；（2）设BD交AC于点O，取EF中点H，连接OH，所以，底面ABCD．以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，，，，，，所以，，设平面EFA的一个法向量为，则，令，得；，，平面BFC的一个法向量为，则，令得；所以，所以平面AFE与平面BFC的夹角的大小为．18．解：（1）∵，，∴，∴，∴为直角三角形（2）因为，所以，AC边上高线所在直线的斜率为∴直线的方程是，即19．（1）直线化为，则，解得，所以直线l恒过定点，圆心，半径，又因，所以点在圆C内，所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，最短弦长为，，所以直线l的斜率为2，即，解得，所以直线l的方程为．20．（1）选择条件①：因为点A关于直线的对称点B的坐标为，所以是线段AB的垂直平分线．因为，所以直线的斜率为1，又线段AB的中点坐标为，所以直线的方程为，即．选择条件②：因为，直线与直线AB垂直，所以直线的斜率为1，又直线过点，所以直线的方程为，即．选择条件③，因为，直线与直线AC平行，所以直线的斜率为1，又直线过点，所以直线的方程为，即．（2），解得，故，的交点坐标为，因为在直线：上，设关于对称的点为，则，解得，直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，所以：关于直线的对称直线的方程为．21．（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径，又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆C的标准方程为：．（2）（i）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，所以，即k的取值范围是．（ii）设，，由根与系数的关系：，所以．即直线OA，OB斜率之和为定值．22．（1）取AD中点O，连接OB，OP．∵为等边三角形，∴，，．又∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABC．又∵平面ABCD，∴．∵，∴，∴．又∵，平面POB，平面POB，，∴平面POB．又∵平面POB，∴．∴，设点A到平面PBC的距离为h，则即，∴；（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，．设，则，．得，则．又平面ABC，则取平面ABCD的法向量．设AE与平面ABCD所成的角为，则，解得．则，．设平面ADE的法向量，则．令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量．故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为．